4.3三角函数的图像和性质

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编第四章 三角函数三 三角函数的图像和性质【考点阐述】正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin(x+)的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角【考试要求】（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A、的物理意义（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示【考题分类】（一）选择题（共10题）1.（安徽卷理8）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是高.考.资.源.网（A） （B）高.考.资.源.网（C） （D）高.考.资.源.网解析：，由题设的周期为，由得，故选C2.（福建卷理1）函数最小值是A-1 B. C. D.1【答案】：B解析.故选B3.（广东卷文9）函数是 A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A【解析】因为为奇函数,所以选A.4.（江西卷理4）若函数，则的最大值为A1 B C D答案：B【解析】因为=当是，函数取得最大值为2. 故选B5.（江西卷文4）函数的最小正周期为A B C D 答案：A【解析】由可得最小正周期为,故选A.6.（辽宁卷理8）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=（A） (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由图象可得最小正周期为 于是f(0)f(),注意到与关于对称 所以f()f()【答案】B7.（全国卷理8文10）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: 函数的图像关于点中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由此易得.故选A8.（四川卷理4文4）已知函数，下面结论错误的是 A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间0，上是增函数 C.函数的图象关于直线0对称 D. 函数是奇函数【答案】D【解析】，A、B、C均正确，故错误的是D【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。9.（浙江卷理8文10）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】D【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了10.（重庆卷文6）下列关系式中正确的是（ ）A B C D【答案】C解析 因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即。（二）填空题（共8题）1.（海南宁夏卷理14）已知函数y=sin（x+）（0, -）的图像如图所示，则 =_ 解析：由图可知，答案：2.（海南宁夏卷理文16）已知函数的图像如图所示，则 。【答案】0【解析】由图象知最小正周期T（），故3，又x时，f（x）0，即2）0，可得，所以，20。3.（江苏卷4）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= . 【解析】 考查三角函数的周期知识。 ，所以， 4.（辽宁卷文14）已知函数的图象如图所示，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则 【解析】由图象可得最小正周期为 T 【答案】5.（全国卷理16）若，则函数的最大值为 。解:令, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.（上海卷理6文10）函数的最小值是_ .【答案】【解析】，所以最小值为：7.（上海卷理12文13）已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=_是，.12【答案】14【解析】函数在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为，所以，所以当时，.8.（上海春卷3）函数的最小正周期 .答案: 解析:，故填。（三）解答题（共9题）1.（北京卷文15）已知函数.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力（），函数的最小正周期为.（）由，在区间上的最大值为1，最小值为.2.（福建卷文19）已知函数其中， （I）若求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。解法一：（I）由得 即又（）由（I）得， 依题意， 又故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当 即 从而，最小正实数解法二：（I）同解法一（）由（I）得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 依题意，又，故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当对恒成立亦即对恒成立。即对恒成立。故从而，最小正实数3.（山东卷理17）设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，且C为锐角，求sinA.解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）=, 所以, 因为C为锐角, 所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.4.（山东卷文17）设函数f(x)=2在处取最小值.(1)求.的值;(2)在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.解: （1） 因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,因为,所以或.当时,;当时,.【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.5.（陕西卷理17）已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.()求的解析式；（）当，求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上的故 又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为-1,2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6.（陕西卷文17）已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为. ()求的解析式；（）当，求的最值.解析:（1）由最低点为 由由点在图像上得即所以故又，所以所以（）因为所以当时，即x=0时，f(x)取得最小值1；7.（重庆卷理16）设函数（）求的最小正周期w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值解：（）= = = 故的最小正周期为T = =8()解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .由题设条件，点在的图象上，从而 = = 当时，因此在区间上的最大值为解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（）知 当时，因此在上的最大值为 .8.（重庆卷文16）设函数的最小正周期为（）求的最小正周期（）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间解：（）依题意得，故的最小正周期为. （）依题意得: 由 解得故的单调增区间为: 9.（上海春卷20）设函数，其中为正整数.（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（2）证明：；（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.解 （1）在上均为单调递增的函数. 2分 对于函数，设 ，则 ， ， 函数在上单调递增. 4分（2） 原式左边 . 6分 又原式右边. . 8分（3）当时，函数在上单调递增， 的最大值为，最小值为. 当时， 函数的最大、最小值均为1. 当时，函数在上为单调递增. 的最大值为，最小值为. 当时，函数在上单调递减， 的最大值为，最小值为. 11分