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第1课时相似三角形的判定 27 2相似三角形 1 相似三角形 相等 比相等 1 定义 对应角 对应边的 的两个三角形相似 2 表示方法 若 ABC和 A B C 相似 记作 读作 其中 符号 读作 相似于 3 相似比 相似三角形对应边的 ABC A B C ABC相似于A B C 比 注意 用 这个符号表示两个图形相似时 应把对应顶点的字母写在对应的位置上 如图27 2 1表示 ABC与 DEF相似 A的对应角是 D B的对应角是 E C的对应是 F 即 ABC DEF 而不能写成 ABC EFD 图27 2 1 2 平行线分线段成比例 1 定理 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段 成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延 长线 所得的对应线段 成比例 3 平行线判定三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角 形与原三角形 相似 其基本图形有以下两种 如图27 2 2 A型和Y型 图27 2 2用符号语言表示为 DE BC ADE ABC 4 判定一般三角形相似的方法 三边成比例 1 的两个三角形相似 夹角相等 2 且 的两个三角形相似 3 的两个三角形相似 注意 如果两个直角三角形满足一个锐角相等 或两组直角边成比例 那么这两个直角三角形相似 两边成比例 两角分别相等 5 判定特殊三角形相似的方法 1 判定直角三角形相似的方法 一个锐角对应相等 两直角边对应成比例 斜边和一组直角边对应成比例 2 判定等腰三角形相似的方法 顶角相等 一对底角相等 底和腰对应成比例 知识点1 平行线分线段成比例定理和推论 例1 如图27 2 3 点F是ABCD的边CD上一点 连接BF 并延长BF与AD的延长线交于点E 图27 2 3 思路点拨 结合平行四边形的性质及平行线分线段成比例定理和推论即可求证 证明 四边形ABCD是平行四边形 CD AB AD BC 比 而找中间比的常见方法就是通过找到平行线 然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式 跟踪训练 1 如图27 2 4 在 ABC中 DE BC DE分别与AB 图27 2 4 知识点2 判定三角形相似的方法 例2 如图27 2 5 D E F分别是 ABC三边的中点 求证 ABC EFD 图27 2 5思路点拨 由 三角形的中位线定理 得三边的关系 即可得证 例3 如图27 2 6所示 已知 A D AD与BC相交于点P AB 8 CD 14 AD 20 求线段AP的长 图27 2 6 思路点拨 由题意 可证得AB CD 从而 ABP DCP 由相似三角形对应边成比例及DP AD AP即可求得AP的长 跟踪训练 2 如图27 2 7 在 ABC中 DE BC AD EC DB 1cm AE 4cm BC 5cm 求DE的长 图27 2 7 3 如图27 2 8 在正方形ABCD中 E是AD的中点 BM CE AB 6 求BM的长 图27 2 8 解 由正方形的性质 得BC AD AB 6 D BCD 90 由同角的余角相等 得 DEC MCE 又BM CE BMC 90 即 BMC CDE 知识点3 相似三角形的判定和性质与其他知识的 综合运用 例4 如图27 2 9 在直角梯形ABCD中 AB 7 AD 2 BC 3 如果边AB上的点P使得P A D为顶点的三角形和以P B C为顶点的三角形相似 求AP的长 图27 2 9 思路点拨 因为 A B 90 点P是AB边上的动点 则以P A D为顶点的三角形和以P B C为顶点的三角形相似的有两种可能性 运用相似三角形对应边成比例建立方程可求线段的长 求线段长的关键是找准对应顶点 对应边 本题中 A B 90 构成的两直角三角形相似有两种可能 本题的易错点是 只考虑了这两种情况中的一种对应情况 跟踪训练 4 如图27 2 10 等边 ABC内接于 O P是上任一 点 点P不与点A B重合 连接AP BP 1