33[1].曲线与方程综合练习

曲线与方程综合练习【例题精选】：例1： （1）已知点，延长AB至C，使。求点C 的坐标； （2）已知A，B求点C使； （3）已知椭圆两焦点F1，F2，离心率e=0.8。求此椭圆长轴上 两顶点的坐标。分析：这道题的几个小题都是求线段上的分点的问题。第（1）小题已明确给出C 点的位置，即它在AB的延长线上，且，因此，可以知道比值，代入线段的定比分点公式即可，对第（2）小题，应注意由，还不确定点C是在线段AB上，还是在线段BA的延长线上。因此，解此题时要考虑周到，不要丢解。对于第（3）小题，从题目表面还不能直接看出是求线段的定比分点问题，必须对椭圆的一些基本性质熟练掌握，应想到椭圆的焦点与长轴上两顶点的关系，及离心率的意义，才能给恰当地找出长轴上顶点分线段F1F2所成的比，才能求出长轴上两顶点的坐标。解：（1）点C在AB延长线上，且， 。 设点C坐标为， 则 。点C坐标为。 （2） 设点若点C在线段AB上，由可得，则若点C在线段BA的延长线上，由可得，则点C坐标为或（注：点C不可能在线段AB延长线上）（3）设椭圆的长轴上两顶点A，A坐标分别为（A在延长线上，A在延长线上）由椭圆性质可知，同理，A分线段所成比。可得点A，A坐标分别为。例2：已知ABC的三顶点坐标分别为BC（1）判断ABC的形状；（2）在上求一点M使它满足。分析：对于第（1）小题，要求判断三角形的形状，一般方法可以从各边的长短，或各角的大小来判断。这里为了练习两点间距离公式，就从各边的长短判断即可。对第（2）小题，直接用两点间距离公式代入即可。解：（1）ABC ABC为直角三角形。（2）设点M 则 解得 点M为所求例3：（1）ABC中AB边上一点M内分AB所成的比是31，P为AC上一点，且APM的面积等于ABC面积的一半，求点P分AC所成的比； （2）在ABC中，ABC过BC边上一点P作直线l/AB且平分ABC的面积，求点P的坐标分析：这两个小题都是线段的定比分点与三角形面积知识的综合题。第（1）小题中，由于APM与ABC有公共角A，因此可以根据三角形面积等于两边及夹角的正弦乘积的一半的公式列出其面积关系，从而得出点P在AC边上的位置。第（2）小题中，由于l/AB，设l交AC边于Q，则有CPQCBA，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可以得知P点在BC边上的位置，也就可以求出点P的坐标了。解：（1） 点M内分AB为31， 即点P分AC所成的比为21（2）l/AB，设l交AC于点Q， ， 设点 根据线段的定比分点公式，得 点为所求。说明：第（2）小题中，也可以取，根据线段的定比分点公式列式为 得 例4：动点P，Q坐标分别为 （是参数），求有向线段PQ的长度的最大值及最小值解: 当当说明：本题从数形结合的角度出发，可以看到点P在以原点为中心，半径为1的圆上，点 Q在以（3，1）为圆心，半径为1的圆上，但由于题中参数是同一个，因此点P，Q是互相有关联的，不是分别在两上圆上的任意点因此这个题如果转化为图形去直观地求解很容易出错例5：如果两条曲线方程是，它们的焦点是P。证明的曲线也过点P（是任意常数）。并求经过两条曲线和3的交点的直线方程证明：是曲线的交点， 点P在方程的曲线上 设过交点的曲线方程为 即 当且仅当时，即时，此方程表示直线， 所求直线方程为。说明：本题中方程是过与的交点的若干条曲线的方程，我们称它为过与的交点的曲线系方程。此题第2问就是利用此曲线系方程得出结果的。例6：AB是圆O的直径，且为圆上一个动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点P，使，求点P的轨迹。分析：此题应该选建立适当的坐标系，然后按求曲线方程的一般方法，即设出动点坐标，列好动点所满足的条件的等式，化简等式，得到轨迹方程（要注意它的充分性及必要性），说明轨迹图形即可。解：以点O为原点，AB所在直线为x轴， 建立坐标系如图 图O的方程为 设点P（AB于Q， 则 （注：设与AB垂直的直径为CD，则点P轨迹为以OC，OD为直径的两个圆。例7：已知直线与曲线交于A，B两点，P是这条直线上的点，且求当变化时，点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形。解：设依题意消，得 已知直线的倾斜角为45， 即 化简，得即直线与曲线相交于两点，由上面的方程，得 0即所求轨迹方程是轨迹图形是椭圆在两条直线之间的部分及点（0，1）。说明：综合此题时要注意曲线与方程的概念，在求出轨迹方程时，应判断轨迹上的所有点是否都满足方程，满足方程的点是否都在轨迹上，此题应注意直线与曲线是否相交，通过二次方程判别式0，得出的取值范围，因此轨迹图形不是整个椭圆；而是它的一部分，也就是说满足方程的点不全是轨迹上的点，因此应除去，此题中方程只代表一个点（0，1）也是应该注意的。例8：已知曲线。求曲线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。分析：此题求的是两曲线有两个不同的充要条件，也就是说所求出的“条件”应满足：两曲线有两个不同交点，则应有“条件”成立；反之，“条件”成立，则两曲线有两个不同交点。具体分析此题所给曲线C是一条开口向下的抛物线，线段AB是直线上的一段，其中，按求曲线交点的方法，应将代入方程，得。使此方程在上有两个不同的根，即可。解：线段AB的方程为将它代入方程得设上有两个不同的根的充要条件是为所求【综合练习】：一、选择题（每小题给出的四个答案中，只有一个是正确的）:1、已知P点分AB的比为则B点分AP的比为（A）（B）（C）（D）2、已知平行四边形的三个顶点的坐标是（1，2），（1，0），（2，1），那么它的第四个顶点的坐标是（A）（4，3）（B）（4，3）或（2，1）（C）（0，1）（D）（4，3）或（2，1）或（0，1）3、“曲线C上点的坐标都是方程的实数解”是“方程是曲线C的方程”的（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4、方程表示的曲线是（A）双曲线（B）抛物线（C）两条射线（D）半圆5、已知点A（2，2），B（2，2），C（2，2），D（2，2），则点M在轴上是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）不充分也不必要条件二、填空题：6、已知的两顶点B（0，5），C（4，3），ABC的重心G（1，3），则顶点A的坐标是。7、的三顶点坐标分别是A（3，4），B（3，4），C（1，7），则的形状为。8、点P（2，1）在曲线上，则是k=。9、由曲线方程所确定的图形是，由方程组所确定的图形是。10、直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是。三、解答题：11、求以A（3，2），B（5，2），C（5，3）为顶点的三角形面积及的平分线的长。12、已知的顶点O（0，0），A（4，8），B（64），若OA边上有一点M，使MA=31，OB上有一点P，使的面积是的面积的一半，求P点坐标。13、由原点向直线引射线交，在OM上取P点，使OPPM=32，若点M在直线上移动，求点P的轨迹方程。14、中，为定值，且使顶点A在轴的正半轴上移动，顶点B在轴上的正半轴上移动，且A，B，C成顺时针方向，求顶点C的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。15、画出下列方程表示的曲线（1）；（2）。16、若,试确定的范围，使得直线与直线有公共点。【答案】：一、选择题：1、D2、D3、B4、C5、A二、填空题6、（1，1）7、直角三角形8、2或39、两条相交直线；点（0，0）10、三、解答题（略解或提示）11、是直角三角形，AC是斜边设的平分线交AC于D，则设点D则点D即的平分线长为12、提示：先求出P点分OB所成正比为21，然后再用线段的定比分点公式，求