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24 1 2垂径定理 九年级数学组 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 问题情境 学习目标 1 理解圆的轴对称性 2 掌握垂径定理及其推论 3 能用垂径定理进行简单的计算 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 活动一 如图 AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为E 1 圆是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 活动二 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE 弧 AC BC AD BD 把圆沿着直径CD折叠时 CD两侧的两个半圆重合 点A与点B重合 AE与BE重合 AC AD分别与BC BD重合 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 1 过圆心 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 练习 在下列图形中 你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 解得 R 27 9 m 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt OAD中 由勾股定理 得 即R2 18 72 R 7 2 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m OA2 AD2 OD2 AB 37 4 CD 7 2 OD OC CD R 7 2 在图中 如图 用表示主桥拱 设所在圆的圆心为O 半径为R 经过圆心O作弦AB的垂线OC D为垂足 OC与AB相交于点C 根据前面的结论 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 例1如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 解 连结OA 过O作OE AB 垂足为E 则OE 3厘米 AE BE AB 8厘米 AE 4厘米在RtAOE中 根据勾股定理有OA 5厘米 O的半径为5厘米 讲解 例2已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE 所以 AC BD E 讲解 讲解 结论 圆的两条平行弦所夹的弧相等 小结 解决弦时常用的辅助线 过圆心作弦的垂线
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