类比推理-在等差数列与等比数列之间

类比推理，在等差数列与等比数列之间戴又发由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）类比推理具有探索、发现的功能，通过类比可以提出新的问题和作出新的发现。能否广泛而恰当地运用好类比推理方法，是衡量一个人创造性思维能力的重要标志之一。开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。”下面先考察等差数列与等比数列中的类比对象，然后以试题的形式给出相应的结论。一等差数列与等比数列中的类比对象1考察等差数列与等比数列的定义等差数列：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差等比数列：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比等差数列中的差与等比数列中的比为类比对象2考察数列的项与项之间关系相与项之间关系等差数列等比数列相邻两项关系首末两项关系任意两项关系3考察数列若干项的和与积若成等差数列，则；若成等比数列，则；设均为正整数，且，则对于等差数列，有；对于等比数列，有；对于等差数列，前项和为 ；对于等比数列，前项积为 ；在等差数列与等比数列之间，只要明确了类比元素和类比运算，就能运用类比推理方法得到新的结论由以上考察可以得到：等差数列中的公差与等比数列中的公比互为类比元素等差数列中的与等比数列中的互为类比元素等差数列中的加、减、乘、除分别与等比数列中的乘、除、乘方、开方互为类比运算二等差数列与等比数列中的类比结论例1在等差数列中，设均为正整数，则，试运用类比推理写出等比数列中的相应结论，并予证明【解析】应用类比推理，得等比数列中，设均为正整数，则证明如下：设等比数列的公比为，则，于是有可以类比这里的证明方法，证明等差数列中的结论例2若为等差数列，则通项为的数列也成等差数列类比这一命题得，若为各项均为正数的等比数列，则通项为 的数列也成等比数列【解析】应填写 事实上，设等比数列的公比为，由，得，于是当时，有即 因为等比数列的各项均为正数，所以为常数，即数列也成等比数列例3设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，成等比数列【解析】运用类比推理，应填，事实上，设等比数列的公比为，因为，所以同理，所以，成等比数列例4在等差数列中，若，则有 类比上述性质，在等比数列中，若，则有 【解析】（这是2010年上海高考试题）应填写事实上，若，得，所以此结论可推广为在等差数列中，若，则有或在等比数列中，若，则有或 例5若数列，是两个等差数列，其前项和分别为，则有是运用类比推理，得出两等比数列，中的类似性质，并予证明【解析】运用类比推理，猜想：若两个等比数列，的各项均为正数，且前项积分别为，则这里我们先看看等差数列中结论的推导过程，然后运用类比推理寻找正确等比数列中的结论在等差数列，中，在等比数列，中，当数列的各项均为正数时，所以例6证明：若是公差为的等差数列，前项和为，则 运用类比推理，写出等比数列中的相应结论【解析】在等差数列中，所以 ， 又，所以，即下面运用类比推理，在公比为的等比数列中，前项积为，则，所以 ， 又，所以，即 所以，在公比为的等比数列中，前项积为，则例证明：若是公差为的等差数列，则 运用类比推理方法，写出等比数列中的相应结论 【解析】由在恒等式中，令，得，对恒等式两边求导，有，令，得，所以 运用类比推理方法，可得等比数列中的相应结论为：若是公比为的等比数列，则 类比推理属于合情推理。运用类比推理方法所获得的结论只能是一种猜想，需要用科