(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)圆的认识

(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)圆的认识 （备战中考）江苏省xx年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）圆的认识?考点聚焦1圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一2掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、?弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点3理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点?备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题?识记巩固1到定点的距离等于_的点的轨迹叫做圆，其中_叫圆心，_叫半径2圆既是_图形，又是_图形，圆心是_，?任意一条直径所在的直线是_3垂径定理垂直于弦的直径_这条弦，并且_这条弦所对的两条弧；平分_的直径垂直于弦，并且平分_如图AB为圆心；任?BD?其中，ABCD；?CE=DE；?AC?AD；BC意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立4在同圆或等圆中，如果两个圆心角，_，_（或_）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等5圆圆角及定理顶点在_，角的两边都与_相交的角叫圆周角在同圆或等圆中，_所对的圆周角相等，都等于它所对的_；相等的圆周角所对的_?相等；?_?所对的圆周角是直角；?90?的圆周角所对的弦是_识记巩固参考答案1定长定点定长2轴对称中心对称对称中心对称轴3平分平分非直径弦这条弦所对的两条弦4两条弧两条弦弦心距5圆上圆?同弧或等弧圆心角的一半弧直径直径?典例解析例1（xx浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OAPE. （1）求证APAO； （2）若弦AB12，求tanOPB的值； （3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或.DCPABOGEF证明 （1）PG平分EPF，DPO=BPO，OA/PE，DPO=POA，BPO=POA，PA=OA；?2分解 （2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB=tanOPB=1AB，?1分2OH1?，PH=2OH，?1分PH2设OH=x，则PH=2x，由 （1）可知PA=OA=10，AH=PHPA=2x10，222AH?OH?OA，(2x?10)?x?10，?1分222解得x1?0（不合题意，舍去），x2?8，AH=6，AB=2AH=12；?1分 （3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.?2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)D CP A O HB例2如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC?交O于点F （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由解析 （1）AB=AC，理由如下（方法一）连结DO，则OD是ABC的中位线，ODCAODB=C，DO=BOOBD=ODB，OBD=ACB，AB=AC（方法二）连结AD，AB是O的直径，ADBC又BD=CD，AB=AC（方法三）连结DO，则OD是ABC的中位线，F G EOD=11AC，OB=OD=AB，22AB=AC （2）连结BFAB是O的直径ADB=90，BADC=90，CADB=90B，C为锐角又Aab，=ab.?2分22C探究证明 （1）?AB?AD?BD?2OC，OC?a?b?3分2?AB为O直径,?ACB?90?.AODB?A?ACD?90?，?ACD?BCD?90?，A=BCD.ACDCBD.?4分AD CD?.CD BD即CD?AD?BD?ab,CD?2ab.?5分 （2）当a?b时,OC?CD,a?b=ab；2a?b时,OC?CD,结论归纳:实践应用a?bab?6分2a?b?2ab?7分设长方形一边长为x米,则另一边长为1米,设镜框周长为l米，则x11l?2(x?)4x?4?9分x x当x?1,即x?1（米）时,镜框周长最小x此时四边形为正方形时,周长最小为4米.?10分4.（xx山东济宁，19，6分）如图，AD为?ABC外接圆的直径，AD?BC，垂足为点F，?ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD. (1)求证BD?CD； (2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.A E BFCD(第19题)【答案】 （1）证明AD为直径，AD?BC，?CD?.BD?CD.BD3分 （2）答B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.4分?CD?，?BAD?CBD.理由由 （1）知BD?DBE?CBD?CBE，?DEB?BAD?ABE，?CBE?ABE，?DBE?DEB.DB?DE.6分由 （1）知BD?CD.DB?DE?DC.B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.?7分5.（xx山东烟台，25,12分）已知AB是O的直径，弦CDAB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交O于点F，直线CF交直线AB于点P.设O的半径为r. （1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明OEOPr （2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题2意的图形，标注上字母， （1）中的结论是否成立？请说明理由.CCFAG O.EBP AG O.B E.D D（图1）（图2）【答案】 （1）证明连接FO并延长交O于Q，连接DQ.FQ是O直径，FDQ90.QFDQ90.CDAB，PC90.QC，QFDP.FOEPOF，FOEPOF.OE OF2OF?OP.OEOPOFr2. （2）解 （1）中的结论成立.理由如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交O连接CM.FM是O直径，FCM90，MCFM90.CDAB，ED90.MD，CFME.POFFOE，POFFOE.OP OFOF?OE，OEOPOF2r2.6.（xx宁波市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题于M， （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ （2）在Rt?ABC中，ACB90，ABc，ACb，BCa，且ba，若Rt?ABC是奇异三角形，求abc； （3）如图，AB是O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆ABD的中点，CD在直径AB的两侧，若在O内存在点E使得AEAD，CBCE1求证?ACE是奇异三角形；2当?ACE是直角三角形时，求AOC的度数【答案】解 （1）真命题222 （2）在Rt?ABC中abc，cba02222222cab，2acb222若Rt?ABC是奇异三角形，一定有2bca2ba（ab）b2a得b2acba3ac3aabc1231AB是O的直径ACBADB90 (3)在Rt?ABC中，ACBCAB222在Rt?ADB中，ADBDAB2222222222222点D是半圆ABD的中点AD BDADBD2222ABADBD2AD222ACCB2AD又CBCE，AEAD222ACCE2AE?ACE是奇异三角形2由1可得?ACE是奇异三角形ACCE2AE当?ACE是直角三角形时由 （2）可得ACAECE123或ACAECE321（）当ACAECE123时ACCE13即ACCB13ACB90ABC30AOC2ABC60()当ACAECE321时ACCE31即ACCB31ACB90ABC60AOC2ABC120AOC2ABC120AOC的度数为60或1207.（xx浙江丽水，21，8分）如图，射线PG平分EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作O，分别与EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OAPE. （1）求证APAO； （2）若弦AB12，求tanOPB的值； （3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或.DCPABOGE222F【解】 （1）PG平分EPF，DPO=BPO，OA/PE，DPO=POA，BPO=POA，PA=OA； （2）过点O作OHAB于点H，则AH=HB，AB=12，AH=6，由 （1）可知PA=OA=10，PH=PA+AH=16，OH=106=8，OH1tanOPB=；PH222 （3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8.（xx广东广州市，25，14分）如图7，O中AB是直径，C是O上一点，ABC=45，等腰直角三角形DCE中DCE是直角，点D在线段AC上 （1）证明B、C、E三点共线； （2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明MN=2OM； （3）将DCE绕点C逆时针旋转（090）后，记为D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由A ND OE MB图7【答案】 （1）AB为O直径ACB=90DCE为等腰直角三角形ACE=90BCE=90+90=180C OM1B D1CE1A N1图8B、C、E三点共线 （2）连接BD，AE，ONACB=90，ABC=45AB=ACDC=DEACB=ACE=90BCDACEAE=BD，DBE=EACDBE+BEA=90BDAEO，N为中点1ONBD，ON=BD21同理OMAE，OM=AE2OMON，OM=ONMN=2OM （3）成立证明同 （2）旋转后BCD1=BCE1=90ACD1所以仍有BCD1ACE1，所以ACE1是由BCD1绕点C顺时针旋转90而得到的，故BD1AE1其余证明过程与 （2）完全相同9.（xx浙江丽水，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DBAB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF. （1）当AOB30时，求弧AB的长； （2）当DE8时，求线段EF的长； （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.yDBFO CE Ax【解】 (1)连结BC，yDBFO CE AxA(10，0)，OA=10，CA=5，AOB=30，ACB=2AOB=60，的长=605=5；AB1803 （2）连结OD，yD BFO CE AxOA是C的直径，OBA=90，又AB=BD，OB是AD的垂直平分线，OD=OA=10，在RtODE中，OE=ODDE=108=6，AE=AOOE=106=4，由AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA，=yD2222AE EF4EF，即=，EF=3；DE OE86BFOCEAx (3)设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，5点E为OC的中点，即OE=，25E1(，0)；2当ECF=OAB时，有CE=5x，AE=10x，1CF/AB，有CF=AB，2ECFEAD，=CE CF5x110，即=，解得x=，AE AD10x4310E2(，0)；3当交点E在C的右侧时，ECFBOA要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，连结BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD，BEA=BAO，BEA=ECF，CF/BE，=CF OC，BE OECFCE，AD AEECF=BAO，FEC=DEA=Rt，CEFAED，=而AD=2BE，=，2OE AE5x5即=，2x10x5+5175517解得x1=，x2=ECF要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，1连结BE，得BE=AD=AB，2BEA=BAO，ECF=BEA，CF/BE，CF OC=，BE OECECF，AE AD又ECF=BAO，FEC=DEA=Rt，CEFAED，=而AD=2BE，=，2OE AE5x+55+5175517=，解得x1=，x2=0（舍去），2x10+x445517点E在x轴负半轴上，E4(，0)，4OCCE综上所述存在以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，此时点E坐标为5105+5175517E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).234410（xx江西，21，8分）如图，已知O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。 求BAC的度数；求ABC面积的最大值.（参考数据sin60=333，cos30=，tan30=.）223【答案】 （1）过点O作ODBC于点D,连接OA.因为BC=23，所以CD=1BC=3.2又OC=2，所以sinDOC=3CD，即sinDOC=，2OC所以DOC=60.又ODBC，所以BAC=DOC=60. （2）因为ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，ABC面积的最大值,即点A?的中点时，ABC面积的最大值.是BAC因为BAC=60，所以ABC是等边三角形，在RtADC中，AC=23，DC=3,所以AD=AC2-DC2= (23)2-3=3.21所以ABC面积的最大值为233=33.211.（xx湖南常德，25，10分）已知ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1、O2,P是AB的中点. （1）如图8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在?AC,?BC上分别取点E、F，使?AO1E?BO2F,则有结论?PO1E?FO2P,四边形PO1CO2是菱形.请给出结论的证明； （2）如图9，若 （1）中ABC是任意三角形，其它条件不变，则 （1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明； （3）如图10，若PC是?O1的切线，求证AB?BC?3AC222AEO1 （1） （2）P DB FO2C图8证明BC是O2直径，则O2是BC的中点又P是AB的中点.P O2是ABC的中位线P O2=12AC又AC是O1直径P O2=O1C=12AC同理P O1=O2C=12BCAC=BCP O2=O1C=P O1=O2C四边形PO1CO2是菱形结论?PO1E?FO2P,成立，结论不成立证明在 （1）中已证PO2=12AC，又O1E=12ACPO2=O1E同理可得PO1=O2FPO2是ABC的中位线PO2ACPO2B=ACB同理P O1A=ACBPO2B=P O1AAO1E=BO2F D【答案】P O1A+AO1E=PO2B+BO2F即P O1E=FO2P （3）证明延长AC交O2于点D，连接BD.BC是O2的直径，则D=90，又PC是?O1的切线，则ACP=90，ACP=D又PAC=BAD，APCBAD又P是AB的中点AC AP1?AD AB2AC=CD?BD在RtBCD中，BC?CD?BD?AC?在RtABD中，AB?AD?BD222222AB?4AC?BD?AC?BD?3AC2222222?AB?BC?3AC12.（xx江苏苏州，26,8分）如图，已知AB是O的弦，OB=2，B=30，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD. （1）弦长AB=_（结果保留根号）； （2）当D=20时，求BOD的度数； （3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.222【答案】解 （1）23. （2）解法一BOD是BOC的外角，BCO是ACD的外角，BOD=B+BCO，BCO=A+D.BOD=B+A+D.又BOD=2A，B=30，D=20，2A=B+A+D=A+50，A=50，BOD=2A=100.解法二如图，连接OA.OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D.又B=30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100. （3）BCO=A+D，BCOA，BCOD.要使DAC与BOC相似，只能DCA=BCO=90.此时，BOC=60，BOD=120，DAC=60.DACBOC.BCO=90，即OCAB，AC=1AB=3.213.（xx江苏苏州，27,8分）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD. （1）如图，当PA的长度等于_时，PAB=60；当PA的长度等于_时，PAD是等腰三角形； （2）如图，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把PAD、PAB、PBC的面积分别记为S 1、S 2、S3.设P点坐标为2（a，b），试求2S1S3-S2的最大值，并求出此时a、b的值.【答案】解 （1）2；22或85.5 （2）如图，过点P分别作PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，延长FP交BC于点G，则PGBC.P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a.在PAD、PAB及PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，AB是直径，APB=90.22PE=AEBE，即b=a（4-a）.22222S1S3-S2=4a（8-2a）-4b=-4a+16a=-4（a-2）+16.2当a=2时，b=2，2S1S3-S2有最大值16.14.（xx江苏泰州，26，10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N （1）点N是线段BC的中点吗？为什么？ （2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径OAMND【答案】解 (1)N是BC的中点。 原因AD与小圆相切于点M，OMAD，又ADBC，ONBC，在大圆O中，由垂径定理可得N是BC的中点 (2)连接OB，设小圆半径为r，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,222222在RtOBN中，由勾股定理得OB=BN+ON，即（r+6）=(r+5)+5，解得r=7cm.小圆的半径为7cm.15.（xx四川成都，27,10分）已知如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作0，O经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K过D作DHKB，DH分别与AC、AB、O及CB的延长线相交于点E、F、G、H (1)求证AE=CK；A D (2)如果AB=a，AD=a(a为大于零的常数)，求BK的长； (3)若F是EG的中点，且DE=6，求O的半径和GH的长【答案】解 （1）DHKB，BKAC，DEAC，GHFB C13EOKB C四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，EAD=KCB，RtADERtCBK，AE=CK. （2）在RtABC中，AB=a，AD=BC=a，AC?13110a，AB2?BC2=a2?(a)2=331a?a11AB?BC3=10a.SABC=ABBC=ACBK，BK=22AC10a103 （3）连线OG，ACDG，AC是O的直接，DE=6，DE=EG=6，又EF=FG，EF=3；RtADERtCBK，DE=BK=6，AE=CK，在ABK中，EF=3，BK=6，EFBK，EF是ABK的中位线，AF=BF，GHAEFOKBDAE=EK=KC；在RtOEG中，设OG=r，则OE=111AC?2r?r，663CEG=6，OE2?EG2?OG2，(r)2?62?r2，r?1392.2在RtADFRtBHF中，AF=BF，AD=BC，BFCD，HF=DF，FG=EF，HF-FG=DF-EF，HG=DE=6.16.（xx四川宜宾,23，10分）已知在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧AD上到一点E使EBC=DE