人教A版选修11 习题课3.3.3 导数的综合应用 课件（30张）.pptx

习题课 导数的综合应用 1 利用导数研究方程的根或函数零点 1 方程f x 0的根就是函数f x 的零点 亦即f x 图象与x轴交点的横坐标 2 方程f x a的根就是函数g x f x a的零点 亦即f x 图象与直线y a交点的横坐标 3 方程f x g x 的根就是函数h x f x g x 的零点 亦即f x 图象与g x 图象交点的横坐标 2 利用导数解决不等式恒成立问题 1 不等式 f x 恒成立 则 f x max 2 不等式 f x 恒成立 则 f x min 做一做1 方程x3 3x2 2 0实根的个数为 a 0b 1c 2d 3解析 令f x x3 3x2 2 则f x 3x2 6x 3x x 2 所以f x 有极大值f 0 2 极小值f 2 6 结合函数图象可知其与x轴有一个交点 因此方程只有一个实数根 答案 b 做一做2 已知函数f x x3 x2 2x 5 若当x 1 2 时 f x 7 即实数m的取值范围为 7 答案 b 解析 函数定义域为 0 由f x 0得x 4 因此f x 在 0 4 上单调递减 在 4 上单调递增 所以f x 有唯一极小值f 4 m 2ln2 1 要使函数没有零点 须有m 2ln2 1 0 解得m 2ln2 1 答案 2ln2 1 探究一 探究二 规范解答 利用导数研究方程的根或函数的零点 例1 已知函数f x x3 x2 x a g x x3 2x lnx 3 其中a r 1 若方程f x 0只有一个实数根 求实数a的取值范围 2 若函数h x f x g x 有两个零点 求实数a的取值范围 思路点拨 1 方程f x 0只有一个实数根 就是函数f x 的图象与x轴仅有一个交点 因此可分析函数的单调性与极值 通过极值满足的条件建立关于a的不等式求解 2 函数h x 有两个零点 就是其图象与x轴有两个交点 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 因此h x 在x 1取得极大值h 1 a 3 即为函数h x 的最大值 要使函数h x 有两个零点 其图象与x轴应有两个交点 因此极大值h 1 a 3 0 解得a 3 探究一 探究二 规范解答 反思感悟方程f x 0的根 就是函数y f x 的零点 以及函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 因此与方程的根 函数的零点 有关的参数范围问题 往往利用导数研究函数的单调区间与极值点 并结合特殊点 得到函数的大致图象 结合图象讨论它与x轴的位置关系 进而确定参数的取值范围 探究一 探究二 规范解答 变式训练1已知函数f x x2 alnx a r 当x 1时f x 取得极值 1 求a的值 2 求函数f x 与函数g x x2 2x k k r 的图象的交点个数 探究一 探究二 规范解答 解 1 函数f x 定义域为 0 因为当x 1时 f x 取得极值 所以f 1 2 a 0 即a 2 2 令f x f x g x x2 2lnx x2 2x k 2x2 2lnx 2k k 所以因为x 0 所以2x 1 0 令f x 0 则x 1 当x 0 1 时 f x 0 因此函数f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以f x min f 1 k 当 k 0 即k0时 两图象交点个数为2 探究一 探究二 规范解答 利用导数解决不等式恒成立问题 例2 已知f x xlnx g x x3 ax2 x 2 1 求函数f x 的单调区间 2 若对任意x 0 2f x g x 2恒成立 求实数a的取值范围 思路点拨 对于 1 可通过解不等式f x 0和f x 0得到单调区间 对于 2 应先将不等式进行参数分离 把欲求范围的参数a移至不等式的一边 然后利用导数求另一边函数的最值 从而求得参数的取值范围 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 反思感悟有关不等式的恒成立问题 一般是转化为求函数的最值问题 求解时 要确定这个函数 看哪一个变量的范围已知 即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数 然后利用导数研究其最值 最后求得参数的取值范围 一般地 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 探究一 探究二 规范解答 变式训练2已知函数f x x3 2x2 ax b a b r 在曲线y f x 的所有切线中 有且只有一条切线l与直线y x 3垂直 1 求实数a的值 2 若方程f x 0有3个不同的实数根 求实数b的取值范围 解 1 因为f x x3 2x2 ax b 所以f x x2 4x a 直线y x 3的斜率等于1 依题意知在曲线y f x 的所有切线中 有且只有一条切线l的斜率等于 1 故方程x2 4x a 1有且只有一个实数根 于是 16 4 a 1 0 解得a 3 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 利用导数解决参数的综合问题 审题策略 1 将a的值代入 先求极值 再得到最值 2 将所给不等式进行转化 化为f x2 ax2 f x1 ax1 从而可构造函数g x f x ax 通过g x 的单调性 利用导数转化为不等式恒成立问题即可求得 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 探究一 探究二 规范解答 答题模板 1 第1步 确定函数定义域 第2步 求导数 第3步 分析极值情况 第4步 得到最值 探究一 探究二 规范解答 2 第1步 假设结论成立 第2步 将所给不等式转化 第3步 构造新函数g x 第4步 将问题转化为g x 在 0 上为增函数 第5步 利用导数转化为g x 0在 0 上恒成立 第6步 分离参数求最值 第7步 得到结果 探究一 探究二 规范解答 失误警示 通过阅卷统计分析 失分主要出现在第二问 造成失分的原因是 1 不能将所给不等式转化 为构造新函数奠定基础 2 虽能对不等式转化 但不能将转化后的不等式合理变形 从而构造新函数 3 构造新函数后 无法根据题意推出其单调性 4 在得到新函数的单调性后 无法利用导数转化为恒成立问题求解 5 分离参数后无法准确求得函数最值 探究一 探究二 规范解答 跟踪训练设函数f x klnx k 0 1 求f x 的单调区间和极值 2 证明 若f x 存在零点 则f x 在区间上仅有一个零点 探究一 探究二 规范解答 1 若不等式2x cosx m 4 1b m1d m2x cosx 令f x 2x cosx 则f x