人教B版 1.1.1　 正弦定理 课件（34张）.ppt

第一章解三角形 本章概览一 地位作用本章内容是初中 解直角三角形 内容的拓展与延续 也是三角函数和平面向量在解三角形中的应用 初中阶段着重定性地讨论三角形中线段与角之间的位置关系 本章进一步应用正弦定理和余弦定理定量地解决有关斜三角形问题 本章知识在现实生活中有广泛的应用 如天文测量 航海测量 地理测量以及日常生活中的距离 高度 角度的测量等 解三角形的理论被用于解决许多测量问题 因此 通过本章的学习 提高学生的数学建模能力 二 内容标准本章主要包括正弦定理和余弦定理与应用举例两部分内容 正弦定理和余弦定理是两个重要定理 重要性在于 在解决有关斜三角形问题时 实现边角转化 本章的重点是掌握正弦定理和余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 本章的难点是正确运用正弦定理和余弦定理解决与三角形有关的实际问题 三 核心素养1 加强新旧知识的联系 学习本章知识要强化与初中学习的三角形的边 角关系相联系 同时 要注意与三角函数 平面向量等知识的联系 将新知识融入已有的知识体系 从而提高综合运用知识的能力以及分析解决问题的能力 2 在理解的基础上熟记正弦定理 余弦定理 并注意定理的各种变形及应用 强化三角恒等变形练习 进一步提高运算能力及逻辑思维能力 3 在解决测量及航海等实际应用问题时 首先要弄清题意 画出直观示意图 将实际问题转化成解三角形的问题 再确定是哪类三角形问题 即选择合适定理解决 提高他们分析问题的能力与建立数学模型的能力 4 遵循从特殊到一般的认知规律 注意从实际出发 多观察 分析 归纳 总结规律 要注意数形结合思想 方程思想及转化思想的运用 1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 知识探究 点击进入 情境导学 1 正弦定理 在一个三角形中 各边的长和它所对角的的相等 即 正弦 比 2 三角的元素 把三角形的及其分别叫做三角形的元素 3 解三角形 已知三角形的求其他的过程叫做解三角形 三个角 对边 几个元素 元素 4 三角形面积公式 拓展延伸 1 正弦定理揭示了任意三角形边角之间的规律 是解三角形的重要工具 主要的变形有 1 a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 3 a b c sina sinb sinc 4 asinb bsina bsinc csinb asinc csina 2 由正弦定理解三角形 1 利用正弦定理可以解决以下两类三角形的求解问题 已知两角和任一边 求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 从而进一步求出其他的边和角 2 如图 过c作ab的垂线 根据边a与ab边上的高的大小关系来判断解的个数 注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 解可能不唯一 需判断解的个数 如 已知a b和 a 解三角形 当a b时 有唯一解 当absina 则有两解 若a bsina 则有一解 若a bsina 则无解 对解的个数的判定 可以利用三角形中 大边对大角 进行判断 3 解三角形中 需掌握的三角关系式及结论有 1 a b c 2 sin a b sinc cos a b cosc 3 abc中 a b sina sinb a b 自我检测 1 在 abc中 a 5 b 3 c 120 则sina sinb的值是 a 2 在 abc中 已知a 8 b 60 c 75 则b等于 c 3 abc中 a 7 b 8 a 105 则满足条件的三角形有 a 1个 b 2个 c 无数个 d 不存在 解析 在三角形中 大边对大角 因为a 7 b 8 b a 所以有 a105 在三角形中这显然不成立 d 4 2017 河南驻马店市名校高二期中 在 abc中 已知 a 60 bc 3 ab 则 c 答案 45 类型一 已知两角和任一边 解三角形 课堂探究 素养提升 例1 在 abc中 a 60 sinb a 3 求三角形中其他边与角的大小 方法技巧已知两角和任一边 解三角形时 可直接利用正弦定理求得边的长 要注意结合三角形的内角和为180 的结论 变式训练1 1 已知 abc中 c 10 a 45 c 30 求a b和 b 类型二 已知两边和其中一边的对角 解三角形 例2 根据下列条件 解三角形 1 已知b 4 c 8 b 30 求 c a a 2 已知a 7 b 9 a 100 解三角形 3 已知 b 30 b c 2 求 a c a 思路点拨 直接利用正弦定理和三角形内角和定理求解 并注意判断解的情况 2 因为a 7 b 9 所以a b 所以 a b 又 a 100 所以本题无解 变式训练2 1 在 abc中 已知b 3 c 3 b 30 求 a c和边a 类型三 判断三角形的形状 例3 在 abc中 已知acosb bcosa 试判断 abc的形状 思路点拨 1 要判断 abc的形状需要找出什么关系 边之间的关系或角之间的关系 2 如何通过条件acosb bcosa找出角之间或边之间的关系 利用正弦定理化边的关系为角的关系 变式训练3 1 abc中 若sin2a sin2b sin2c a 2bcosc 试判断 abc的形状 解 因为sin2a sin2b sin2c 所以由正弦定理可知a2 b2 c2 则 abc是直角三角形 又a 2bcosc 则由正弦定理可知sina 2sinbcosc 因为 a b c 180 所以sina sin 180 b c sin b c 所以sin b c 2sinbcosc 所以sinbcosc sinccosb 2sinbcosc 所以sinbcosc sinccosb 0 所以sin b c 0 因为 180 b c 180 所以 b c 0 所以 b c 所以 abc是等腰三角形 综上可知 abc为等腰直角三角形 类型四 三角形的面积公式与正弦定理的应用 变式训练4 1 2017 北京市101中学高一期中 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且c a 105 c 30 1 求b的值 2 求 abc的面积 类型五 易错辨析 例5 在 abc中 已知a2tanb b2tana 试判断 abc的形状 纠错 由于a b是 abc的内角 因此0 2a 360 0 2b 360 所以当sin2a sin2b时 既可