2011届《龙门亮剑》高三数学一轮复习 第二章 第七节函数与方程课件（理）新人教AB通用

第七节函数与方程 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y x x D 把使 成立的实数x叫做函数y x x D 的零点 2 几个等价关系方程 x 0有实数根 函数y x 的图象与 有交点 函数y x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是 x 0的根 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 3 二分法 1 二分法的定义对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y x 通过不断地把函数 x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 用二分法求函数 x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 给定精确度 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算 若 x1 0 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a1 x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复第二 三 四步 1 函数的零点是函数y x 与x轴的交点吗 提示 函数的零点不是函数y x 与x轴的交点 而是y x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 2 是否任意函数都有零点 提示 并非任意函数都有零点 只有 x 0有根的函数y x 才有零点 1 函数 x x2 3x 4的零点的个数是 A 1B 2C 3D 以上都不对 解析 x 0 即x2 3x 4 0的根是x 4或x 1 函数 x 0有两个零点 答案 B 答案 B 3 函数图象与x轴均有交点 但不宜用二分法求交点横坐标的是 解析 B中x0左右两边的函数值均大于零 不适合二分法求零点的条件 答案 B 4 用二分法求函数 x 3x x 4的一个零点 其参考数据如下 据此数据 可得 x 3x x 4的一个零点的近似值 精确到0 01 为 解析 由表中 1 5625 0 003 1 5562 0 029 可知零点近似值为1 56 答案 1 56 答案 2 6 已知函数y x 在其定义域上是单调函数 证明 y x 至多有一个零点 证明 假设函数y x 至少有两个零点 即方程 x 0至少有两个不同的实根x1 x2 且不妨设x1 x2 得 x1 0 x2 0 故 x1 x2 x 在其定义域上是单调函数 不妨设为增函数 由x1 x2 则 x1 x2 因此 相矛盾 假设不成立 故函数y x 至多有一个零点 判断下列函数在给定区间是否存在零点 1 x x2 3x 18 x 1 8 2 x log2 x 2 x x 1 3 零点的判断 思路点拨 第 1 问利用零点的存在性定理或直接求出零点 第 2 问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解 自主探究 1 方法一 1 12 3 1 18 200 1 8 0 故 x x2 3x 18 x 1 8 存在零点 方法二 令 x 0得x2 3x 18 0 x 1 8 x 6 x 3 0 x 6 1 8 x 3 1 8 x x2 3x 18 x 1 8 有零点 2 方法一 1 log23 1 log22 1 0 3 log25 3 log28 3 0 1 3 0 故 x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 方法二 设y log2 x 2 y x 在同一直角坐标系中画出它们的图象 从图象中可以看出当1 x 3时 两图象有一个交点 因此 x log2 x 2 x x 1 3 存在零点 方法点评 函数零点的存在性问题常用的方法有 1 解方程 当能直接求解零点时 就直接求出进行判断 2 用定理 零点存在性定理 3 利用图象的交点 有些题目可先画出某两个函数y x y g x 图象 其交点的横坐标是 x g x 的零点 特别提醒 如果函数y x 在 a b 上的图象是连续不断的曲线 且x0是函数在这个区间上的一个零点 但 a b 0不一定成立 用二分法求函数 x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精度度0 1 思路点拨 依据二分法求函数 x 的零点近似值的步骤 二分法求零点 自主探究 由于 1 1 1 1 10 x 在区间 1 1 5 存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 1 375 1 3125 0 0625 0 1 函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 1 3125 1 375 内 故函数零点的近似值为1 3125 方法点评 1 求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度 当区间长度小于精确度 时 运算即告结束 而此时取的中点值即为所求 当然也可取区间端点的另一个值 2 精确度与精确到是两个不同概念 精确度最后的结果不能四舍五入 而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件即取近似值之后相同 则此时四舍五入的值即为零点的近似解 1 求方程2x 4x 4的一近似解 精确到0 1 解析 原方程即为2x 4x 4 0 令 x 2x 4x 4 0 20 4 0 4 30 0 1 0 函数在区间 0 1 内有零点x0 取区间 0 1 的中点x1 0 5 用计算器可得 0 5 0 59 因为 0 5 1 0 所以x0 0 5 1 再取 0 5 1 的中点x2 0 75 用计算器可得 0 75 0 68 因为 0 5 0 75 0 所以x0 0 5 0 75 同理可得x0 0 5 0 625 x0 0 5625 0 625 由于 0 625 0 5625 0 0625 0 1 此时区间 0 5625 0 625 的两个端点精确到0 1的近似值都是0 6 所以原方程精确到0 1的近似解为0 6 与二次函数有关的零点分布问题 1 m为何值时 x x2 2mx 3m 4 有且仅有一个零点 有两个零点且均比 1大 2 若函数 x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 思路点拨 1 二次函数结合图象求解 也可用方程思想求解 2 利用函数图象求解 自主探究 1 若函数 x x2 2mx 3m 4有且仅有一个零点 则等价于 4m2 4 3m 4 0 即4m2 12m 16 0 即m2 3m 4 0解得m 4或m 1 2 若 x 4x x2 a有4个零点 即 4x x2 a 0有四个根 即 4x x2 a有四个根 令g x 4x x2 h x a 则作出g x 的图象 由图象可知要使 4x x2 a有四个根 则g x 与h x 的图象应有4个交点 故需满足0 a 4 即 4 a 0 a的取值范围是 4 0 方法点评 此类方程根的分布问题通常有两种解法 1 一是方程思想利用根与系数的关系 2 函数思想构造二次函数利用其图象分析 从而求解 本题中 2 没有用方程思想的原因是较为复杂 本题体现了函数与方程思想 数形结合思想的具体应用 2 已知函数 x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 解析 方法一 设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x1 1 0 x1 x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 方法二 函数的大致图象如图所示 则有 1 0 即1 a2 1 a 2 0 a2 a 2 0 2 a 1 12分 2008年上海春招改编 设 x log2 2x 1 g x log2 2x 1 若关于x的函数F x g x x m在 1 2 上有零点 求m的取值范围 思路点拨 令F x 0 得m g x x 只需求m的值域 即g x x 的值域即可 另外也可用m来表示x 利用x的范围来求m的取值范围 方法点评 1 函数F x 有零点 即F x 0有实数根 2 从含有多元的数学问题中 选定合适的主要变化量 从而揭示其中主要的函数关系 求出结果 答案 A 教师选讲 2009年重庆高考 已知以T 4为周期的函数f x 其中m 0 若方程3 x x恰有5个实数解 则m的取值范围为 答案 B 2 2009山东高考 14 若函数 x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 解析 函数 x 的零点的个数就是函数y ax与函数y x a交点的个数 由函数的图象可知a 1时两函数图象有两个交点 01 答案 1 3 2008年湖北高考题 已知函数f x x2 2x a bx 9x2 6x 2 其中x R a b为常数 则方程 ax b 0的解集为 解析 bx b2x2 2bx a 9x2 6x 2 a 2 b2 9且2b 6 b 3 ax b 2x 3 又由f x x 1 2 1 x 0无实数解 方程 ax b 0也无实数解 答案 1 函数零点个数 方程 x 0的实根个数 的确定方法 1 判断二次函数 x 的零点个数就是判断一元二次方程ax2 bx c 0的实根个数 一般地由判别式 0 0 0完成 2 对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用 判断的二次函数的零点 则要结合二次函数的图象进行 3 对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要用在闭区间 a b 上是连续曲线 且 a b 0 还必须结合函数的图象和性质才能确定 函数有多少个零点 方程有几个实根 2 利用二分法求方程近似解的方法给定精确度 用二分法求函数 x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 a b 0 给定精确度 2 求区间