北京高三数学考试大纲说明及解析素材

考试说明的研究与思考 数学教研室根据普通高中数学课程标准（实验），以及北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求（试行）制定的北京市数学学科的考试说明是高三教师和学生复习备考的重要参考资料，同时也是高考北京试卷命题的依据.它不但明确了高考的性质、考查范围和内容，也对考试的形式、题型、分值等做出了规定，使教师和考生能准确地了解高考的内容和形式.一、 总体分析：1.试卷结构：全卷共20题，分为选择题、填空题和解答题三种题型。三种题型题目的个数分别为8、6、6，分值分别为40、30、80.试卷由容易题、中等题、难题组成，并以中等题为主，总体难度适当.2010年北京市数学高考试卷不设选做题.2.考试内容： 2010年北京高考数学理科考试含19个板块内容，其中包括课标必修的5个模块和选修系列2、选修系列4的4-1和4-4.其中，对选修系列4中的4-1及4-4内容，试题将按照实际难度排列在试卷中，题型为选择题或填空题，分值为10分.文科数学考试含16个板块内容，其中包含课标中必修的5个模块及选修系列的相关内容.根据课程标准要求，为适应信息社会需要，2010年高考数学文、理科均新增了算法初步和统计两部分内容，文科另增加了框图等内容.具体增减考点如下：（1）新增加的考点：文科：幂函数、算法初步、函数与方程理论、茎叶图、几何概型、三视图、量词、推理与证明、框图、复数.理科：幂函数、算法初步、函数与方程理论、茎叶图、几何概型和条件概率、三视图、量词、推理与证明、定积分，几何证明选讲，极坐标、参数方程.（2）删减的考点：反函数的符号表示，任意角的余切、正割、余割，反三角函数，三垂线定理及逆定理，含有绝对值的不等式、分式不等式的解法，线段的定比分点公式、平移，两直线所成角的公式，极限、连续等.3.能力要求：依据课程标准和考试大纲，2010年北京高考数学科对能力体系进行了调整、细化和解释.数学科将以往的“思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”这四种能力调整为“抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力”的六种能力，并作了详细的分层解释.其中空间想象能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力分别和旧考试说明中的空间想象能力、运算能力、分析问题和解决问题的要求基本一致.抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力为新增能力.推理论证能力是伴随着课标中推理与证明的内容产生的，课标指出，推理与证明的内容是对学生已经学过的基本证明方法的总结，所以对于这部分内容我们更加注重方法层面的考查，注重各种推理与证明方法的应用，而对概念的抽象表述不做过多追究。对比新、旧考试说明可以看出抽象概括能力和推理论证能力替代了原来的思维能力.事实上，对考生抽象概括能力和推理论证能力一直是北京高考数学试卷考查的重点，北京市的很多高考试题都蕴含着对这两个方面数学能力的考查, 对这两种能力的考查要求大家并不陌生.数据处理能力：会依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.对数据处理能力的明确要求，会使统计知识与方法的考查得到加强.4.知识要求：根据高中课程标准和北京地区的实际情况，在考试范围与要求层次中，除了新增加或删减的内容作了必要的说明外，也有一些重要知识点的要求层次与以往相比做了一些调整.如：函数的奇偶性，由原来的A层次要求调整到B层次要求；在导数及其应用中，利用导数研究函数的单调性、函数的极值、最值中，都由原来的B层次要求调整到C层次要求；又如：函数中的反函数，由原来B层次要求调整到A层次要求；三角函数中的诱导公式、正弦定理、余弦定理都由原来的C层次要求调整到B层次要求；在导数及其应用中：导数的概念及其几何意义，也由原来B、C层次的要求调整到A、B层次要求；复数的四则运算也由原来C层次要求调整到B层次要求；特别是理科解析几何中对“双曲线”的要求，由原来C层次要求调整到A层次要求，等等.这些调整是我们高三数学教师和考生在备考中应当关注的问题，要有目的、有计划的进行复习.表示现行考试说明的要求；或表示原考试说明的要求，用，表示提高要求，用，意味降低要求； 表示新增的考点.理科 二、考试范围与要求层次 考试内容1要求层次ABC集合与常用逻辑用语集合集合的含义集合的表示集合间的基本关系集合的基本运算常用逻辑用语“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题四种命题的相互关系充要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词考试内容2要求层次ABC函数概念 与指数函数、对数函数、幂函数函数函数的概念与表示映射单调性与最大（小）值奇偶性指数函数有理指数幂实数指数幂幂的运算指数函数的概念、指数函数的图象及其性质对数函数对数的概念及其运算性质换底公式对数函数的概念、对数函数的图象及其性质指数函数与对数函数互为反函数（且）幂函数幂函数的概念幂函数，的图象及其性质函数的模型及其应用函数的零点二分法函数模型的应用考试内容3要求层次ABC三角函数、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角的概念和弧度制弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切诱导公式同角三角函数的基本关系式周期函数的定义、三角函数的周期性函数，的图象和性质函数的图象用三角函数解决一些简单的实际问题三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的恒等变换解三角形正弦定理、余弦定理解三角形考试内容4要求层次ABC数列数列的概念数列的概念和表示法等差数列、等比数列等差数列的概念等比数列的概念等差数列的通项公式与前项和公式等比数列的通项公式与前项和公式考试内容5要求层次ABC不等式一元二次不等式解一元二次不等式简单的线性规划用二元一次不等式组表示平面区域简单的线性规划问题基本不等式：（）用基本不等式解决简单的最大（小）值问题考试内容6要求层次ABC推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳和类比演绎推理直接证明与间接证明综合法分析法反证法数学归纳法数学归纳法试内容7要求层次ABC平面向量平面向量平面向量的相关概念向量的线性运算向量加法与减法向量的数乘两个向量共线平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理平面向量的正交分解及其坐标表示用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的数量积数量积数量积的坐标表示用数量积表示两个向量的夹角用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用用向量方法解决简单的问题考试内容8要求层次ABC导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算根据导数定义求函数，的导数导数的四则运算简单的复合函数（仅限于形如）的导数）导数公式表导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理定积分的概念微积分基本定理内容9要求层次ABC数系的扩充与复数的引入复数的概念与运算复数的基本概念，复数相等的条件复数的代数表示法及几何意义复数代数形式的四则运算复数代数形式加减法的几何意义考试内容10要求层次ABC立体几何初步空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体三视图斜二侧法画简单空间图形的直观图球、棱柱、棱锥的表面积和体积 点、直线、平面间的位置关系空间线、面的位置关系公理l、公理2、公理3、公理4、定理*线、面平行或垂直的判定线、面平行或垂直的性质 *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。考试内容11要求层次ABC空间向量与立体几何空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式空间向量及其运算空间向量的概念空间向量基本定理空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的线性运算及其坐标表示空间向量的数量积及其坐标表示运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量的应用直线的方向向量平面的法向量线、面位置关系线线、线面、面面的夹角考试内容12要求层次ABC平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率过两点的直线斜率的计算公式两条直线平行或垂直的判定直线方程的点斜式、两点式及一般式两条相交直线的交点坐标两点间的距离公式、点到直线的距离公式两条平行线间的距离圆与方程圆的标准方程与一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系考试内容13要求层次ABC圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程椭圆的简单几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线的简单几何性质双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程曲线与方程的对应关系考试内容14要求层次ABC算法初步算法及其程序框图算法的含义程序框图的三种基本逻辑结构基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句考试内容15要求层次ABC计数原理加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题排列与组合排列、组合的概念排列数公式、组合数公式用排列与组合解决一些简单的实际问题二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题考试内容16要求层次ABC统计随机抽样简单随机抽样分层抽样和系统抽样用样本估计总体频率分布表，直方图、折线图、茎叶图样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征变量的相关性线性回归方程考试内容17要求层次ABC概率事件与概率随机事件的概率随机事件的运算两个互斥事件的概率加法公式古典概型古典概型几何概型几何概型概率取有限值的离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率事件的独立性次独立重复试验与二项分布取有限值的离散型随机变量的均值、方差正态分布考试内容18要求层次ABC几何证明选讲相似三角形平行截割定理直角三角形射影定理圆圆周角定理圆的切线的判定定理及性质定理相交弦定理圆内接四边形的性质定理与判定定理切割线定理考试内容19要求层次ABC坐标系与参数方程极坐标系用极坐标表示点的位置极坐标和直角坐标的互化参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程文科：二、考试范围与要求层次考试内容1要求层次ABC集合与常用逻辑用语集合集合的含义集合的表示集合间的基本关系集合的基本运算常用逻辑用语“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题四种命题的相互关系充要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词考试内容2要求层次ABC函数概念与指数函数、对数函数、幂函数函数函数的概念与表示映射单调性与最大（小）值奇偶性指数函数有理指数幂实数指数幂幂的运算指数函数的概念、图象及其性质对数函数对数的概念及其运算性质换底公式对数函数的概念、图象及其性质指数函数与对数函数互为反函数（且）幂函数幂函数的概念幂函数，的图象及其性质函数的模型及其应用函数的零点二分法函数模型的应用考试内容3要求层次ABC三角函数、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角的概念和弧度制弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切诱导公式同角三角函数的基本关系式周期函数的定义、三角函数的周期性函数，的图象和性质函数的图象用三角函数解决一些简单的实际问题三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的恒等变换解三角形正弦定理、余弦定理解斜三角形内容4要求层次ABC数列数列的概念数列的概念和表示法等差数列、等比数列等差数列的概念等比数列的概念等差数列的通项公式与前项和公式等比数列的通项公式与前项和公式考试内容5要求层次ABC不等式一元二次不等式解一元二次不等式简单的线性规划用二元一次不等式组表示平面区域简单的线性规划问题基本不等式：（）用基本不等式解决简单的最大（小）值问题考试内容6要求层次ABC推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳和类比演绎推理直接证明与间接证明综合法分析法反证法考试内容7要求层次ABC平面向量平面向量平面向量的相关概念向量的线性运算向量加法与减法向量的数乘两个向量共线平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理平面向量的正交分解及其坐标表示用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的数量积数量积数量积的坐标表示用数量积表示两个向量的夹角用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用用向量方法解决简单的问题考试内容8要求层次ABC导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算根据导数定义求函数， 的导数导数的四则运算导数公式表导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题考试内容9要求层次ABC数系的扩充与复数的引入复数的概念与运算复数的基本概念，复数相等的条件复数的代数表示法及几何意义复数代数形式的四则运算复数代数形式加减法的几何意义考试内容10要求层次ABC立体几何初步空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体三视图斜二侧法画简单空间图形的直观图球、棱柱、棱锥的表面积和体积 点、直线、平面间的位置关系空间线、面的位置关系公理l、公理2、公理3、公理4、定理*线、面平行或垂直的判定线、面平行或垂直的性质 *公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。考试内容11要求层次ABC平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率过两点的直线斜率的计算公式两条直线平行或垂直的判定直线方程的点斜式、两点式及一般式两条相交直线的交点坐标两点间的距离公式、点到直线的距离公式两条平行线间的距离圆与方程圆的标准方程与一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式考试内容12要求层次ABC圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程椭圆的简单几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线的简单几何性质双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系考试内容13要求层次ABC算法初步算法及其程序框图算法的含义程序框图的三种基本逻辑结构基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句考试内容14要求层次ABC框图流程图程序框图工序流程图（统筹图）简单实际问题的流程图结构图结构图考试内容15要求层次ABC统计随机抽样简单随机抽样分层抽样和系统抽样用样本估计总体频率分布表，直方图、折线图、茎叶图样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征变量的相关性线性回归方程考试内容16要求层次ABC概率事件与概率随机事件的概率随机事件的运算两个互斥事件的概率加法公式古典概型古典概型几何概型几何概型北京市2010年高考文科数学参考样题样题选自高考数学北京卷和“北京市新课程高考形式与内容改革试题”一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【试题1】(2006年文史类第1题)设集合，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元一次不等式的解法.本题难度为0.94【试题2】(2003年文史类第1题)设，则A. B.C. D. 安徽【答案】D【说明】本题考查指数函数的概念、指数的运算和指数函数的单调性.把、都化成以2为底的指数幂，得，.由函数在上是增函数，且，得.本题难度为0.61 【试题3】(2007年文史类第3题)函数的最小正周期是（） 【答案】B【说明】本题考查三角函数的周期性能及和角与差角公式.因为，所以的最小正周期为.本题难度为0.83【试题4】(2006年文史类第2题)函数的图象A.关于轴对称B.关于轴对称 C.关于原点对称D.关于直线对称【答案】B【说明】本题考查余弦函数的性质、函数的奇偶性及其图像的对称性.本题难度为0.72【试题5】(2004年文史类第3题)设、是两条不同的直线，、是三个不同平面.给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的序号是A. B. C. D.【答案】A【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力.本题难度0.71【试题6】(2005年文史类第4题)若，且，则向量与的夹角为A. B. C. D.【答案】C【说明】本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件.由两向量的夹角公式和已知条件知，这里只需求得的值即可.由，得，再由已知求得，得.本题难度为0.49【试题7】(由2005年文史类第5题改编)从原点向圆作两条切线，则这两条切线所成锐角的大小为 【答案】C【说明】本题主要考查圆的方程、圆的切线的性质，考查数形结合的思想方法.把圆的方程化为，可知该圆圆心坐标为，半径为3.依题意作出图形(如图)，即可求.在中，由于，故.【试题8】(2008年测试一第7题)甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：、分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【说明】本题主要考查平均数、标准差的概念.由甲、乙成绩分布的对称性可得，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到.本题难度为0.78【试题9】(2008年测试题改编)当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中处的数应该是A. B. C. D.【答案】C【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.由，得.【试题10】(2009年测试题改编)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】D【说明】本题主要考查简单组合体的三视图及其体积.由几何体的三视图可知该组合体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，于是该几何体的体积为.【试题11】(2006年文史类第5题)已知是上的增函数，那么的取值范围是A.B.C. D. 【答案】D【说明】本题以分段函数为载体，考查函数单调性的概念以及一次函数及对数函数的性质.函数在内为增函数的条件是.函数在内为减函数的条件是.要使是上的增函数，还应有.由上可解得.本题难度为0.68【试题12】(2006年文史类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口、的机动车辆数如图所示，图中、分别表示该时段单位时间通过路段、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则A. B.C. D. 【答案】C【说明】本题是一道以环岛交通流量为背景的应用题，主要考查方程的思想和不等式的性质，对阅读理解能力以及在新颖的情境中选择和建立适当的数学模型的能力等都有一定要求.依题意，可有，于是可得.本题难度为0.47【试题13】(2009年文史类第8题)设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合表示的平面区域是A三角形区域B四边形区域 C五边形区域D六边形区域【答案】D【说明】本题主要考查数形结合的思想方法，考查综合应用所学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.如图，作线段的中垂线，则在直线的下方(包括线上)的点满足.同样，作、的中垂线，得到集合表示的平面区域是如图的六边形区域. 本题难度为0.32二、 填空题：把答案填在题中横线上.三、 【试题14】(2008年测试题改编)口袋中有形状大小都相同的4只小球，其中有2只红球2只黄球，从中依次不放回地随机摸出2只球，那么2只都是黄球的概率为 ；2只球颜色不同的概率为 【答案】 【说明】本题主要考查随机事件的概率及性质，考查古典概型的概率求解方法.由于基本事件的总数为12，2只都是黄球的事件包含的基本事件的个数为2，2只球颜色不同的事件包含的基本事件的个数为8，因此2只都是黄球的概率为；2只球颜色不同的概率为 【试题15】(2006年文史类第13题)在中，、的对边分别为、，若，则 ，的大小是 【答案】 【说明】本题主要考查正弦定理、余弦定理.由正弦定理得，由余弦定理得，所以.本题难度为0.66【试题16】(2004年文史类第14题)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前项和的值为 【答案】3 52【说明】本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力.只要能够理解“等和数列”的概念，即可依题意得出已知的等和数列为2，3，2，3，2，3，于是可得答案.本题难度为0.74【试题17】(2008年测试一第9题)在区间上随机取一实数，则该实数在区间上的概率为 【答案】【说明】本题主要考查几何概型的概率计算.由于试验的全部结果构成的区域长度为9，构成该事件的区域长度为3，所以概率为.本题难度为0.54【试题18】(2008年文史类第13题)如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 【答案】【说明】本题主要考查函数的概念和导数的几何意义.根据函数的图像可知，因此.由导数的几何意义可知为函数的图像在处的切线斜率 直线的斜率，所以.本题难度为0.59【试题19】(2006年文史类第14题)已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于 ,最大值等于 【答案】 【说明】本题主要考查线性规划等基础知识.依题意，作出满足约束条件的平面区域，为如图所示的及其内部，、，分别求、，并比较大小可得结论.本题难度为0.54【试题20】(2007年文史类第13题)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 【答案】【说明】本题主要考查三角恒等变换、求值等基础知识.设直角三角形的短边长为，则由已知条件可得，解得，从而，.本题难度为0.46三、解答题：解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.【试题21】(2009年文史类第15题)已知函数. 求的最小正周期；求在区间上的最大值和最小值.【答案】（），函数的最小正周期为.（）由，在区间上的最大值为1，最小值为.【说明】本题主要考查三角函数的图像及性质，考查诱导公式、二倍角的正弦公式、函数的周期及最大值为最小值.本题难度为0.65【试题22】(2006年文史类第16题)如图，在三棱柱中， 底面，是的中点.求证：；求证：平面.【答案】(1)三棱柱底面三边长，.又底面，.，平面，.(2)设与的交点为，连结.是的中点，是的中点，.平面，平面，平面.【说明】本题主要考查直线与平面平行、垂直的位置关系，考查空间想象能力.【试题23】(由2008年工题改编)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.求且的概率；求函数的图像与无交点的概率.【答案】(1)由于第一次抛掷骰子的每一个结果都可以与第二次抛掷骰子的任意个结果配对，组成先后抛掷一枚骰子的一个结果，因此先后抛掷一枚骰子的结果共有36种.且的结果有，其中第一个数表示第一次抛掷骰子的结果，第二个数表示第二次抛掷骰子的结果.因此且的概率.(2) 函数的图像与无交点，即没有实根，则，即.当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 函数的图像与无交点的概率为.【说明】本题主要考查随机事件的概率，考查分类讨论的思想方法以及分析问题、解决问题的能力.【试题24】(2008年测试一第15题)某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取名同学的成绩，数据如下：分组频数频率频率/组距合计求出表中、，、的值； 根据上表，请在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；若该区高二学生有5000人，试估计这次统考中该区高二学生分数在区间内的人数.【答案】(1)因为，所以.从而，.(2)频率分布直方图如下：(3)该区高二同学分数在区间内的人数约为(人).【说明】本题主要考查用样本估计总体，考查数据处理能力.本题难度为0.70【试题25】(2009年文史类第18题)设函数.若曲线在点处与直线相切，求、的值；求函数的单调区间与极值点.【答案】（）,曲线在点处与直线相切，即，.（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.【说明】本题主要考查导数的运导数的几何意义、导数符号与函数单调性的关系、函数极值点的概念与求法等基本内容；考查运算能力、分类讨论的思想方法、分析问题和解决问题的能力.本题难度为0.37【试题26】(2008年文史类第19题)已知的顶点在椭圆上，在直线:上，且.当边通过坐标原点时，求的长及的面积；当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程.【答案】因为，且边通过点，所以所在直线的方程为.设、两点坐标分别为、.由得所以.又因为边上的高等于原点到直线的距离，所以，.（）设所在直线的方程为. 由得因为、在椭圆上，所以设、两点坐标分别为、.则所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以所以当时，边最长.（这时）此时所在直线的方程为.【说明】本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算能力、分析问题的解决问题的能力.本题难度为0.19【试题27】(2009年文史类第20题)设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.若，求；若，求数列的前项和的公式；是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.【答案】()由题意，得，解，得. 成立的所有n中的最小整数为7，即. （）由题意，得，对于正整数，由，得.根据的定义可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，；当时，. .（）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾. 当，即时，得，解得.(经检验符合题意) 所以存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.【说明】本题考查不等式、数列等基础知识，考查分类讨论的思想方法与抽象概括、推理论证能力.本题难度为0.12北京市2010年高考理科数学参考样题样题选自高考数学北京卷和“北京市新课程高考形式与内容改革试题”一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【试题1】(2003年理工类第1题)设集合，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【说明】本题主要考查集合、交集的概念，一元二次不等式的解法，对数函数的性质.本题难度为0.98【试题2】(2006年理工类第1题)在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【说明】本题考查复数的概念及复数的几何意义.本题难度为0.80【试题3】(2006年理工类第3题)在1、2、3、4、5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【说明】本题考查排列、组合的基础知识，考查推理能力.经分析可知要从1，2，3，4，5中取三个数，使其和为奇数，只有取一个奇数两个偶数或本个奇数才符合要求.于是可得满足条件的三位数的个数共有.本题难度为0.75【试题4】(2004年理工类第3题)设、是两条不同的直线，、是三个不同平面.给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的序号是A. B. C. D.【答案】A【说明】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，并考查把符合语言、文字语言、图形语言进行转换的能力，以及空间想象能力.本题难度0.90【试题5】(20035年理工类第3题)若，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 【答案】C【说明】本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件.由两向量的夹角公式和已知条件知，这里只需求得的值即可.由，得，再由已知求得，得.本题难度为0.70【试题6】(2005年理工类第2题) “”是“直线与直线相互垂直”的A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【说明】本题考查充分必要条件的概念以及两直线垂直的条件.当时，两直线方程为，由于它们相互垂直，所以是两直线垂直的充分条件.当时，两直线方程为，由于它们相互垂直，所以不是两直线垂直的必要条件.本题难度为0.63【试题7】(2008年测试一第7题)甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：、分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【说明】本题主要考查平均数、标准差的概念.由甲、乙成绩分布的对称性可得，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到.本题难度为0.78【试题8】(由2008年测试题改编)当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中处的数应该是A. B. C. D. 【答案】C【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.由，得.【试题9】(由2009年测试题改编)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A. B. C. D. 【答案】D【说明】本题主要考查简单组合体的三视图及其体积.由几何体的三视图可知该组合体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，于是该几何体的体积为.【试题10】(2006年理工类第5题)已知是上的减函数，那么的取值范围是A.B.C. D. 【答案】C【说明】本题以分段函数为载体，考查函数的单调性的概念以及一次函数和对数函数的性质.函数在内为减函数的条件是.函数在内为减函数的条件是.要使是上的减函数，还应有.由上解得.本题难度为0.49【试题11】(由2008年理工类第7题改编)过直线上的一点作圆的两条切线、，当直线、关于对称时，它们之所成的锐角的大小为A. B. C. D. 【答案】C【说明】本题主要考查直线和圆的方程等基础知识，考查空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.设、交点为，圆心为，切点分别为、，则直线，其中：，如图所示.点到的距离，半径，在中，故，.【试题12】(2006年理工类第8题)图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口、的机动车辆数如图所示，图中、分别表示该时段