北京海淀区第一学期高三级期末练习数学理

海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 2008.01学校： 班级： 姓名： 题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）设集合若，则的范围是 ( ) （A） （B） （C） （D）（2）函数图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）（A） （B） （C） （D） （3）在边长为的正三角形中，设则等于（ ）(A) (B) (C) (D) （4）设i为虚数单位，则展开式中的第三项为 （ ）（A） （B） (C) 6 (D) （5）设、是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题： 若 则 若，则 若，则 若，则其中真命题的序号是（ ）(A) (B) (C) (D) （6）已知点，B为椭圆+=1的左准线与轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ( )（A） （B） （C） （D）（7）已知函数，为的反函数，则函数与在同一坐标系中的图象为 （ ） （A） （B） （C） （D） (8) 已知函数是定义在上的增函数，其中设函数，且不恒等于，则对于有如下说法：定义域为 是奇函数 最小值为 在定义域内单调递增其中正确说法的个数有 （ ）（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 .（10）在中， ，且的面积为，则 ； .（11）已知函数 那么不等式的解集为 .（12）设不等式组所表示的平面区域为S,则S的面积为 ；若，为S内的两个点， 则的最大值为 .（13）已知是以为球心的球面上的四个点，两两垂直，且，则球的半径为 ；球心到平面的距离为 （14）在100，101，102，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是 个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第_个数. （用数字作答） 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.(15)（本小题共12分）已知向量设函数(I) 求函数的单调递增区间；(II) 求函数的最大值及取得最大值时的集合.（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点 . （I） 求证： 平面； （II） 求二面角的大小； （III）求证：平面平面.（17）（本小题共12分）某城市有30的家庭订阅了A报，有60的家庭订阅了B报，有20的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭. （）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；（）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；（）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率.（18）（本小题共14分）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为（I）求抛物线S的方程；（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说明动直线PQ是否过一个定点.（19）（本小题共14分）设、是函数的两个极值点.（I）若，求函数的解析式；（II）若，求的最大值;（III）设函数，当时，求证： .（20）（本小题共14分）已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数，总有成立.（I）求的值，并证明函数为偶函数；（II）定义数列：，求证：为等比数列；（III）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 参考答案及评分标准 2008.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案BB A DD CAC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）2 （10），8 （11） （12）16，（13）， （14） 204 ，53 三、解答题（本大题共6小题,共80分.）(15) （共12分）解: (I)由已知可得 1分 6分 由得： 8分 即函数的单调递增区间为. 9分 (II)由(I) 有， . 10分所求的集合为. 12分 (16) （共14分） 方法一：（）证明：连结交于，连结. 1分 是正方形， 是的中点. 是的中点，是的中位线. 2分 又平面， 平面， 3分平面. 4分 （）解：取中点，则.作于，连结. 5分 底面，底面. 为在平面内的射影.,. 为二面角的平面角. 7分 设，在中， . 二面角的大小为. 9分 （III）证明：由条件有 平面， 10分 又 是的中点， 平面 11分 由已知 平面 又平面 平面平面 14分方法二：解：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 5分 由故设，则 . 底面，是平面的法向量，设平面的法向量为, , 7分则 即 令,则. 8分, 二面角的大小为 9分（III）， ， 10分 12分又且. 又平面 平面平面. 14分（17）（共12分）解：（）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报”的事件为A， 1分 4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率为.（）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报”的事件为B， 5分 8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率为.（III） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅”的事件为C， 9分因为有30的家庭订阅了A报，有60的家庭订阅了B报，有20的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30. 所以 12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率为.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：(I) 设抛物线S的方程为 1分由 可得 3分由，有，或设则 5分设，由的重心为则， 6分点A在抛物线S上， 7分抛物线S的方程为 8分（II）当动直线的斜率存在时，设动直线方程为，显然 9分，设 10分将代入抛物线方程，得从而，动直线方程为，此时动直线PQ过定点 12分当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，为等腰直角三角形.由 得到，此时直线PQ亦过点. 13分综上所述，动直线PQ过定点. 14分（19）（共14分）解（I）， 1分依题意有，. 2分解得，. . 4分 （II）,依题意，是方程的两个根，且， . ，. ，. 6分 设，则. 由得，由得. 即：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 当时，有极大值为96，在上的最大值是96， 的最大值为. 9分（III） 证明：是方程的两根，. 10分，. ，即 12分. 14分成立.（20）（共14分）解：(I) 令，. 1分令，即，对任意的实数总成立。为偶函数. 3分（II）令，得 .