31(黄昆固体物理)教案

31(黄昆固体物理)教案 第三章晶格振动与晶体的热学性质本章的主要内容是阐明格波的概念，并在晶格振动理论的基础上讲述晶体的宏观热学性质。 教学重点一维单原子链晶格的振动和格波的概念。 教学难点晶格振动理论和晶体的宏观热学性质。 教学时数11学时。 讲授方式PPT文档。 晶格振动热学性质研究的发展简介实际晶体中的原子在平衡位置为原点作振动，晶格振动的研究，最早是从晶体的热学性质开始的。 热容量是热运动在宏观性质上最直接的表现。 杜隆珀替经验规律一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由度平均热能为kT摩尔热容量3Nk3R将固体的热容量和原子的振动联系起来。 实验表明在较低的温度下，热容量随着温度的降低而不断下降。 晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。 晶格振动对晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波，简谐近似下，系统的哈密顿量为相互独立的简谐振动哈密顿量之和，这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的，可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。 这些谐振子的能量量子声子。 晶格振动的总体就可看作是声子的系综。 3.1简谐近似和简正坐标1.教学目的和要求:通过讲解使学生理解并掌握简谐近似的概念；掌握利用简正坐标简化简谐振动的动能和势能的表达式。 2教学重点简谐近似和简谐振动。 3教学难点谐振动的动能和势能的简正坐标简化。 ?4讲授时间45分钟。 ?n(t)5讲授方式PPT文档。 6作业学生课后复习。 一简谐近似和简谐振动简谐近似只考虑最近邻原子之间的相互作用。 ?晶体由N个质量为m的原子组成。 考虑第n个原子。 第n原子的平衡位矢R n第n原子偏离平衡位置的位移矢量:?n(t)可以将其作为原子位移矢量宗量?R?R?(t)第n原子的位置矢量:n nn?n(t)在三个方向上的分量:?i(i?1,2,3)对于N个原子位移矢量共有3N个分量:?i(i?1,2,3,4,?,3N)N个原子体系的势能在平衡位置展开3NV?V0?(?i?1?Vi)0?i?123Ni,j?1?(?V?i j2)0?i?j?High items取V0?0,在平衡位置(?V?i)0?0，不计高阶项得到V?13N(?2?i,j?1?Vi2?)0?i?j，简谐近似条件下的势能函数jN个原子体系的动能函数T?123N?i?12i?i mi?2系统的哈密顿量H?13Ni?m?2i?1?123Ni,j?1?(?i?V2)0?i?j j直接应用上式去求解系统的问题，由于存在坐标的交叉项而变得非常困难。 二简正坐标、简谐振动的简正坐标变换引入正则（简正）坐标Q1,Q2,Q3,?Q3N，原子的坐标和正则坐标通过正交变换联系起来。 3Nm i?i?动能为正定，据线性代数理论，假设存在线性变换?L?p i?Q i?Q i3N3N11222?Q系统的哈密顿量H?Q?i ii2i?12i?1拉格朗日函数L?T?V?aj?1ij Qj1?Q?2i?13N2i?13N2i?2i?1Q i2正则动量p i?L?Q i?Q i系统的哈密顿量H?13N?2i?1p?2i13N2i?2i?1Q i，消除了交叉项2?H?Q i?p i由正则方程?H?i?p?Q i?得到Q i?i Q i?0，i?1,2,3,?3N2，3N个独立无关的方程。 任意简正坐标方程的解Q i?A sin(?i t?)，振动圆频率?i简正振动表示整个晶体所有原子都参与的振动，且振动频率相同。 振动模由简正坐标所代表的所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。 如果只考察某一个振动模，原子的位移宗量坐标:?i?a ijmiQj?3Na ijmiA sin(?j t?)如果晶体中存在多个振动模，原子的位移宗量坐标?i?系统的能量本征值计算?i?1a ijmiAsin(?j t?)?i?i?正则动量算符p?Q i系统薛定谔方程(3N123N?i?13Np?2i123N?i Q i)?(Q1,?Q3N)?E?(Q1,Q2?Q3N)i?122?i?112(?2?22?Q i?i?12iQ i)?(Q1,?Q3N)?E?(Q1,Q2?Q3N)21任意一个简正坐标:2?2?22?Q i?i Q i?(Q i)?i?(Q i)，谐振子方程22能量本征值?i?(n i?本征态函数:?n(Qi)?i12)?i?i?3Nexp(?22)Hn