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微积分基本定理 普通高中课程标准实验教科书 选修2 2 公元3世纪诞生的刘徽著名的 割圆术 割之弥细 所失越少 则与圆周合体而无所失矣 割之又割 以至于不可割 定积分的定义 1 定义法 分割 近似代替 求和 取极限 复习回顾 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积 s 2 几何意义 复习回顾 有没有更好的方法求定积分 如果总是用定义来求定积分 那将非常麻烦 有时甚至无法计算 而求导数比求定积分容易得多 17世纪 牛顿和莱布尼茨找到两者之间的关系 我们还是从爬山说起 如图 把地平面取作横坐标轴 y f x 是爬山路线 并假定曲线y f x 与x轴在同一平面内 a是出发点 点b为山顶 课堂探究 我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在直线的斜率的关系 不妨以 xk xk 1 为例 ef是曲线过点e的切线 其斜率为f xi 于是gf f xk x 在此段所爬高度hk为gh gh f xk 1 f xk 当 x很小时 即n很大 hk gh gf 课堂探究 即f xk 1 f xk f xk x 这样 我们得到了一系列近似等式 h1 f a x f a f a x h2 f a 2 x f a x f a x x h3 f a 3 x f a 2 x f a 2 x x hn 1 f a n 1 x a n 2 x f a n 2 x x hn f b f a n 1 x f a n 1 x x 课堂探究 将上列n个近似等式相加 得到从a到b所爬的总高度h h1 h2 hn f b f a 由定积分定义可知 当 x 0时 这一公式告诉我们 f x 从a到b的积分等于f x 在两端点的取值之差 课堂探究 微积分基本定理 如果f x f x 且f x 在 a b 上可积 则 其中f x 叫做f x 的一个原函数 一般地 原函数在 a b 上的改变量f b f a 简记作f x 因此微积分基本定理可以写成形式 牛顿 莱布尼茨公式 求导数与定积分是互为逆运算 课堂新知 回顾 基本初等函数的导数公式 新知 基本初等函数的原函数公式 例1计算 1 2 解 1 因为 所以 2 因为 所以 课堂练习 例2 求曲边图形面积 1 求y sinx在 0 上阴影部分的面积s 2 求曲线y sinx与x轴在区间 0 2 上所围成阴影部分的面积s 定积分和曲边图形面积的关系 课堂互动 1 微积分基本定理是微积分中最重要 最辉煌的成果 它揭示了导数和定积分之间的内在联系 同时它也提供了计算定积分的一种有效办法 2 寻找满足f x f x 的函数f x 一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则 从反方向上求出f x 课堂收获 3 求曲
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