高考数学二轮复习专题一第4讲导数与函数的单调性极值最值问题案文.docx

第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，则f(x)极小值为f(1)1.答案A2.(2017全国卷)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_.解析设yf(x)，则f(x)2x，所以f(1)211，所以在(1，2)处的切线方程为y21(x1)，即yx1.答案yx13.(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若a0，且a1)；(4)(logax)(a0，且a1，x0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.热点一导数的几何意义【例1】 (1)(2017鹰潭一模)已知曲线f(x)2x21在点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为_.(2)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.解析(1)f(x)2x21，f(x)4x，令4x08，则x02，f(x0)9，点M的坐标是(2，9).(2)因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)f(x)ex1x.所以f(x)ex11，f(1)e1112.所以f(x)在点(1，2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案(1)(2，9)(2)2xy0探究提高1.(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化，其中关键是求出切点的坐标.(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解.2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.【训练1】 (1)(2017湖北百所重点高中联考)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A.1 B.1 C.2 D.2(2)(2017长郡中学调研)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.解析(1)由f(x1)，知f(x)2.f(x)，且f(1)1.由导数的几何意义，所求切线的斜率k1.(2)y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.答案(1)A(2)1热点二利用导数研究函数的单调性命题角度1确定函数的单调性(区间)【例21】 已知函数f(x)ln x，其中常数k0，(1)讨论f(x)在(0，2)上的单调性；(2)若k4，)，曲线yf(x)上总存在相异两点M(x1，y1)，N(x2，y2)使得曲线yf(x)在M，N两点处切线互相平行，求x1x2的取值范围.解(1)因为f(x)1(x0，k0).当0kk0，且2，所以x(0，k)时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；当k2时，k2，f(x)2时，0，所以x时，f(x)0，所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数.(2)由题意，可得f(x1)f(x2)(x1，x20，且x1x2)，则11，化简得4(x1x2)x1x2，又x1x2，4(x1x2)对k4，)恒成立，令g(k)k，则g(k)10.g(k)k在4，)上是增函数，所以g(k)g(4)5，所以，所以x1x2，故x1x2的取值范围为.探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)0.(2)对k分类讨论不全，题目中已知k0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.【迁移探究1】 若将本例中的条件“k0”变为“k0”，其他条件不变，f(x)在(0，2)上的单调性如何？解由例21解析知f(x)在(0，2)上f(x)0，故f(x)在(0，2)上为减函数.【迁移探究2】 在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，)，其他条件不变，求函数f(x)的单调区间.解由例题知f(x).当0k2时，k，f(x)的单调减区间为(0，k)，增区间为.当k2时，k2，f(x)2时，k，f(x)的单调减区间为和(k，)，增区间为.命题角度2根据函数的单调性求参数的取值范围【例22】 (2017兰州二模)已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解(1)当a1时，f(x)x22ln x3x，则f(x)x3.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0时恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立.又(x)(x1)2，x(0，)的最小值为.当a时，g(x)0恒成立.又当a，g(x)当且仅当x1时，g(x)0.故当a时，g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增.探究提高1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.【训练2】 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围；解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x.所以函数f(x)的单调递增区间是(，).(2)因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1，1)上单调递增.所以g(x)g(1)(11).所以a的取值范围是.热点三利用导数研究函数的极值和最值命题角度1求函数的极值、最值【例31】 (2017北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)f(x)excos xx，f(0)1，f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1.(2)f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)f(x)，则g(x)2sin xex0在上恒成立，且仅在x0处等号成立，g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，f(x)0且仅在x0处等号成立，f(x)在上单调递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf.命题角度2与函数极值点个数有关问题【例32】 (2017衡水中学月考)已知函数f(x)ax1ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减.f(x)在(0，)上没有极值点.当a0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x处有极小值.综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的最大值是1.探究提高1.求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.3.求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练3】(2017郴州二模选编)已知函数f(x)ax2(12a)xln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0，因为a0，x0，0，x10，得x1，f(x)的单调递增区间为(1，).(2)由(1)可得f(x)，因为a1，即a0时，f(x)0，因此f(x)在(0，1)上是减函数，f(x)在上的最小值为f(1)1a.当1，即1a时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，因此f(x)在上是减函数，在上是增函数，f(x)的最小值为f1ln(2a).当，即a0，因此f(x)在上是增函数，f(x)的最小值为faln 2.综上，函数f(x)在区间上的最小值为：f(x)min1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、选择题1.曲线yex2x在点(0，1)处的切线方程为()A.yx1 B.yx1C.y3x1 D.yx1解析求导函数yex2，当x0时，ye023，所以曲线yex2x在点(0，1)处的切线方程为y3x1.答案C2.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合.答案D3.函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是()A.0 B.1C.2 D.无数解析函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x0，g(x)6x22x1的200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.答案A4.(2017安徽江淮十校联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2 B.4，)C.(，2 D.(0，3解析易知f(x)的定义域为(0，)，且f(x)x.由f(x)x0，解得0x3.因为f(x)x29ln x在a1，a1上单调递减，解得10，则x0)，则f(x)3(x0).f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.答案2xy108.(2017郴州三模)已知奇函数f (x)则函数h(x)的最大