第28讲数列概念及等差数列-副本.doc

数列概念及等差数列三要点精讲1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是= （7，），数列的通项公式是= （）。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。2等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。（2）等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。（4）等差数列的前和的求和公式：。四典例解析题型1：数列概念例1根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。例2数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？题型2：数列的递推公式例3（1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式； （2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。题型3：数列的应用例4设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）。题型4：等差数列的概念例7设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）例8（2006年江苏卷）设数列、满足：，（n=1,2,3,），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,）数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,）， 得：= 从而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨设（n=1,2,3,），则（常数）故从而得：，故（常数）（n=1,2,3,），数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）。证法二：令An = a n+1- a n，由b nb n+1知a n - a n+2a n+1- a n+3。从而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AnAn+2（n=1,2,3,）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. 由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. -得(An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 因为An-An+20，An+1- An+30，An+2- An+40,所以由得An-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+1=An+1+2An+2+3An+2=d2, 从而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 由和得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,)，所以数列a n是等差数列。点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果。题型5：等差数列通项公式例9（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D解析：，将代入，得，从而。选B。点评：应用等差数列的通项公式将因式转化为只含首项和公差的式子，变元减少，因式就容易处理了。例10（1）（2005湖南16）已知数列为等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）证明解析：（1）（I）解：设等差数列的公差为d。由即d=1。所以即（II）证明因为，所以 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。题型6：等差数列的前n项和公式例11（1）（2002京皖春，11）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项（2）（2001全国理，3）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6（3）（2006年全国卷II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（ ）A B C D解析：（1）答案：A设这个数列有n项n13（2）答案：B前三项和为12，a1a2a312，a24a1a2a348，a24，a1a312，a1a38，把a1，a3作为方程的两根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，选B.（3）答案为A；点评：本题考查了数列等差数列的前n项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力。例12（1）（2000全国文，18）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn。（2）（1998全国文，25）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的通项bn；（）设数列an的通项an=lg（1+），记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论。解析：（1）设等差数列an的公差为d，则Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn2n（2）（）设数列bn的公差为d，由题意得解得 bn=2n1.（）由bn=2n1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）=lg（1+1）（1+）（1+），lgbn+1=lg.因此要比较Sn与lgbn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小.取n=1，有（1+1），取n=2，有（1+1）（1+），由此推测（1+1）（1+）（1+）.若式成立，则由对数函数性质可断定：Snlgbn+1。下面用数学归纳法证明式。（i）当n=1时已验证式成立。（ii）假设当n=k（k1）时，式成立，即（1+1）（1+）（1+）.那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+）1+（1+）=（2k+2）。（2k+2）2（）2，.因而 这就是说式当n=k+1时也成立.由（i），（ii）知式对任何正整数n都成立.由此证得：Snlgbn+1。评述：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解。题型7：等差数列的性质及变形公式例13（1）（2002上海春，16）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值（2）（1994全国理，12）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然C选项是错误的。（2）答案：C解法一：由题意得方程组，视m为已知数，解得，。解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。例14（2000上海，21）在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（）x（0a10的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。（）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（）（理）设Bnb1，b2bn（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数。（文）设cnlg（bn）（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，问数列cn前多少项的和最大?试说明理由。解析：.解：（）由题意，ann，bn2000（）。（）函数y=2000（）x（0a10）递减，对每个自然数n，有bnbn1bn2则以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn2bn1bn，即（）2（1）0，解得a5（1）或a5（1），5（1）a10（）（理）5（1）a10，a=7，bn2000（）。数列bn是一个递减的正数数列.对每个自然数n2，BnbnBn1。于是当bn1时，BnBn1，当bn1时，BnBn1，因此，数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn11。由bn2000（）1，得n20.8，n=20。（文）5（1）a10，a=7，bn2000（）。于是cnlg2000（）3lg2（n）lg0.7数列cn是一个递减的等差数列.因此，当且仅当cn0，且cn10时，数列cn的前n项的和最大。由cn3lg2（n）lg070，得n20.8，n=20。点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法.五思维总结1数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集1，2，3，n，）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），f（n），。数列的图象是由一群孤立的点构成的。（2）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；一个数列还可以用递推公式来表示；在数列an中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即an。特别要注意的是，若a1 适合由anSnSn1（n2）可得到的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。2等差数列的知识要点：（1）等差数列定义an1and（常数）（n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3a2a2a1d（常数）就说an是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由anan22 an1 即an2an1an1an 来判断。（2）等差数列的通项为ana1（n1）d可整理成anan（a1d），当d0时，an 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合。（3）对于A 是a、b 的等差中项，可以表示成2 Aab。（4）等差数列的前n 项和公式Snnna1d，可以整理成Snn2。当d0时是n 的一个常数项为0的二次式。（5）等差数列的判定方法：