化归与类比的数学思想解题举例一

化归与类比的数学思想解题举例一http:/www.DearEDU.com把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。一、新授（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解（略解：）他四次射击未中1次的概率P1=C 0.14=0.14他至少射击击中目标1次的概率为1P1=10.14=0.9999例3：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x3)垂直平分.（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y= x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点，求m的范围。（略解）：抛物线y=x2上存在两点（x1，x）和（x2，x）关于直线y=m(x3)对称，则 即 消去x2得存在 上述方程有解=00从而m因此，原问题的解为m | m（二）一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。例1：设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_.【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值.如：S2、S1、S3成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解： (a10)q=2或q=0（舍去）例2：已知平面上的直线l的方向向量e，点(0，0)和A(1,2)在l上的射影分别为，若则为（ ）A B C2 D2【分析】：直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此我们可取l为来求解的值。略解：设l 则 可得 即=2例3：设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC，则四棱锥BPAQC的体积为：AV BV CV DV【分析】P、Q运动四棱锥BPAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决【略解】取P与A重合，Q与C重合的特殊情况（三）主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。例1：0对上恒成立，求实数a的取值范围.例2：对任何函数的值总大于0，则实数x的取值范围是：_对于例1：令则从图像知1a1 0 0对于例2：我们也可以转化为例1的形式只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：令为关于a的一次函数，由图像知 0 或x1或x3 0例3：设y的实数，则x的取值范围是：_【分析】把看作是关于y的二次方程，则利用0求解x的范围。【略解】：把看作是关于y的二次方程，因为y的实数，所以方程有解。=0x | x-2或x3例4：关于x的二次方程在上有两个不等的实根，求m的范围。【分析】：将方程写成，并且用函数的观点认识，则m就成了x的二次函数，m的取值范围就是在定义域上，函数值的范围。【略解】将方程转化为作出图像如图上和每一个m都有不同的两个不同的x1，x2与之对应。（四）数学各分支之间的转化数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。例1：在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO，BO，CO，DO与四面体的面BCD，CDA，DAB，ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足，求K可能的取值。【分析】立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“ABC内部有一点O，使得直线AO、BO、CO与三角形的三边BC、CA、AB交于点A1、B1、C1，且满足求K的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中且，于是K=2据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理【解析】在四面体中，有 且 K=3（五）陌生与熟悉的转化例1：学校将召开学生代表大会，高三有7个名额分配给5个班，每班至少有一个名额，问名额分配方法有多少种？解：（插板法）：C =15例2：方程 的正整数解的组数为多少解：7个“1”之间插四个板C =15二、练习：1已知下列三个方程：至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围。a | a-1或a2过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线A、B两点，O为坐标原点，则的值为：_A12 B12 C3 D33对于满足| P |2的所有实数P，求使不等式2x+p恒成立的x的取值范围 x | x1或x34在平面中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题_（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）三、小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有管种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。类比与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比。将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决，类比与转化的类型很多，归纳如下：高次问题低次问题 复 杂 未 知多元问题一元问题 问 题 问 题超越运算代数运算 转 化 转 化无限问题有限问题 简 单 已 知