311(一)实数指数幂及其运算教案VIP

311(一)实数指数幂及其运算教案 1/3第三章基本初等函数()3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算 (一)【学习要求】1.了解根式与方根的概念及关系;2.理解分数指数幂的概念;3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算.【学法指导】通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.填一填知识要点、记下疑难点1.相同因数相乘记作a n,a n叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数2.正整指数幂的性质: (1)a ma na mn; (2)(a m)na mn; (3)ama namn(mn,a0); (4)(ab)ma mb m.3.如果存在实数x,使得x na(aR,n1,nN),则x叫做a的n次方根求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根当n a有意义的时候,n a叫做根式,n叫做根指数.当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,此时a的n次实数方根只有一个,记为n a;当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,它们可以合并写成n a(a0)形式.研一研问题探究、课堂更高效问题情境我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、n次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.探究点一整数指数及其运算问题1整数指数幂a n(nN)的意义是什么？a n、a、n分别叫做什么？答:a n(nN)的意义为:a n,a n叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数.问题2正整指数幂有哪些运算法则？答: (1)a ma na mn; (2)(a m)na mn; (3)ama namn(mn,a0); (4)(ab)ma mb m.问题3零和负整指数幂是如何规定的？答:规定:a01(a0);00无意义;an1a n(a0,nN).例1计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的a,b0). (1)a3b23a2b19a2b3; (2)?34203(ab0,ab0).解 (1)a3b23a2b19a2b33a32b219a2b313a12b3313a; (2)?34203(ab)3(ab)4(ab)23(ab)9(ab)18.小结:当我们规定了a01(a0);00无意义;an1a n(a0,nN)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.跟踪训练1化简下列各式: (1)80_;(8)0_;(ab)0_(ab); (2)103_;?126_.答案 (1)111 (2)0.00164探究点二根式的概念与性质问题1什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？2/3答:若x2a,则x叫做a的平方根.同理,若x3a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,当a0时,有两个平方根,它们互为相反数a;当a0时,00;当a1,nN),则x叫做a的n次方根.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.当n a有意义的时候,n a叫做根式,n叫做根指数.问题3类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？答:a为正数:?n为奇数，a的n次方根有一个，为n an为偶数，a的n次方根有两个，为n a，a为负数:?n为奇数，a的n次方根只有一个，为n an为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零,记为n00.小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和n为偶数这两种情况.问题4根据n次方根的意义,可得:(n a)na,即(n a)na肯定成立,n a n表示an的n次方根,等式n ana一定成立吗？如果不一定成立,那么n an等于什么？答:n为奇数,n ana;n为偶数,n an|a|?a.例2求下列各式的值: (1)33; (2)2; (3)44; (4)2(ab).解: (1)338; (2)2|10|10; (3)44|3|3; (4)2|ab|ab(ab).小结:当n为偶数时,n an化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.跟踪训练2求下列各式的值: (1)77; (2)33(a1).解: (1)2; (2)3a3.探究点三利用根式的性质化简或求值例3化简:2233_.解析:由题意知a10,即a1.原式a1|1a|1aa1a11aa1.小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对m an仅当a0时,恒有m an(m a)n,若a1.故选C.探究点四有限制条件的根式的化简例4设31,且nN.