02不等式(教案)

第二章 不等式复习要点及要求：1、不等式的性质及证明不等式的概念（了解）实数大小的基本性质（掌握）不等式的重要性质（掌握）用综合法证明简单的不等式（了解）用比较法证明不等式（了解）均值定理及其应用（理解）2、不等的解法不等式与集合的联系（理解）一元一次不等式和一元一次不等式组的解法（掌握）一元二次不等式的解法（掌握）含绝对值不等式的解法（掌握）3、不等式的应用不等式与不等式组在解实际问题中的应用（了解）列不等式与不等式组解简单的实际问题（了解）复习重点：实数大小的基本性质；不等式的重要性质；均值定理及其应用；一元一次不等式和一元一次不等式组的解法；一元二次不等式的解法；含绝对值不等式的解法复习难点：均值定理及其应用；一元二次不等式的解法；不等式结合其它知识点的综合运用.课时安排 内容 课时数第1讲 不等式及其性质第2讲 均值定理第3讲 不等式的解法（一）第4讲 认识函数及图象与方程和不等式的关系第5讲 不等式的解法（二）第6讲 不等式的解法（三）第7讲 不等式综合题第1讲 不等式及其性质重点:1.实数的大小顺序与实数运算性质之间的关系. 2.不等式的基本性质. 3.用作差法解答不等式问题.难点:对不等式基本性质的正确运用.一、基础知识复习1、实数大小的基本性质（掌握）比差法:要比较两个代数式或数的大小，只要判断它们的差是否大于0则可，我们把这种方法叫做求差比较法.理论依据：ab0 ab ，例 比较与的大小.解 1 ab0 ab ；ab0 ab.比商法:设a，bxR+ ,则. 1 ab ，1 ab ；1 ab.(比商法不要求掌握)（很多时候要利用函数图象及其性质比较实数的大小）2、不等式的重要性质（掌握）已知两实数a，b，则：ab0ab；ab0ab ；ab0ab对称性：abba，baab；传递性：若ab ，bc ，则ac；加法法则：aba+cb+c （c为任意实数）（可加性）推论1、a+bc acb （移项法则）.推论2、ab，cda+cb+d （同向相加） ab，cdacbd （异向相减）.乘法法则：ab，c0acbc；ab，c0acbc (可乘性)推论1、ab0，cd0acbd (注意大于0的条件)推论2、ab0 ab (nN ，且N1)推论3、ab0 (nN ，且N1)3、用综合法证明简单的不等式（了解）用比较法证明不等式（了解）不等式的证明就是根据不等式的性质所给不等式对于式中字母的所有允许值都能成立. 常见的证明方法有比较法、综合法和分析法.证明不等式常常用到下面几个重要不等式：（1）a20（aR ）（2）若a , bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，有a2b22ab）证明参阅课本P64.（3）若a , bR，且a0 ，b0 ，ab2（当且仅当ab时，有ab2），有点类似于均值定理二、典型例题例1 （1）已知ab0，b0，从大到小把a，b，a，b用不等号连结起来 .（2）比较下列两组数的大小： 2 若0a，则(1a)2 a2分析：在比较实数大小时，除利用比差法外，常可以取特殊值（赋值法），能快速准确求解.如（1）题中取a2，b1；（2）题中取a,解题时,还应注意条件的变化,特别是一些临界值，如条件变化为0a时，会有不同的结论.比较实数的大小在高考中一般不会单独考查，往往会和其它的知识点结合，如前两节课的例题： 若M x | x，m ,下列关系正确的是（ A ）A. mM B.mM C.mM D. mM例2（1）下列命题中真命题是（ ）A. 如果ab，那么acbc B. 如果ab，那么ac2bc2C. 如果ac2bc2，那么ab D. 如果ab，cd那么acbd（2）若ab，则下列不等式恒成立的是（ ）Aacbc Bac2bc2 C| a | b | Dacbc （3）已知a，b是实数，且ab0，那么（ ） A. B. 01 C. abb2 D. 注：（3）题除了运用不等式的基本性质解题外，特殊值法往往更快速准确的求解，如题中取a2，b1，即可排除A、B、D三个选项.（4）若a1，则有（ ）A. 1 B. a21 C. a31 D. a1分析：特殊值法并非一次都能有效地排除错误选项，必要时，可多次取不同的特殊值.如（4）题，取a0时，只能排除掉A ，可以继续取 a1或a2.理论依据：比差法解题方法：配方法基本的数学方法！例3 （1）求证：对于任意实数x，有 x21x 证明：对于任意实数，有 x21xx2x1 0因此 x21x （2）求证：当时x1时，有 2三、练习 1. 比较实数大小：若1a0，则a ； .2 .比较x23与3x的大小,其中xR . 3. 比较x61与x4x2的大小,其中xR . 4. 已知：x1，比较2x41与2x3x2的大小. 5. 比较a22a与a3的大小. 6. 已知a , bR+，且ab，比较与的大小. 7. 与的大小关系是 . 答案：1. 若 f (x)3x2x1 , g(x)2x2x1,则f (x)与g(x)的大小关系是( )答案：AA.f (x)g(x) B.f (x)g(x) C.f (x)g(x) D.随x的值变化而变化2. 若a2或b1,则Ma2b24a2b的值与5的大小关系是( )答案：AA.M5 B.M5 C.M5 D.不能确定3. 若ab，cd，则下列不等关系中不一定成立的是( ) 答案：BA. adbc B. adbc C. acbc D. acad4. 若11，则下列各式成立的是( ) 答案：CA.11 B.21C.20 D.105. 若ab0，则下列不等关系中不能成立的是( ) 答案：D A. a2b2 B. ab C. D. 6. 若a1，则有（ ）A. 1 B. a21 C. a31 D. a17. 已知ab0，b0则有（ ）A. abab B. aabbC. abba D.abab8. 设ab，那么等价于（ ） A. b0 B. b0且a1 C.a0 D.ab09. 已知a，b，cR，命题甲为“ab”，命题乙为“ac2bc2”，那么（ ）A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是必要条件10. 已知c1，M，N，那么( )A. MN B.MN C.MN D.MN11. 如果a0，1b0，那么正确的是（ ） A. aabab2 B. ab2aba C. abaab2 D. abab2a四、小结第2讲 均值定理重点：均值定理及其应用难点：均值定理的灵活应用一、基础知识复习4、均值定理及其应用（理解）定理1： 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.常写成：即：对于任意正实数a、b，有 当且仅当ab时等号成立.定理2： 对于任意的三个正实数a、b、c,有 （）当且仅当abc时等号成立.均值推论： n个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.注： 运用均值不等式求函数最值时，应注意三点：（一正、二定、三相等）正数条件不可缺少，所研究的几个对象（数、变量、式子）都是正数，这是使用均值定理的前提；求和的最值时积应为定值，求积的最值时，和应为定值； 当几个对象相等时，才能最得最值,也就是等号成立的条件.二、例题例1 （1）设x0，求函数yx的最小值. 解: yx33. 当时取“”号，当x2时，3（2）设x , y , zR+，且x3y4z6，求x2y3z的最大值.解: 6x3y4zyyy4z6x2y3z1 当y4z时取“”号，当x2，y1，z时，x2y3z取得最大值1.（3）y23x (x0)的最大值是 .（4）yx2 (x3)最小值是 .（5）若x0, 则4x2 的最小值是 .例2 求下列函数的最值.（1）yx(12x) (0x)（2）yx2(25x) (0x) 答案：当x时，y取到最大值（3）yx2 (x0)例3 设a , b , cR+，求证：证明：a , b , cR+，a2b22ab0(a2b2)+(a2b2)2ab+(a2b2)(ab)2 即：2(a2b2)(ab)2 (a2b2)(ab)2于是 ab(ab)同理，(bc)(ca) 三式相加，得三、练习1. 若x0，则x2的最小值是 .2. 若x0，则23x2的最大值是 .3. 若0x2，则yx2(2x)的最大值是 .4. 若x1，则yx 的最大值是 .5. 已知x1，y1，且lgxlgy4，则lgxlgy的最大值是( ) 答案：A A. 4 B. 2 C. 1 D. 6. 若两正数a与b满足1，则ab有最 值为 ,此时a ，b .7. 求函数的最值：yx2(32x) (0x)8. 函数yx2(13x) (0x)的最大值是 .9. 函数f (x)14x2的最小值是.10. 函数y2x (x1)的最小值是.11. 设a , b是不相等的正数，则( ) 答案：BA. B.C. D.12. 设x , y , zR+，且xyz6则lgxlgylgz的取值范围是( ) 答案：BA.(，lg6 B. (，3lg2 C. lg6，) D. 3lg2，)13. 已知x0，且x1，那么（ ）A. x2 B. x2 C. x2 D. x214. 对任意正实数a，b，c，都有（ ） A. 3 B. 3C. 3 D. 315. 下列不等式： a2b22ab a22(a0)其中一定成立的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16. 已知a , b , c是不全相等的正数，求证：6abc.17. a , b , cR+，求证：()()()8abc.18. 求下列函数的极值，并求相应x的值. yx (x0) yx (x0) yx(3x) (0x3) yx2(32x) (0x) y (x1).19. 若x，yR且xyS，xyP，则下列命题中正确的是（ ）A.当且仅当xy时，S有最小值2；B.当且仅当xy时，P有最大值；C.当且仅当P为定值时，S有最小值2；D.若S为定值，则当且仅当xy时，P有最大值.四、小结第3讲 不等式的解法（一）重点：一次不等式（组）的解法 用因式分解法解一元二次不等式难点：用因式分解法解一元二次不等式一、基础知识复习5、一元一次不等式（组）的解法（掌握），不等式与集合的联系（理解）（1）解不等式的有关概念：对含有未知量的不等式，寻求使不等式成立的未知量值的集合（不等式的解集），叫做解不等式.如果两个不等式的解集相等，则称它们是同解不等式.把一个不等式变换为它的同解不等式的过程，叫做同解变形（或同解变换）.在解不等式时，有时对不等式进行直接求解有困难时，可把问题转化为解一个不等式组成几个不等式组，这时应注意前后两个问题的等价性，即它们的解集必须是相等的两个数集，要防止解集的扩大或缩小.（2）一元一次不等式的解法一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式的叫做一元一次不等式.一元一次不等式的解集，情况可以归结为以下两种基本类型.类型（设a0）解 集数轴表示 axb0x axb0x一元一次不等式组：几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的交集，叫做这个一元一次不等组的解集.两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以下四种基本类型.类型（设ab）解 集数轴表示 xb xb axb6、因式分解法解一元二次不等式一元二次不等式：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式.一元二次不等式可以归结为以下两种基本类型.ax2bxc0 （a0）ax2bxc0 （a0）（首项系数为负数时，只要将不等式两边同乘以1，并把不等号改变方向，就可化为以上类型）.如果ax2bxc容易分解因式，可以将ax2bxc分解因式，然后化为一元一次不等式组求解.理论依据：实数乘法的符号法则同号相乘为正，异号相乘为负（分别对应于“0”或“0”）数学思想：转化、化归思想数学方法：因式分解降次区间的概念设a，b是两个实数，且ab，则（1）满足axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b；（2）满足axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；（3）满足axb或axb的实数x的集合，都叫做半开半闭区间，分别表示为a，b)，或(a，b.区间是表示连续实数集合的一种形式.例如,下面的三种表示方法同义:满足1x2的全体实数1，2x | 1x2.二、例题例1（1）解不等式：53 解：（略）（2）求不等式组 的解集，并分别用集合、数轴、区间表示出来.解：解不等式得x4解不等式得x3原不等式组的解集为：x | x4x | x 3（如图） = x|3x4原不等式组的解集为：3，4（3）解不等式组，并用数轴表示其解集.解：解不等式得x4解不等式得x0原不等式组的解集为：x | x4x | x0（如图） = x| x0原不等式组的解集为：（0，）例2 （1）解不等式3+5x2x2.（2）三、练习 解下列不等式(组)1. 2(3x1)3(4x5)x4(x7)2. 3. 解不等式组，并用数轴表示其解集.4. (x2)( x4)05. (2x)(13x)06. x226x16907. 79x2x28. (x3)(x3)19. 12x25x30 10. 3x26x2四、小结：1、用因式分解法解一元二次不等式的解题过程为：1）移项化标准的一元二次不等式: ax2+bx+c0（或0）.2）分解因式； 3）转化为一元一次不等式组4）求一元一次不等式组的解（一元一次不等式解的交集）；5）求一元一次不等式组的解的并集.2、解不等式的结果要用集合或区间表示.3、在高考中一般不会单独考查不等式（组）的解法，常与其它知识点结合，如：（2003年）求函数f (x)的定义域. 第4讲 认识函数及图象与方程和不等式的关系（1）认识函数及图象理解函数及图象，应从两个方面进行把握：第一、代数意义：函数解析式（数学式子）；第二、几何意义：函数图象（图形）.在理解认识时要注意数形结合.下面以y2x1为例进行说明.从代数意义看y2x1y2x1规定了x与y之间的一种对应关系，如：x y 简写为 （x，y） 称作“坐标”3 1 （3，1）2 3 （2，3）1 1 （1，1）0 1 （0，1）1 3 （1，3）2 5 （2，5）这种对应关系表面上看是由y2x1规定的，其实在式子“y2x1”中，起决定作用的是x的系数2和常数项1，如果把x叫做原象，叫做y象，这个法则就可以翻译为对“原象21”，其结果就是所对应的象y.如：原象为1，则对应的数可使用法则“121”来得到，结果为3.记作（1，3）如果把x系数2和常数项1，改变其中任何一个，对应法则就改变了.从中可以看出，这里的x与y只是一种辅助对象或工具，分别改为t与s后对应法则作结果不会发生任何改变.从几何意义看y2x1前面对y2x1代数意义的理解，不论是结应关系还是对应结果，都可以用图形表示出来，这需要借助于平面直角坐标系.上文提到的解析式y2x1中的x与y只是一种辅助对象或工具，x、y的作用可以分别由x轴、y轴取代，那么前面由对应法则“2x1”得到的结果：（3，1）、（2，3）、（1，1）、（0，1）、（1，3）、（2，5）就可以在坐标系中表示出来：即图中A、B、C、D、E、F、G，这些点的横坐标和纵坐标就是由对应法则“2x1”得到的， 从而沟通了函数的代数意义和几何意义.当我们把代数式“2x1”中的x取完所有可以的取值，把得到的坐标一一地在坐标中找到对应的点，我们会发现这些点构成了一条直线，所以我们就说“一次函数y2x1的图象是一条直线.”当对应法则发生变化的时候，对应的坐标会发生相应的变化，那么点的位置也会变化，则图象的位置甚至形状也会发生变化.如二次函数yax2bxc (a0)的图象是抛物线.其实，一次函数y2x1的系数2和常数项1能在图象中直接体现出来，从而更能说明函数与图象的关系.（观察前面的图象）其中x的系数2我们称比例常数，体现了直线的倾斜方向和倾斜程度常数项1称截距，是直线与y轴交点的纵坐标.回顾初中关于一次函数ykxb的的性质.（2）认识二次函数yax2bxc (a0)的图象二次函数yax2bxc (a0)的图象是抛物线，在解析式中的a、b、c是对应法则的决定因素，它们与抛物线的特征与联系具体见下表：aa0 a0=000000图象与x轴交点2个1个0个2个1个0个开口方向向上向下顶点坐标（h，k）即（，）对称轴直线 x（3）认识二次函数yax2bxc (a0)的图象与方程和不等式的关系二次函数的图象与方程、不等式的关系是整体与局部的关系.通俗地说，我们研究二次函数时，可以把二次函数划分成这样几个部分： 几何图形 代数形式在x轴上方的部分 ax2bxc0与x轴相交的部分 ax2bxc0在x轴下方的部分 ax2bxc0它们的具体关系见下表：b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)根的情况两个相异实数根、(设)两个相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)xx或x即(,)(,)xxR,且xRax2bxc0(a0)xx即( , )空集空集 二次项系数是负数的二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，可参照上表的结论.以yx22x3为例来具体认识一下.三、练习1. 已知以x为未知数的方程x2( k1)xk0，那么（ ）A.对任何实数k，方程都没有实数根；B.对任何实数k，方程都有实数根；C. 对某此实数k，方程有实数根；对其他实数k，方程没有实数根；D. 方程是否有实数根无法确定.2. 关于的方程x2(2m1)xm210有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A. m B. m C. m D. m3. 已知函数yx213x42，那么当xx 时y0 ；当xx 时y0 ；当xx 时y0.第5讲 不等式的解法（二）9、图象法解一元二次不等式一、基础知识复习二、例题这一步有一系列的推理：“开口向上”且“0” x轴上方的图象图象对应的x在两根之外不等号改变为“”会影呼到临界值的选定或区间的开闭！例1（1）解不等式2x25x30 解：原不等式可化为2x25x30 解方程2x25x30，得3， 2x25x30 x3或x 2x25x30的解集是（，3）（，）（2）解不等式2x24x30 解：2x24x30的判别式 (4)242316240 从而函数y2x24x3与x轴无交点（如图） 从图中可以看出， 2x24x30 x（，） 因此2x24x30的解集是（，）.（3）解不等式2x24x30 解：从上图可以看出，对一切实数，都有 2x24x30 因此2x24x30的解集是.用二次函数的图象解一元二次不等式的步骤：统一标准；（把不等式化为二次项系数为正的标准形式）解对应方程，确定、；定图象；（根据不等式中的不等号确定研究的图象范围）定解集.（根据前面选定的图象范围确定对应的x的范围）例2 解不等式2x23x70解：原不等式可变形为2x23x70 (3)242(7)650, 解方程2x23x70，得. 原不等式的解集是x.例3 已知函数f (x)x22pxp2的图象始终位于x轴的上方，求实数p的取值范围.（2004年四川省对口高考）分析：“开口向上的图象始终位于x轴的上方” 图象与x轴无交点 0 (2p)241(p2)0 从而把问题转化为解一元二次不等式.本题的关键是理解二次函数的图象与方程和不等式的关系.充分体现了数形结合思想、转化思想.例4（1）不等式2x25x30的解集是（ ）A.全体实数 B.空集 C. 3x D. x3或x分析：作为选择题，如果对二次函数的图象与方程和不等式的关系理解透彻一些，就没有必要大动干戈，可以直接根据示意图得到答案.这类题有时可以用验证法.（2）设P xx22x30，Q xx26x50，则PQ是（ ）A.（3，5 B.（1，1 C. 1，3 D.（1，5 分析：普通解法，分别解两个不等式，求它们的交集.（3）不等式x2bx0的解集为，则（ ） A. b1 B. b1或b1 C. 1b1 D. b1或b1 分析：yx2bx“开口向上”且“解集为”yx2bx的图象与x轴无交点， 0 b2410 b210 1b1三、练习1. 不等式(x1)20的解集是 .2. 在实数范围内，若关于x的不等式ax2bxc0 (a0) 的解集是空集，则( )A. a0且b24ac0 B. a0且b24ac0C. a0且b24ac0 D. a0且b24ac03. 如果方程ax2bxc0中，a0，0，两根，且，那么不等式ax2bxc0的解集是（ ）A.全体实数 B. x C. x，或x D.空集4. 不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是（ ）A4，4 B（4，4）C（，4）4，） D（，4）（4，）5. 不等式1x60的解集为6. 不等式x23ax2a20 （a0）的解集是 .7. 不等式(x24x5)(x28)0的解集是（ ）A. x1x5 B. x1x或x5C. x0x5 D. x1x08. 不等式x22x30的解集是（ ） A. x1x3 B. xx1或x3C. x3x1 D. R9. 不等式x2bx0的解集为，则（ ）A. b1 B. b1或b1 C. 1b1 D. b1或b110. 集合Axx216，集合Bxx2x60，则AB（ ）A3，4)B(4，2C(4，23，4)D2，3四、小结第6讲 不等式的解法（三）重点：线性分式不等式的解法 与绝对值不等式的解法难点：线性分式不等式的转化 绝对值意义的应用，与型不等式一、基础知识复习7、线性分式不等式：基本思想：把分式不等式转化为整式不等式，然后求解.理论依据：实数的除法法则“同号相除为正，异号相除为负”.数学思想：转化、化归思想.要特别注意转化前后的等价性8、含绝对值不等式的解法（掌握）（1）对绝对值的理解：应着重从代数意义和几何两个方面进行理解.（2）绝对值不等式定义：含有绝对值符号，并且绝对值符号内含有未知数的不等式，叫做绝对值不等式.（3）绝对值不等式的解法：基本思想：把绝对值不等式转化为一元一次不等式(组)，也可以用下表中的结论解题，通俗地说，就是想方设法化掉绝对值符号.理论依据：绝对值的几何意义.(如下表)绝对值不等式的解集，情况可以归结为以下两种基本类型.类型（设a0）解 集数轴表示xaaxaxa xa或xa数学思想：转化、化归思想.注意：当a0时xa无解，xa的解集为全体实数.二、例题例1 解不等式：.解法1：化为两个不等式组来解：x或，原不等式的解集是.解法2：化为二次不等式来解： ， 原不等式的解集是例2 解不等式0解：00,7x3的解集是x|7x3例3 解不等式解：0x7原不等式的解集是x | x7注：解线性分式不等式的步骤：移项：化左边为分式，右边为0的形式(必要时进行通分)；转化：（i）将分式不等式化为乘积式(注意等价性)； ； ； ； .定解集：根据图形或区间分段确定解集.例4 解不等式5.解：由原不等式可得5x5005,各加上500，得495x505原不等式的解集是x | 495x505.例5 解不等式.解：由原不等式可得,或.整理，得,或.原不等式的解集是.注：解绝对值不等式的步聚：找标记数；（一对相反数）定范围；（小于取中间，大于取两边）解不等式组；确定解集.例6 解不等式x24x2三、练习1. 下列不等式中，与不等式0同解的是（ ）A.(x3)(2x)0 B.(x3)(2x)0C.0 D. x30且2x02. 不等式0的解集是（ ）A. xx2或1x1或x2 B. xx2或x2C. xx2或x1 D. xx1或x23. 1的解集是（ ） A. xx1 B. xx2或x1 C. xxR且x2 D. 4. |2x3|1的解集是 ；x0的解集是 .5. 不等式1x27的解集为 .6. x34x的解集为（ ） A. xx3 B. xx4 C. x3x4 D. xx7. 不等式1x27的解集为（ ）A. xx1或x3 B. x1x3C. x5x1