单排2k-H型行星轮系优化设计

单排2K-H型行星轮系优化设计摘要：行星减速器在机械设备中应用广泛，具有体积小、质量轻、传动比大、承载能力大及传动效率高等优点。随着行星减速器的传统设计方法的越来越不适应性,应用现代设计方法对其进行优化分析，有利于提高产品质量、降低生产成本，对促进齿轮传动设计技术的发展有重要的意义。本文以2K-H行星减速器为研究对象，针对传统设计上的不足对其进行优化设计，以行星齿轮体积最小、结构最紧凑为目标，确定了设计变量、目标函数及约束条件，建立了行星减速器的优化数学模型，运用MATLAB优化工具箱中fmincon算法进行优化计算得到了优化设计参数。关键词：行星齿轮减速器，优化设计，fmincon算法ThestudyonOptimalDesignSystemof2K-HPlanetaryGearTrainABSTRACT:Theplanetarygearreducerisvariousandappliedwidelyinmechanicalequipment.Ithasadvantagesofsmallvolume,lightquality,bigtransmissionratio,carryingcapacityandhightransmissionefficiency.Thetraditionalstaticdesignmethodofplanetarygearreduceraremoreandmoreunadapted.Themoderndesignmethodcanimproveproductqualityandreduceproductioncost.Ithasimportantsignificanceforpromotingthedevelopmentofthedesignofgeartransmissiontechnology.Thispapermadeoptimizationdesignbasedonthe2K-Hplanetarygearreducerastheresearchobjective,aimingatthedeficiencyoftraditionaldesign.Itestablishedtheoptimizationmathematicmodelofplanetwheelwiththesmallestandmostcompactplanetgearvolumeastheobjectivebydeterminingthedesignvariables,objectivefunctionsandconstraintconditions.ItcalculatedoptimizationparametersunderfminconinMATLABoptimizedtool.KeyWords:planetarygearreducer,optimizationdesign,fminconalgorithm目录1绪论.11.1研究现状.11.2研究背景、目的及意义.21.3论文主要研究内容.32优化设计基本理论与方法.42.1优化设计方法概述.42.2MATLAB简介.62.2.1MATLAB的特点.62.2.2MATLAB优化工具箱.62.3优化设计数学模型概述.72.3.1优化设计数学模型三要素.72.3.2优化设计数学模型的分类.832K-H行星减速器的数学模型.93.1单排2K-H行星轮结构简介.93.1.1工作特点.93.1.2运用场所.93.1.3工作原理.93.2机械优化设计的过程.103.2.1建立目标函数.103.2.2选择设计变量.133.2.3确定约束条件.1542K-H型行星轮系最优化设计问题的求解.214.1优化方法的选择.214.2优化工具箱中fmincon工作界面简介.224.3M文件的编写与简介.244.3.1M文件的编写.244.3.2M文件简介.244.4优化求解与结果分析.24I4.4.1在fmincon工具箱的工作界面上需要输入的数据.264.4.2M文件的编制.26结论.30参考文献.31致谢.3301绪论1.1研究现状2K-H型行星轮减速器（以下简称行星减速器）与普通定轴减速器相比，具有承载能力大、传动比大、体积小、重量轻、效率高等特点，被广泛应用于汽车、起重、冶金、矿山等领域。目前，行星传动技术已成为各国机械传动技术研究发展的重12点，并取得了一系列突破，行星齿轮变速传动、微型行星传动等一些新的行星传动技术已获得广泛应用。世界上如日德美俄等发达国家由于对行星齿轮传动技术的重视，在结构化、传动性能、传递功率、转矩等方面均处于领先地位。我国对行星传动较深入系统的3研究和试制始于上世纪60年代，行星传动技术在我国的发展总体处于落后水平，4但随着对行星传动技术的进一步深入了解和掌握，对国外行星传动技术的引进和消化吸收，我国在理论研究和优化设计等方面取得了许多成果，获得了一些行之有效的方法，现代设计方法已广泛应用于行星齿轮传动的设计方法中。此外，在行星齿轮二环与三环传动、混合少齿传动、重载差动技术、封567闭式差动传动、航天行星减速器的震动特性分析、功率分流载荷优化设计、8910多目标优化设计、齿轮模态优化设计、震动、噪声、固有频率分析等方面的123研究也都极大推动了行星齿轮传动技术在我国的应用与发展。我国对行星齿轮传动技术的研究应用虽已有40多年的历史，但行星齿轮传动技术仍存在着制造要求较高、安装较困难、结构比较复杂、材料需优质、冷却和润滑要求严格等缺点。不过近几年来情况有所好转，随着我国研究不断深入，上述缺点得到不断改善，传动结构不断完善，生产工艺得到不断提高，对于它的制造安装等方面的问题，已经不再视为一件困难的事情，在传动装置生产制造方面，一大批国内知名企业如重庆齿轮箱有限公司、杭州前进齿轮箱有限公司、南京高精齿轮股份有限公司、荆州巨嫁传动机械有限公司、西安重型机械研究所、中信重机等都率先取得了一系列突破性进展。目前，行星齿轮传动技术正在向着多品种、标准化、硬齿面、高精度、低噪音、低振动、高速大功率、低速大转矩、无级变速、复合式及先进制造技术的方向发展。1总之，当今世界各国减速器及齿轮技术发展总趋势是向六高、二低、二化方面发展。六高即高承载能力、高齿面硬度、高精度、高速度、高可靠性和高传动效率；二低即低噪声、低成本；二化即标准化、多样化。减速器和齿轮的设计与制造技术的发展，在一定程度上标志着一个国家的工业水平。因此，开拓和发展减速器和齿轮技术在我国有广阔的前景。1.2研究背景、目的及意义减速器是一种把原动机的输出转速减低到工作机所需的转速，把原动机的输出功率传递给工作机的独立封闭式传动装置，在机械传动领域较为常见。减速器种类繁多，按照传动结构的类型，一般有齿轮减速器（包括圆柱齿轮减速器、圆锥齿轮减速器和圆锥-圆柱齿轮减速器）、锅杆减速器（包括圆柱锅杆减速器、环面锅杆减速器和赐杆-齿轮减速器）、行星齿轮减速器，摆线针轮减速器和谐波减速器等。但普通的齿轮减速器体积大，结构笨重；普通的锅杆减速器在大传动比时，精度不高，传动效率较低；谐波减速器柔轮不耐冲击，输入转速不能太高,寿命有限；摆线针轮减速器不能承受过大载荷，中心轴易断，拆装麻烦，安装精度高；而行星减速器体积和重量比其它齿轮减速器小的多，传动效率高，精度较高，寿命较长，具有功率分流、多齿啮合独有的特性，额定输出扭矩也可以做到很大，性能安全可靠，在实际中可作为各种机械传动系统中的减速、增速和变速装置，应用最为广泛。我国普遍采用库式分类法，其基本代号：K-中心论；H-行星架；V-输出机构。在库式分类法中，根据减速器基本构件组成的情况，行星减速器有三种基本类型：2K-H型（2个中心轮和1个行星架）；3K型（3个中心轮）；K-H-V型（1个中心轮、1个行星架和1个输出构件）。其他结构形式的行星齿轮传动大都是这三种类型的演化或组合形式。此外，按齿轮啮合方式不同的分类方法在我国也逐步得到了推广应用，该分类法基本代号：N-内啮合齿轮副；W-外啮合齿轮副；G-同时与两个中心轮啮合的公共齿轮；ZU-锥齿轮。其基本类型有：NGW型、NW型、WW型、NN型、NGWN型、N型、ZUWGW型等。21.3论文主要研究内容2K-H型行星齿轮减速器在我国应用最为广泛，为了克服其传统设计带有的盲目性、局限性等不足，得到更为优良的减速器，对其进行优化设计在目前看来显得至关重要。本课题就是以2K-H型行星减速器为研究对象，以体积最小，结构最紧凑为目标，利用现代优化设计方法，在保证强度要求条件下对齿轮关键参数进行优化分析，运用MATLAB优化工具箱中的fmincon算法对其进行优化设计，得出优化结果。32优化设计基本理论与方法2.1优化设计方法概述优化设计方法对于提高产品性能、改进产品设计质量、提高设计效率、特别是解决一些多因素的复杂问题中都具有重要的作用。优化问题可追溯到早在公元前300年的古希腊,当时数学家欧几里德(Euclid)就指出：正方形的面积在周长相同的所有矩形中为最大。这可以说是关于最优化问题的最早记载。十四世纪的时候，出现了分数法和黄金分割法的一维搜索法的基本思想。十七、十八世纪的牛顿、莱布尼兹对微积分的贡献，欧拉、伯努利、拉格朗日等人对变分法的贡献，都为最优化问题提供了一些理论基础。到20世纪40年代初，产生了运筹学使优化技术应用于军事战争中。20世纪五六十年代线性代数、数学规划法与计算机结合起来，被用于结构的优化设计领域，并成为最优化设计中求优方法的理论基础。20世纪七十年代以来，特别是近几年，随着计算机和数学的蓬勃发展，优化设计方法已广泛应用到工程设计的各个领域，对于节约成本和提高产品质量做出了重要的贡献，解决了一系列复杂的工程问题，并在生产实践中得到了进一步的应用和发展。常规优化设计方法很多，有牛顿法、梯度法、惩罚函数法、复合形法、变尺度法等。近年来随着优化设计学科的发展，新兴了众多优于常规优化算法的智能优化算法，如遗传算法、进化算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法、混纯算法、粒子群优化算法、神经网络优化算法和混合优化策略算法等。这是一类适应工程设计问题的约束性、复杂性、非线性、多极值性等的特点,根据自然现象机理以直观为基础，综合利用了物理学、数学、生物进化、人工智能、神经科学和统计学等多方面构造的构造型算法，并具有大规模并行计算和智能特征的现代优化计算方法，已经成为目前解决复杂工程优化问题的一种有力工具。14随着电子计算机技术的发展和应用的普及，尤其是近二、三十年，现代化的设计方法和手段越来越多地运用于机械设计的领域。优化设计就是以最优化原理和方法为依据，综合设计问题提出的各方面要求，采用人与计算机配合或计算机自动探索的方法，在计算机上进行设计、运算，最终确定出满足设计要求的最佳设计方案。4综合来说，优化设计是一门以最优设计为设计原则，以计算机电算程序为设计手段，以最优化数学方法为设计方法的综合学科。近几年，人们对设计规律的认识逐渐深化，并在优化设计这门学科上体现出来。在优化设计中，所谓“最优值”是指在某些给定条件及设计因素的共同作用下所能得到的最佳设计值。这里“最优值”应该这么理解，首先它不等同于数学上的极值，它是相对概念，通常用最小（大）值来表示，其次，“值”不能单纯地理解为一个数，它表示的是种设计方案。优化流程图如下图2.1所示概括起来，最优化设计核心包括以下两部分的内容：优化建模过程，即将优化设计问题抽象成优化设计数学模型；优化计算过程，即选用优化计算方法及其程序在计算机上求出此数学模型的最优解。优化设计方法很多，可根据设计问题的特点进行选用。优化设计首先建立数学模型：选择一组设计变量，建立目标函数：nxxX21(2.1)12minanfxx或图2.1优化设计流程图5并满足等式约束条件：(2.2)120vnhxx1,2vpn和不等式约束条件：(2.3)12ung,um通过以上，寻找满足约束条件并使目标函数最小或最大的最优点：12TnXxx此寻优过程需要用到优化计算方法，这是一种由数值计算和计算机迭代计算结合发展起来的方法，它通过调整设计变量值，以使式(2.1)式(2.3)得到最大限度的满足。2.2MATLAB简介MATLAB是一个包含众多科学、工程计算的庞大系统，是目前世界上最流行的综合高性能的数学计算工具软件之一，已成为目前工程师、科研工作者和高校师生最易上手的编程语言、最广泛掌握并进行高效研究与开发的首选软件工具和环境。2.2.1MATLAB的特点MATLAB系统由MATLAB开发环境、MATLAB数学函数库、MATLAB语言、MATLAB图形处理系统和MATLAB应用程序接口(API)五大部分构成。其主要优势和特点有以下几方面：15（1）友好的工作平台和编程环境；（2）简单易用的编程语言；（3）强大的科学计算数据处理能力；（4）出色的图形处理能力；（5）应用广泛的模块集合工具箱；（6）实用的程序接口和发布平台。62.2.2MATLAB优化工具箱MATLAB提供了强大的优化工具箱（OptimizationToolbox），可以求解许多工程实际问题，并且可以很好的解决有约束条件下的非线性极小值（包括极大-极小值问题、目标逼近问题以及半无限极小值问题）、无约束条件下的非线性极小值、二次规划、线性规划曲线拟合、非线性最小二乘逼近、非线性系统方程（组）、约束条件下的线性最小二乘、复杂结构的大规模优化等方面的问题。MATLAB不仅对于传统的优化算法能够很好的实现，而且将一些现代优化算法也引入到工具箱中，例如fmincon算法、模拟退火算法、遗传算法等，在全局优化及近似优化方面取得了良好的效果。2.3优化设计数学模型概述优化设计的数学模型是用数学的形式表示设计问题的特征和追求的目的，它在形式上要求规范化，反映了设计指标与各个主要影响因素（设计参数）间的一种依赖关系，它是获得正确优化结果的前提。2.3.1优化设计数学模型三要素（1）设计变量设计变量是在优化设计过程中需要优先选择的变化的一组设计参数，可以为连续变量、离散变量或混合离散设计变量。设计变量通常表示为向量：12TnXxx设计变量的识别选取过程应注意：设计变量应是各自独立的；选取对目标函数影响密切有意义的变量；用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量，使优化设计问题简化。（2）目标函数优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。这个准则包含各个设计变量,称为目标函数或准则函数。形式如式(2.1)所示。目标函数有显式和隐式两种表现形式。设计空间给定每一组设计变量，都有一7个目标函数与之对应，在解决优化设计问题时，目标函数的选择会关系到结果的优越性及计算过程的效率性。建立目标函数时应注意：必须选取设计中最为重要的设计目标作为目标函数，否则,设计将会偏离目标；目标函数必须是所有设计变量的函数；目标函数必须具有一定的灵敏度，即是说，当某一个设计变量变化时，目标函数应该有较为明显的变化。否则，将难以完成寻优。（3）约束条件设计变量值（设计点）的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称约束条件，包括等式约束和不等式约束。数学表达式如式(2.2)和(2.3)所示。只有满足所有约束条件的设计方案才是可行方案。约束条件的确定应以满足设计要求为原则，要避免重复的、矛盾的和线性相关的约束，应注意约束条件选取越多，优化问题越难求解。162.3.2优化设计数学模型的分类（1）按数学模型中设计变量和参数的性质，可分为确定型模型和不确定模型，其中，确定型模型包括连续变量优化设计模型和离散变量优化设计模型；不确定模型包括随机型模型和模糊模型。（2）按数学模型中约束条件数量，可分为无约束优化问题和约束优化问题。（3）按目标函数和约束函数的性质，可分为线性规划问题、非线性规划问题、几何规划问题和二次规划问题。832K-H行星减速器的数学模型3.1单排2K-H行星轮结构简介行星轮系是指只具有一个自由度的轮系。一个原动件即可确定执行件（行星齿轮）的运动，原动件通常为中心轮或系杆；即与行星齿轮直接接触的中心轮或系杆作为原动件带动行星齿轮，一方面绕着行星轮自身轴线自转，另一方面又随着1o构件H（即系杆）绕一固定轴线（中心轮轴线）回转。o行星轮系和差动轮系统称为周转轮系（一个周转轮系由三类构件组成：一个系杆。一个或几个行星轮。一个或几个与行星轮相啮合的中心轮）。行星轮系中，两个中心轮有一个固定；差动轮系中，两个中心轮都可以转动（即F=2)。3.1.1工作特点行星轮系是一种先进的齿轮传动机构，具有结构紧凑、体积小、质量小、承载能力大、传递功率范围及传动范围大、运行噪声小、效率高及寿命长等优点。3.1.2运用场所行星轮系在国防、冶金、起重运输、矿山、化工、轻纺、建筑工业等部门的机械设备中，得到越来越广泛的应用。3.1.3工作原理如右图3.1所示，行星轮系主要由行星轮2、中心轮1、3及行星架4组成。其中行星轮的个数通常为26个。但在计算传动比时，只考虑1个行星轮的转速，其余的行星轮计算时不用考虑，称为虚约束。它们的作用是均匀地分布在中心轮12341太阳轮，齿数为1Z；2行星轮，齿数为2;3太阳轮，齿数为3;4系杆图3.1行星轮系机构9的四周，既可使几个行星轮共同承担载荷，以减小齿轮尺寸；同时又可使各啮合处的径向分力和行星轮公转所产生的离心力得以平衡，以减小主轴承内的作用力，增加运转平稳性。行星架是用于支承行星轮并使其得到公转的构件。中心轮中，将外齿中心轮称为太阳轮，用符号a表示，将内齿中心轮称为内齿圈，用符号b表示。行星轮系的分类根据行星轮系基本构件的组成情况，可分为三种类型：2K-H型、3K型、K-H-V型。2K-H型具有构件数量少，传动功率和传动比变化范围大，设计容易等优点，因此应用最广泛。3K型具有三个中心轮，其行星架不传递转矩，只起支承行星轮的作用。行星轮系按啮合方式命名有NGW、NW、NN型等。N表示内啮合，W表示外啮合，G表示公用的行星轮2。3.2机械优化设计的过程机械优化设计的过程一般按以下步骤进行：建立机械优化设计的数学模型；178选择适当的优化设计方法；编写计算机程序；确定初始计算参数并上机计算；对计算结果进行分析。这其中优化设计方法的选择取决于数学模型的特点，例如优化问题的的规模、目标函数和约束函数的性态、计算精度等。因此解决机械优化设计19问题的关键是建立正确的数学模型。要建立正确的数学模型，使其能准确全面地表达出实际设计问题，必须按一定方法正确地选择设计变量、目标函数和约束条件，并合理地将它们组合成为一组能准确全面反映实际机械优化设计问题实质的数学表达式。当然，在建立数学模型的时候也不能片面地强调确切，这可能会使数学模型过于复杂、冗长，以至于求解的困难程度增大，有时甚至使得问题无法求解；另一方面，如果片面追求简洁，数学模型就有可能失真，无法反映实际问题的要求而失去求解的意义。故此，合理的建立数学模型的方法是在确切反映工程实际问题的基础上力求简洁，尽可能地使所建立的数学模型易于计算和处理。3.2.1建立目标函数目标函数是优化设计的目的，即某个期望达到的目标，如体积指标、性能要求、制造成本等。目标函数的值由设计变量决定，表达为各设计变量的函数：(3.1)12,nfxfx10目标函数是设计变量的标量函数，优化设计的过程就是优选设计变量使目标函数达到最优值或求出目标函数的最小值（或最大值）的过程。在优化设计问题中，只有一个目标函数的情形称为单目标函数，如式(3.1)所示。但在处理实际优化问题时，往往会对同一设计提出多个优化目标，这就是多目标函数的优化问题。对于多目标函数，其函数式可如下表示：112,fxfx2,n12,mnfxfx即1jfxf（这里m为优化设计中目标函数的数目）目标函数是用设计变量来表示一项设计所追求的某种性能指标的数学表达式。对目标函数的最基本要求是能够用来评价设计的优劣，同时它必须是设计变量的可计算函数。建立目标函数可以说是整个优化设计过程中最重要的环节。工程实际中，有的设计问题目标函数较为明显，有的设计问题相对复杂，需要通过分析比较来选择目标函数。比如一个无特殊要求的承受静载的梁，很明显应该将自重作为其设计的目标函数；而设计一架飞机时，情况就复杂得多，除自重外，载重量、航程、耗油量、制造成本等都是设计所追求的指标.，但并非需要将它们都列为目标函数。通过分析知道采用较轻的零部件建造的自重较轻的飞机能促进其它几项指标，所以将飞机自重作为优化设计的目标函数更加合理。有些设计问题追求的目标相互矛盾，比如性能和成本往往成反比，这就需要综合实际情况，取其中最重要的指标作为目标函数，其余的指标可以当作约束条件写入数学模型。这就是说，不必使所有相对次要的指标都达到最优，只需满足一定条件即可。解决工程实际问题时，对于不同的设计对象、不同的设计要求应该灵活地选择某项指标来建立目标函数。在一般机械的设计中，可以根据体积最小或重量最轻的要求建立目标函数；对于精密仪器，通常以精度最高或误差最小为依据建立目标函11数；对于应力集中现象较为突出的构件，则应以应力集中系数最小作为追求目标。在机构的设计中，如果所设计的机构有运动规律的明确要求，就应当针对机构的运动学参数建立目标函数；如果所设计机构在动态特性方面有专门要求，就应当针对机构的动力学参数建立目标函数；如果所设计机构需要实现特定的轨迹，则可根据机构运动轨迹误差最小的要求来建立目标函数。工程实际中的设计问题所追求的性能指标往往较多，根据每个指标一一建立目标函数显然不切实际，这时，可以根据实际情况选择其中最重要的指标作为目标函数、其余指标作为约束条件来建立数学模型；也可建立具有多个目标的函数，这样当然会使问题的求解变得复杂，故此时应尽可能控制目标函数的数目以使运算简便。在2K-H型行星轮系中，考虑到内齿圈的大小由太阳轮和行星轮的结构尺寸所决定，也就是说，整个行星机构的体积由最大的齿圈决定，而齿圈的体积又取决于太阳轮和全部行星轮体积之和，因此取太阳轮和k个行星轮体积之和作为行星轮系的设计指标，为了简化优化问题，目标函数中以齿轮分度圆直径和齿宽近似计算太阳轮、行星轮的体积。由于其体积取决于太阳轮1和k个行星轮2的体积，故取两者的体积和作为目标函数，即目标函数表达式为：(3.2)214agVkbDk式中，、太阳轮和行星轮的体积；ag、太阳轮和行星轮的分度圆直径；1D2齿宽；b行星轮的个数。k行星轮系的传动比条件：(3.3)31Zi式中，行星轮系的传动比；i、两个太阳轮的齿数。1Z3同心条件：12(3.4)3212312ZZZi又因为：(3.5)21Dm2z式中，m模数；、太阳轮1和行星轮的齿数。1Z2将以上各式代入式（3.2），整理后目标函数简化为：(3.6)22146Vbki3.2.2选择设计变量在优化设计过程中，首先需要选择并最终确定一些独立的参数，这就是设计变量，也称为优化参数。对设计变量而言，在最初进行选择时可以视它们为变量，设计对象也随这些变量的确定而完全确定。优化设计就是研究如何合理地选择这些设计变量最优值的一种设计方法。在机械工程实际问题中常用的独立参数有结构的总体布置尺寸、零部件的几何尺寸和所使用材料的力学和物理特性等等。在这些参数中，凡事先可以根据设计要求而给定的，称之为设计常量而非设计变量；在设计过程中要进行优选的参数，才可看成优化设计过程中的设计变量。一个设计方案可以用一组设计变量的数值表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，包含n个（n=1，2，）设计变量的设计方案就称之为n维设计问题。最简单的，只有两个设计变量的二维设计问题可用平面直角坐标表示；含有三个设计变量的三维设计问题可用空间直角坐标表示，如下图3.1所示。1xo1x2x12TXx2x3x123TXx13图3.1设计变量组成的设计坐标在图3.1所示的平面直角坐标中，当设计变量、分别取不同数值时，可得1x2到坐标平面内的不同点，不同的点代表不同的设计方案，将这些点用向量的形式来表示，即可写成二维向量：122TxX同样，在图3.1的空间直角坐标中，当设计变量、分别取不同数值时，1x23可得到三维空间内的不同点，每个点都表示一个设计方案，若用向量表示该点，即可写成三维向量：12233TxXx一般说来，设计变量的全体实际上是一组变量，若共有n个设计变量，将第i个设计变量记为，则其全体可用一个n维列向量来表示，记为：ix(3.7)1212TininxXxx这种以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实空间，数学上通常表示为。所谓“设计空间”就是指优化设计中由各设计变量的坐标轴所描R述的这种空间。我们可以认为设计空间由无穷多个“点”组成，其中的每一个点都代表了一种设计方案。在机械优化设计中，设计变量并非越多越好。工程实际中的各项参数往往都是可变的，而这些变化直接会影响优化设的计质量和结果，如果将机械设计中所有有关的参数都列为设计变量，显然会使问题变得极为复杂，根本没有必要。故此，设计变量的选择就显得十分重要，首先应充分了解设计问题的要求，在此基础上，对所有能影响设计指标的参数加以分析和比较，根据设计参数对目标函数的影响程度分清主次，将一些可控的并且对设计质量影响明显的独立参数挑选出来作为设计变14量，至于其它参数，能忽略的就忽略，不可忽略的则可当常量处理。比如说机械产品的机械性能往往取决于材质本身，一般机械设计的材料种类则是有限的，通常可以根据实际情况或按经验事先选定，并且，这类参数往往需要通过试验才能确定，无法直接控制，因此，在优化设计时将这类参数定为常量更加合理，如弹性模量、许用应力、泊松比等等。（本文在行星轮系优化设计过程中就事先确定了齿轮、轴、行星架等部件的材料。）还有一些参数，如应变、挠度、压力、功率等，它们本身是因变量，随另外某些参数，如时间、温度等的变化而变化，在设计过程中如果可以用数学方法将它们消去当然最好，这样就不用将它们作为设计变量了；如果无法消去，那么也可以作为设计变量处理，这时可以列出它们相应的状态方程（等式约束函数），并可将设计变量依其性质分为决策变量和状态变量。很显然，在优化设计问题中，设计变量的数目直接影响着设计问题的求解。变量数目如果太多，问题当然会变得复杂，不利于求解甚至无法求解；相反地，如果设计变量过少，设计问题的自由度就会减少，可能无法全面反映实际问题，所求出的解也就不一定是最优的结果。所以，处理实际优化设计问题时要想使设计变量的选择更为合理，就必须综合考虑这两方面情况，根据设计问题的实际要求具体分析。前述是影响目标函数的独立参数、均可以作为设计变量，即1Zbmk(3.8)234xXk但在一般情况下，行星轮个数可以根据机构类型事先选定。这样，只取、1Z、为设计变量，得bm(3.9)123xZXbm此时是3维向量。X因此目标函数可改写为：(3.10)22130.9654Fxxki153.2.3确定约束条件目标函数取决于设计变量，但在实际问题中，确定设计变量的取值时通常必须满足一定的条件，或者说是受到某些限制的。在优化设计中，将这种对设计变量取值的限制条件称为约束条件，简称约束。设计空间是所有设计方案的集合，但并非所有设计方案都是工程上所能接受的（例如体积为负值）。一个可行的设计必须满足设计过程中对设计变量所提出的所有约束条件。约束的形式可分为显约束和隐约束。显约束是对设计变量的直接限制，例如某设计变量表示物体的表面积，则只能取正值；隐约束则间接限制约束变量，例如结构设计中的应力应当小于许用应力，若应力本身又是某个设计变量的函数时，则该设计变量就间接地受到许用应力的约束。约束条件还可根据其数学表达形式分为等式约束和不等式约束两类。等式约束对设计变量起着严格的约束作用，它能降低设计的自由度，并且要求设计点在n维设计空间的约束曲面上，其形式为(v=1，2，p)0vhX(3.11)不等式约束在机械优化设计中应用更为普遍，它要求设计点在n维设计空间中约束曲面的一侧（包括曲面本身），其形式为0ugXmu,21式中X设计变量；p等式约束数；m不等式约束数。上述两式中，、为设计变量的约束方程，是设计变量的允许变化vhXug范围。最优化设计就是要在设计变量的允许变化范围内找出一组最优参数：nxx21使目标函数F(X)达到最优值。优化设计的过程，即是寻找可行域内的最优点或最佳设计方案。优化设计时，必须经过对设计问题的全面、仔细地分析才能合理地确定约束条件。首先要认真分16析设计问题的具体要求，对那些必要的而且能用设计变量表示为约束函数的限制条件，可以将其确定为约束条件；对于其它没有必要的限制，它们一旦成为约束条件还会增加优化设计的计算量，并使设计的可行域缩小，从而导致计算结果不一定是最优解。另外，在选择约束条件时必须注意是否存在相互矛盾的约束，因为相互矛盾的约束可能会导致可行域成为空集，优化设计问题的解也就不存在了。对于2K-H行星轮系，首先引入两个中间变量和。若在轮系的的外啮合副Z小大中，太阳轮和行星轮相比，其中齿数小的用表示，齿数大的用表示，它们的小Z大比值和轮系传动比有如下关系：Z小大i若传动比,则在齿轮啮合副中太阳轮1为小齿轮，有4i1Zx小=2i小大若传动比，则行星轮为小齿轮，有4i1Zxi小=2小大注：之所以分的原因：4i或由同心条件：2211ZiZi可以得出：当时，太阳轮1和行星轮齿数相同，4i当时，太阳轮1的齿数行星轮2的齿数。i综上分析，可以得出太阳轮1和行星轮2齿数多少的关系，同样可以得出比值和轮系传动比的关系。Z小大i根据行星轮几何和强度要求，可列出如下约束条件：（1）保证小齿轮不跟切，；(3.12)1170gXx17（2）限制齿宽最小值，；(3.13)2210gXx（3）限制模数最小值，；(3.14)33（4）保证模数和齿宽相协调，要求；由此得517mb4320gXx(3.15)5（5）保证k个行星轮之间齿顶不相互碰撞，应满足2；(3.16)sinadk式中，太阳轮和行星轮间的中心距；a行星轮的齿顶圆直径。d其中*2aadmZh12i注：其中的标注值为1；*h把上式代入（3.16）得：(3.17)611sin2sin20gXxikk（6）满足接触疲劳强度要求，应有(3.18)3121.AdHTKu小式中，小齿轮节圆直径，mm；1d算式系数；K工作情况系数；A18载荷分布系数；K小齿轮传递的转矩，；T小Nm齿宽系数,；d1db齿数比，；uZu大小接触疲劳许用应力。H式(3.18)中“+”代表外啮合；“”代表内啮合，假设各齿轮的材料相同，则内啮合接触强度会大于外啮合接触强度。于是以外啮合接触强度作为约束条件。式(3.18)可以简化为(3.19)21HuZmbAT小小式中是接触疲劳强度综合系数，其大小为HA(3.20)32dHAK由此得(3.21)27131+0HgXxTZ小小大此公式中的参数经查表、计算或查阅相关文献得：=79.481，=920Mpa，=1.5，=1.3dKHAK（7）满足轮齿弯曲疲劳强度要求，应有(3.22)32AFamdTYz小小式中，算式系数；K齿宽系数；d齿形系数；FaY19应力矫正系数；SaY弯曲疲劳许用应力；F式(3.22)可简化为(3.23)2FamZbATY小小式中,是弯曲强度综合系数，其值为FA(3.24)3mFAK由此得(3.25)28310FgXxATY小此公式中的参数经查表、计算或查阅相关文献得：=1.3，=2.7，=800Mpa，其余同上。mKFYF至此，行星轮系优化设计的数学模型建立完成，该模型具有3个设计变量，1个目标函数和7个约束条件。2042K-H型行星轮系最优化设计问题的求解4.1优化方法的选择绝大多数机械最优化设计问题属于约束非线性规划问题。在选择最优化方法时，首先应当明确数学模型的特点，包括设计问题的规模（即维数，目标函数及约束函数的数目），目标函数及约束函数的性质（如函数的非线性程度、是否可微和计算的复杂程度等）以及计算精度等。20选择优化方法时，还必须考虑方法本身及其所用计算程序的特点，包括该优化方法所需要的计算程序是否现成可用；编程所需成本；程序的通用性；程序的简便性；程序的机动性；解题的规模；计算机运算程序所需时间及产生的消耗；该优化方法的收敛速度、稳定性、可靠性以及计算精度等。在优化设计过程中，经济效益决定了是否需要编写新的计算程序。一般来说，优化设计时应选用已有现成可用程序的优化方法，这样不仅能缩短设计时间，还能节约成本。但如果新编写的程序能够求解某一大类优化设计问题，或者能充实优化计算的通用程序库，它所带来的效益远远超出编程成本，那么编写新程序也是切实可行的。在约束最优化方法中，fmincon函数法的计算程序最为简单。事实上，从计算程序本身以及编程成本来看，fmincon函数法都是最好的。后文在行星轮系的优化设计过程中就采用了fmincon函数法。程序的通用性是指该程序或其中的子程序除用于本设计问题之外还能够求解其它问题的程度。设计人员编写优化设计的计算程序时，应当尽量引用已有的通用子程序，这样可以提高程序的通用性，使得程序本身或某部分子程序在其它场合也能采用。程序的简便性受几个方面的影响，如使用该程序需要多少原始数据，将这些数据输入计算机需要耗费多少时间，在程序运行过程中是否需要对参数进行调整，输出结果是否简单明了等等。计算程序本身当然决定着这些因素的影响，同样，选择哪种最优化设计方法也与之有关。程序的机动性是指其是否能用多种方法求解，或改进某个特定设计问题的能力。21使用fmincon函数法编写的计算程序中，目标函数和约束条件的修改显得比较方便，还可以根据实际需要决定添加或去除某些约束，甚至把设计问题中的某些部分进行交换同样可行。选择优化方法时，应当十分重视程序的有效性和可靠性。程序的有效性包括计算机运行设计程序所需时间和费用，计算效率和收敛速度等。程序的可靠性则用来衡量解题成功的几率，可靠性好的优化设计方法解题成功率当然更高，在多种条件下都能求得最优解。4.2优化工具箱中fmincon工作界面简介如下图4.1，即为fmincon工具箱的工作界面22图4.1fmincon工具箱的工作界面此界面需要输入的信息：（1）目标函数（Objectivefunction）需要优化的函数。对于标准优化算法而言，此函数即为寻求最小值的目标函数。本论文中适应度函数为寻求2K-H行星减速器最小体积的所编写的AimFun.m文件。（2）初始值（Startpoint）被设定的固定值，本论文设定的初始值为22525；（3）约束条件（Constraints）变量的约束情况：线性不等式约束（Linearinequalities）：Axb线性等式约束（Linearequalities）：eq边界约束（Bounds）：LowrxUpr23非线性约束（Nonlinearconstraintfunction）：非线性约束函数。本论文中为编写的2K-H行星减速器非线性约束nonlconstrain.m文件，输入函数的句柄来调用非线性约束函数。上述各式中，b、beq、X、Lower、Upper为向量，A、Aeq为矩阵，C(X)、Ceq(X)为返回向量的函数。编制的M文件中上述参数如无定义，用代替。21其中，如下图4.2所示为缺省标准值，本优化设计用不到该部分。4.3M文件的编写与简介M文件是MATLAB程序保存的文件，由于每次执行一个任务是都要输入长长的命令序列，因此工作效率低下，而M文件的设计就解决了这个问题。M文件不仅可以保存命令，还可以轻易的修改命令，无须重新输入整个命令行。在编写程序的过程中，通常会涉及M文件处理和输入/输出操作。图4.2缺省标准值244.3.1M文件的编写M文件即MATLAB程序文件。从形式上讲，M文件是一个ASCII码文本文件，其文件扩展名为.m，所以称为M文件。M文件可以用任何字处理软件进行编写和修改。MATLAB系统也提供了专门的M文件编辑器。4.3.2M文件简介通过编写和执行M文件，可以大大扩展MATLAB解决问题的能力。M文件是解释性的程序语音，且以复数矩阵为基本运算单位。所以，在形式、结构和语法规则等方面，M文件比一般的计算机语言简单得多。M文件的语言与C语言十分相似，对于熟悉C语言的读者来说，掌握MATLAB的编程方法和技巧将是一个很轻松的过程。用户可以使用M文件开发相应领域的专用工具箱。查看工具箱的组成文件就可以发现M文件对MATLAB的重要作用。在工具箱的帮助下，MATLAB可以被广泛应用到控制、鲁棒控制、信号处理、系统辨识及金融财政等各个领域。4.4优化求解与结果分析优化设计目的何在？当然是寻找最佳设计方案。这就需要对程序运算的输出结果进行细致全面的分析与比较，不单考虑设计方案理论上的优越，同样要考虑其是否符合工程实际，这样才能得到设计者期望的最佳设计方案。对运算结果输出的设计变量值，应检查其是否可行以及合理，是否符合工程实际的要求。对目标函数的最优值，需要将其与原始方案的目标函数值进行比较以检验优化设计的效果，这是分析计算结果的重要环节。本文优化问题属于单目标函数非线性约束最小化问题的优化求解。利用MATLAB优化工具箱中的fmincon函数，用户只需在界面输入初始值、约束值上下限、事先编制好的适应度函数M文件名称和约束条件函数M文件名称，点击Start按钮即可计算出最优值。本文所研究2K-H行星减速器初始条件参数如表4.1所示25表4.12K-H行星减速器初始条件参数基本参数代号参数值输入转矩(N/m)T127行星轮个数N3传动比i4.6太阳轮材料38SiMnMo渗碳淬火行星轮材料38SiMnMo渗碳淬火太阳轮齿面硬度HRC4555行星轮齿面硬度HRC4555齿数1Z22齿数229齿数380齿宽mm52模数mm5264.4.1在fmincon工具箱的工作界面上需要输入的数据如下图4.3fmincon工具箱工作界面上需要输入的数据图4.3fmincon界面上需要输入的数据4.4.2M文件的编制（1）目标函数M文件的编制本优化设计建立文件名为AimFun.m的目标函数M文件并保存：functionf=AimFun(x)f=4.77*x(1)2*x(2)*x(3)2;（2）约束条件函数的M文件的编制27本优化设计建立文件名为nonlconstrain.m的约束条件函数M文件并保存：functionc,ceq=nonlconstrain(x)c=258562.37-x(1)2*x(2)*x(3)2;1836.29-x(1)*x(2)*x(3