基于MATLAB的倒立摆系统控制系统设计与仿真

01绪论1.1倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。倒立摆系统是一个非线性，强耦合，多变量和自然不稳定的系统。它是由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆杆组成的。在导轨一端装有用来测量小车位移的电位计，摆体与小车之间由轴承连接，并在连接处安置电位器用来测量摆的角度。小车可沿一笔直的有界轨道向左或向右运动，同时摆可在垂直平面内自由运动。直流电机通过传送带拖动小车的运动，从而使倒立摆稳定竖立在垂直位置。图1.1一级倒立摆装置简图由图1.1中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。导轨的一端固定有位置传感器，通过与之共轴的轮盘转动可以测量出沿导轨由图中可以看到，倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆运动的小车位移；小车通过轴承连接摆体，并在小车与摆体的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆体的角度信号；并通过微分电路得到相应的速度和角速度信号；导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。控制方法也是多种，可以通过模糊控制，智能控制，PID控制，LQR控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立1摆的控制。21.2倒立摆的控制规律当前，倒立摆的控制规律可总结如下:（1）状态反馈控制1，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力H学模型，然后使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈和Kalnian滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。（2）利用云模型2-3实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。（3）神经网络控制，已经得到证明，神经网缴（NeuralNetworkNN)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性;也可将Q学习算法4和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。（4）遗传算法(GeneticAlgorithms,GA)，高晓智a在Michine的倒立摆控制Boxes方案的基础上，利用GA对每个BOX中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题。（5）自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。（6）模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。（7）使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。（8）采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA学习的NN控制器兼有NN的广泛映射能力和GA快速收敛以及增强式学习等性能。31.3对倒立摆系统研究的意义倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中的典型物理模型。通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科:力学，数学和计算机科学进行有机的终合应用。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，由于倒立摆系统与火箭飞行和双足步行机器人的行走有很大的相似性，因此倒立摆的研究对于火箭飞行和机器人的控制等现代高新技术的研究具有重要的实践意义。4目前，对倒立摆的研究己经引起国内外学者的广泛关注，是控领域研究的热门课题之一。在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证这一理论，倒立摆就是这样一个被控对象。倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能够有效地反映控制中的许多关键问题，如镇定问题，非线性问题，鲁棒性问题，随动问题以及跟踪问题等。倒立摆的典型性在于作为一个装置，成本低廉，结构简单，形象直观，便于实现模拟和数字两者不同的方式的控制;作为一个被控对象，又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。因此，倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫早发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等都属这类问题。因此付倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。41.4倒立摆的发展状况倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器。国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的称定。随着微机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的租定。此外，由于智能控制理论的兴起，相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定5。早在60年代人们就开始了对倒立摆系统的研究，1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一。直到70年代初，用状态反馈理论对不同类型的倒立摆问题进行了较为广范的研究5-7，虽然在许多方面都取得了较满意的效果，但其控制方法过多的依赖于线性化后的数学模型，故对一般工业过程尤其是数学模型变化或不清晰的对象缺乏指导性的意义。在80年代后期，随着模糊控制理论的快速发展，用模糊控制理论控制倒立摆也受到广泛重视，其目的在于检验模糊控制理论对快速、绝对不稳定系统适应能力，并且用模糊控制理论控制一级倒立摆取得了非常满意的效果，由于模糊控制理论目前尚无简单实用的方法处理多变量问题，故用适合的方法处理二级倒立摆多变量之间的关系，仍是模糊控制二级倒立摆的中心问题之一。清华大学的张乃尧先生等提出了双闭环模糊控制方法控制一级倒立摆。常见的模糊控制器是根据输出偏差和输入偏差变化率来求控制作用，是二输入一输出的控制器。当控制器的输入为两个以上时，控制规则数随输入变量数指数增加，不仅使模糊控制器的设计非常复杂，也使模糊控制的执行时间大大增长，难于实时应用。张乃尧先生对倒立摆采用双闭环模糊控制方案，很好的解决了上述问题，并在实际装置上取得了满意的结果，并对其他模糊串级控制也具有参考价值。程福雁先生等研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆进行实时控制的问题。作者拟通过传统的控布鲤论得出各种状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优和重复试验相结合的方法，得到控制倒立摆所谓的5最优参数;采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻。神经网络控制倒立摆的研究，自90年代初开始得以快速的发展。而早在1963年，Widrow和Smith就开始将神经网络应用于倒摆小车系统的控制。神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨大的潜力。今天有许多学者正致力于引用神经网络控制一级或二级倒立摆的研究。另外还有许多其他的控制方法用于倒立摆的控制。近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等都存在有类似于倒摆的稳定控制问题.倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆系统。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，倒摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)。早在60年代，人们就开始了对倒立摆系统控制的研究。1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来。人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力。因而受到了普遍的重视。62倒立摆系统数学模型的建立2.1系统的物理模型如图2.1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角（即摆杆与竖直线的夹角）为，作用在小车上的水平控制力为f。这样，整个倒立摆系统就受到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。图2.1一级倒立摆物理模型2.2系统的微分方程在系统数学模型中,本文首先假设:(1)摆杆为刚体;(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦;(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。然后根据牛顿第二运动定律,求得系统的运动方程为:(2.2)fdtlxmdtM22)sin(sin)si(cos2mgldtlxl7(2.3)首先对该模型进行线性化。原因如下：（1）目前，许多非线性模型都能在适当的情况下近似线性化；（2）对于非线性模型，目前还没有确定的一般性的分析方法；那么，如何进行线性化呢？可以通过如下的结论倒立振子的垂直倾斜角度同1弧度相比的话，那么1sincos方程2.2、2.3是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定很小，接近于零是合理的。则sin，cos.1在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型如下：(2.4)fmlxM)(2.5)gl22.3系统的状态空间方程以摆角,角速度,小车的位移,速度为状态变量,输出为。即令:xyxx43214321xy则一级倒立摆系统的状态方程为：；(2.6)21；(2.7)fMlgxlmx1；(2.8)43；(2.9)fx1即8（2.10）0104321gMmlxfMlx104320f01y4321x（2.11）将上式改写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程BuAxX（2.12）是四维的状态向量，而系统矩阵A和输入矩阵B为下列形式：X01baAdcB其中参数a,b,c,d为下列表达式确定的常数。gMlmagmMlc1d1而系统的输出如下，选择振子的倾斜角度作为倒立摆系统的输出，这是与控制系统有直接关系的向量。若为选择输出，因为其自身状态变量是，1x则输出方程式有DuCxyCx43210,（2.13）综上所述，可得倒立摆系统的状态方程和输出方程9BuAxXCy（2.14）103状态空间极点配置经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关于被控对象的较精确模型。现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足工程师提出的瞬态性能指标。前面我们已经得到了倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器。3.1状态空间极点配置基本原理单级倒立摆系统是一个不稳定的连续系统，当倒立摆出现偏角后，若不给小车施加控制力，倒立摆会向左或向右倾倒。所以本文采用极点配置法设计控制器的目的都是通过调节水平力的大小来控制小车的运动，使倒立摆处于平衡位置。极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。考虑控制系统:=Ax+Bu（3.1）其中x是状态向量（n维向量），u是控制信号（纯量），选取控制信号为：u=-Kx(3.2)这样控制信号是由瞬时状态确定,此方法称为极点配置状态反馈法。图3.1为具有u=-Kx的闭环控制系统11图3.1状态反馈闭环控制系统将式(3.2)代入式(3.1)得:（t）=（A-BK）x（t）,该方程的解为:)0()(etxBKA对于系统：若矩阵A的特征值实部全为负值，则系统是稳定的。对于状态反馈控制系统：xx)(若矩阵A-BK的特征值实部全为负值，则控制系统是稳定的式中x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵A-BK的特征决定。如果矩阵K选取适当,则可使矩阵A-BK构成1个渐近稳定矩阵,并且对所有的x(0)0,当t趋于无穷时,都可使x(t)趋于0。称矩阵A-BK的特征值为调节器极点。如果这些调节器极点均位于s的左半平面内,则当t趋于无穷时,x(t)趋于0。将闭环极点配置到所期望的位置,称为极点配置问题。因而极点配置状态反馈控制器的设计最主要就是K值的计算。3.2状态反馈的优越性在状态空间中，状态反馈的优越性在于可将系统的状态和输入综和起来组成系统的控制信号，从而可以完全确定系统的未来行为，得到较好的控制效果。在工程上，状态反馈可应用现代控制理论，设计各种最优控制系统，如最短时间控制系统、最小能量控制系统、线性二次型最优控制系统。对于有随机扰动的系统，可通过对状态的估计，设计最优控制系统，同时可对变化的系统模型进行自适应控制。3.3极点配置的提出动力学的各种特性或各种品质指标在很大程度上是由系统的极点决定的,因此系统综合指标的形式之一可以取为S平面上给出的一组所希望的极点。所谓极点配置问题，就是通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统（）的BKA特征根，恰好处于所希望的一组极点的位置上。因为希望的极点具有任意性，所以极点的配置也应当做到具有任意性。事实上，古典控制理论中采用的综合12法，无论是根轨迹法还是频率法，本质上也是一种极点配置问题。从极点配置问题的定义可知，对希望极点的选取，实际上是确定综合目标的问题，也是首先要考虑的复杂的问题。3.3.1期望极点的选择选取极点时所遵循的原则如下：对于一个n维控制系统，可以而且必须给定n个希望的极点。所希望的极点可以为实数或复数，但是当以复数形式给出时，必须共轭复数对形式出现，即物理上是可实现的。选取所希望极点的位置，需要研究它们对系统品质的影响，以及它们与零点分布状况的关系，从工程实际的角度加以选取。在所希望极点的选取中，还必须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求，即应当具有较强的抑制干扰的能力，以及较低的对系统参数变动的灵敏度。在综合时，需要解决极点配置的理论问题与方法问题。3.3.2极点配置需要注意的问题使用极点配置方法时，要注意的问题：（1）系统完全状态可控是求解的充分必要条件。（2）应把闭环系统的期望特性转化为Z平面上的极点位置。（3）理论上，选择反馈增益可使系统有任意快的时间响应。加大反馈增益可提高系统的频带，加快系统的响应。但过大的反馈增益，在有一定误差信号时，导致控制信号的无限增大，这在工程上无法实现。因而必须考虑反馈增益的物理实现可能性。（4）当系统的阶次较高时，可用Ackerman公式，通过计算机求解。133.4理论分析方程组2.4、2.5对和解代数方程，得到解如下：x；fMlgxlm1；y1以摆角,角速度,小车的位移,速度为状态变量,输出为。即令:xyxx43214321xy则一级倒立摆系统的状态方程为：；21x；fMlglm1；43x；f1即0104321gMmlxfMlx104320f01y4321x将上式改写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程14BuAxX是四维的状态向量，而系统矩阵A和输入矩阵B为下列形式：X01baAdcB其中参数a,b,c,d为下列表达式确定的常数。gMlmagmblc1d1接下来进行可控制性和可观测性的判断确认控制系统的是否可控是很重要的。所谓可控制性是在理论上保证某种控制向量的存在。就状态方程来说，使初始状态在某有限时间BuAxX0x内转变为任意状态，这样的控制向量存在的话，则该状态方程表示的系fx)(t统就是可控制的。那么，如何判别可控制性呢？根据状态方程中系统矩阵A和BuAxX输入矩阵B构成（nnm）矩阵，可控制性矩阵的Vn)1(2,.,秩数是n,为系统的可控制性的充要条件。（其中是系统的阶数，为输入的个nm数。）现在开始对“倒立摆系统”的可控制性进行判别。已知该系统的阶数为n=4,控制力u有一个，即m=,所以可控制性矩阵V1为（44）矩阵，V的秩数为4，这成为可控制性的充要条件,矩阵，BA32,其中，,，故而，dcB0cbca023cBA15。由上述式可知，秩数为4，因为该矩阵所有列都是相对独0,bcdaV立的。于是，由可控制性的判定条件可知；该系统是可控制的。现在，就系统的可观测性进行分析。可观测性表示：通过检测系统的输出，判断能否推测出所有状态变量的值。就状态方程来说，若通过观测BuAxX输出向量y可确定向量x得初始值，则此系统是可观测的。0x可观测性的判别方法：当由系统矩阵B和输出方程的矩阵C派生出下面的(nln)矩阵：可观测性矩阵，矩阵的秩数为，为系统可观测的充要条件。)1(2.nCASn在式中，A:(nn),B:(nl),n:状态变量的个数l:输出量的个数对倒立摆系统进行判别：系统的输出为台车的位置，而状态变量有振子y的角度，角速度以及台车的位置和速度四项。在四项状态变量中台车的位置是输出，另三项是以输出的微分形式给出的。由此可知，该系统是可观测的。y下面用可观测性矩阵来确认一下。已知，因为输出有一个，故，所以可观测性矩阵S阶数为4n1l44，表示为，其中，32CAS01分别为2,0,0,0132bCAb16因此，可观测性矩阵可写成，自第一行到第四行是相对独立的，由此可知，该矩阵的秩数01bS为4，可观测性矩阵S的秩数和系统阶数一致，所以该系统是可观测的。4n即：由输出可观测全部的状态变量。y综上所述，该倒立摆系统是可控制的，可观测的。3.5根据极点配置法确定反馈系数一级倒立摆系统是一个不稳定的系统。控制器的目的是使倒立摆系统动态稳定,即保持倒立摆在垂直的位置,使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的动态响应主要是由他的极点位置决定的,同时容易证明一级倒立摆系统是一个能控而且能观的系统。因此本文通过极点配置状态反馈控制器来使系统保持稳定。状态反馈控制方程为：f=-Kx=-K1,K2,K3,K4x，闭环系统的方程为：=Ax+Bf=（A-BK）x。选取所期望的闭环极点位置：1,2,3,4。倒立摆系统各参数如下：振子质量m=1kg长度2L=2m台车的质量M=1kg重力加速度g102sm带入式（3.13）和（3.15）得：A=0100;20000;0001;-10000;B=0-101;C=1000;0100;0010;0001;D=0;1718用MATLAB软件计算状态反馈增益矩阵K埃克曼公式：对任一正整数n，有)(101ABABK（3.5）KaBKa)()*1222*12*2其中用爱克曼公式法根据如下matlab程序可求得状态反馈增益KA=0100;20000;0001;-10000;输入矩阵AB=0-101;输入矩阵BM=BA*BA2*BA3*B;构造可控性矩阵Mrank(M);计算矩阵M的秩J=-1+2j000；0-1-2j00；00-2+j0；000-2-j;假定期望闭环极点jj=poly(J);求特征方程=0的系数ASIPhi=polyvalm(poly(J),A);计算矩阵多项式)(K=0001*(inv(M)*Phi；运用爱克曼公式式子（3.5）为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。现在令闭环极点1,2,3,4=-1+2j,-1-2j,-2+j,-2-j;运行程序后求得:K1=-40.5000K2=-9.0000K3=-2.5000K4=-3.0000即若施加在台车水平方向的控制力u可用式（3.6）表示，则该控制系统具有指定的特征根，为一个稳定系统。u=40.5+9+2.5+3（3.6）y进行上式给出的状态反馈，可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即所有的状态变量都可以稳定在平衡状态。这就是说即使在初始状态,或因为存在外扰时振子稍有倾斜或台车偏离平衡位置，依靠该状态反馈也可以19使振子垂直竖立，使台车保持在稳定状态。相对平衡状态的偏移，得到的迅速修正的程度要依赖于指定的特征根的值。所以，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原越远，控制动作越迅速，但是相应的需要更大的控制力和快速的灵敏度。如表所示为在复平面上指定的特征根配制成三种情况分别得到的反馈系数。由表3.7可以看出，特征根越往复平面的左侧配置，4321,k的绝对值就越大。表3.7特征根对应的反馈系数指定特征根反馈系数j5.014,32,1375.0,156.024321kkj24,32,1.,.294321j534,32,18.5,0.65634321kk204一级倒立摆系统模块仿真MATLAB软件是目前国际上最流行、应用最广泛的科学与工程计算软件,具有高级的数学分析和运算能力,可以如上编写MATLAB程序计算倒立摆系统的状态反馈增益K同时还具有强大的动态系统的分析和仿真能力。以下是用MATLAB软件中Simulink工具箱来设计仿真一级倒立摆系统。（1）用鼠标双击计算机桌面上的Matlab图标，启动Matlab，在指令区运行指令simulink或双击Matlab的工具栏中图标（SimulinkLibraryBrowser）均可启动Simulink模块库浏览器：然后左击浏览器的工具栏中图表（createanewmode），新建一个simulink模型窗。（2）从Simulink模块库浏览器的菜单Simulink的子菜单Signals&Systems下选Subsystem拖到Simulink模型窗的编辑窗口中，将所有的模块连接起来。应用MATLAB中的Simulink设计用极点配置控制的一级倒立摆系统的仿真模型如图4.1所示。图中State-Space模块填入了上面程序计算所得的A,B,C,D值。然后用1个BusSelector输出转角、角速度、位移和速度4个量,之后用4个Gain(分别输出参数K1，K2，K3，K4和1个Sum构成状态反馈,同时用示波器输出转角、角速度、位移和速度4个量。图4.1倒立摆极点配置仿真框图21下面首先根据指定的特征根值得到的反馈系数j2,1的情况进行分析。作为倒立摆系统的控制3,5.2,0.9,5.44321kk目标的状态，是一种保持倒立振子垂直，使台车最后处于稳定的状态。如图4.2所示：倒立摆系统在所期望极点P=-1+2*j-1-2*j-2+j-2-j小车的角度，位置随时间变化的曲线。可以看出，倒立摆系统在4秒钟后可以达到平衡状态。图4.2仿真后的响应曲线图现在进行倒立摆系统在所期望的极点在P=-0.5+j-0.5-j-1+0.5*j-1-0.5*j时的仿真模拟分析。如图4.3所示为小车的位置随时间变化的曲线.可以看出，倒立摆系统在8秒钟后可以达到平衡状态22图4.3仿真后的响应曲线图下面就倒立摆系统在期望极点P=-4+3*j-4-3*j-5+j-5-j时，进行模拟仿真分析。小车的位置随时间变化的曲线.如图4.4所示。可以看出，倒立摆系统在2秒钟后可以达到平衡状态图4.4仿真后的响应曲线图根据图4.2图4.3和图4.4所示控制系统的时间响应和表3.7所示的特征根的配置分析可得:对所有这些反馈系数的系统，随时间的变化都将稳定在目标状态而成为稳定的控制系统.控制系统的特征根，在复平面内的左侧离原点越远，越能在较短的时间内达到目标状态。另外，随着控制系统的特征根，在复平面内的左侧离原点越远，振子的倾斜角度的变动振幅越来越大。23结论倒立摆系统的控制设计，基本上完成了。通过这四个多月的学习与设计对倒立摆系统有了一个总体的认识。倒立摆控制系统是一个静态非稳定的系统，本设计主要是通过实现这个稳定系统的结果，来说明控制的优点。在倒立摆系统的设计中，首先对这个控制系统建模分析，然后，对系统的可控制性和可观测性进行判断；之后，对系统进行状态反馈设计，应用极点配置法对反馈系数K进行确定；最后，对求取反馈系数K后振子的角度和台车位置在时域上具有怎样的特性，才能使系统达到控制目标,应用计算机仿真语言Matlab进行编程仿真分析。通过应用计算机仿真语言Matlab进行编程仿真分析的结果，能够得出如下的结果：对所有这些反馈系数的系统，随时间的变化都将稳定在目标状态而成为稳定的控制系统。控制系统的特征根，在复平面内的左侧离原点越远，越能在较短的时间内达到目标状态。另外，随着控制系统的特征根，在复平面内的左侧离原点越远，振子的倾斜角度的变动振幅越来越大。此次的我的控制系统设计基本完成了它要达到的目标，当然这里面还存需要完善的地方和一些不足之处，比如说控制力u的问题，在我的设计中，我没把控制力u的最终会达到怎样的状态用仿真法表达出来，不过这并不影响我的设