因式分解难题解析

因式分解难题解析詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式：下面精选了十个实例进行讲解。01 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2分析：一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y2z+yz2= x3-xy2-xz2+yz2 +x2z-2xyz+y2z=x(x2-y2)-z2(x-y)+z(x2-2xy+y2)=x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x2+xy-z2+zx-zy)此题若不进行科学分组会很困难。02 分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。解：x y 常数项 1 4 -11 -2 3=(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后再看x、常数项是否与x的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。作业： 提示：先分组再变形最后用十字相乘法。难度较大。 提示：x2的系数看成0，然后再用双十字相乘法。 x y 1 1 2 0 1 1原式（xy2）（y1）也可用分组法，以x为主元。03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。瞧瞧 括号里 的 b+c 、 c-a 、a+b，看看这3项是否有某种联系前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。所以，这个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)作业： 提示：需要拆分分组。04 分析：拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的 多项式。另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样就有（2x4-2x2）+（7x3-13x+6）不难把13x分成7x和6x，配给7x3和6。这样，接着2x2(x2-1)+7x(x2-1)-6(x-1)至此对后的分解就不在话下了。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0，这意味着x=1是它的根，根据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照x-1的思路。作业：x3 +2x2 -5x-6 提示：当偶次项的系数和（2+（-6）=-4）等于奇次项系数和（1+（-5）=-4）时，就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。05 分析：拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系： ，系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。解：到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现x4+1与x2+1长得挺像，一定有某种因缘。这里采用换元法，x2+1看成y。对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取一个最高项的次方的一半：然后令 ，那么原式=作业： 提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。 提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，这是一个很有特色的式子。除了常数项，就只剩下x+y 和 xy。很容易想到，对它们工作应该有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换成a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0，则有这个因式。令a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0，因此a+b=0是其一个因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是3次，不会有其他因式了。解：a+b=0，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0.由此可见，a+b是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。令 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令a=0，b=1，c=2，则得k=1这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用。以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc （假设以a为主元）=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c) （以a的降序排列）=(b+c)(a2+(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作业： x4+(x+y)4+y4提示：这种轮换对称，一般与x+y、xy有关。因此可以分组成x4+(x+y)4+y4= (x4+y4)+(x+y)4，又x4+y4= （x2+y2）2-2 x2y2=（x+y）2-2xy2-2 x2y2。 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成6y3-37y2z+32yz2+15z3，就遇到了如何处理37y2z的问题，如何把它拆开，使它一部分同6y3，另一部分同15z3+32yz2在一起这是要研究的。假设是Ky2z、Ly2z。现在考察Ly2z+32yz2+15z3，不妨假设L分解成m、n，并提取负号，根据十字相乘法的原理，则有Ly2z+32yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，显然，m=1或6或11，n才有整数解，假设m=1，则n=7，L=-mn=-7，也就是将-37y2z拆成-7y2z和-30y2z两部分，分成两组，前后都可以分解，然后提取公因式。这里用了待定系数法。拆项时的以上运算可以在稿纸中进行，无需写入试卷。答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。此题为竞赛级别的题目。 2a-6b-12c-5d+ab-2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是数学竞赛中常用的方法。该题为竞赛题目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4)。07 分析：不难发现，当ab时，原式0，故可断定ab是原式的一个因式，同理，bc、ca也是原式的因式。可设原式k(a-b)(b-c)(c-a)再令a0，b1，c1代入上式，得-2=2k，k1故原式-(a-b)(b-c)(c-a)。此题用拆项法 或 主元法 也都很方便。作业：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b) 提示：还有一个因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆项法也方便。08 分析：一看就知道有-1根，因为，它们的系数和等于24，必含有(x+1)的因式，因此很容易把分组为。当然，本题也可以用待定系数法确定9x2如何拆。09 分析：尝试一下1、2都不是该多项式的根，这时我们会想到，它可能没有一次因式。这时可用待定系数法，按两次因式*两次因式的方式来求系数，即使每个两次因式还能继续分解为一次因式，也没有关系。我们一眼看上去就知道，-5x2联系着前后两个组，能够把它分解好了，往后就迎刃而解了。分组法 也是 可行的。解一：令x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)(nx+1)根据十字相乘法的原理：4n+m=6，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4，m可取2、6、10等。假如m=2，则n=1，L=mn=2，K=-3。我们可以试试是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x4-x3-3x2-2x2-6x-4= x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)= x4-(x+3)x2-(2x+4)(x+1)=x2-(2x+4)x2+(x+1) (十字相乘法)=(x2-2x-4)(x2+x+1) 这种方法，有点运气在里面，如果把常数项4分解为2*2则达不到目的。再回头用1*4表示时会浪费了不少时间。解二：设原式=整理后得=所以 有a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4，解得a=1,b=1,c=-2,d=-4。则这道题难度较大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：对于类似这样的多项式的分解，可利用乘法公式，将之乘以一个因式，同时除以一个因式，然后，借助乘法公式来解决问题。巧用除法法，这是一种特殊方法，引用了高中的等比数列求和，在初中的考试中一般不会出现，但在竞赛中则有可能。原式= =把x3看成y就变成了y4+y3+y2+y+1，这就预示着可能含有x4+x3+x2+x+1因式。需要指出的是，并不是一定含有这个式子，如x6+x3+1并没有x2+x+1的因式，事实上，它不能分解。这道题理论上也可以用拆项添项法，但实际上很费事，不易想到该怎么拆。综合作业：1、 2、 3、 4、 以上4题，看起来简单，其实有点难度，项数越少，次方越高，越容易让人觉得无从着手，是学生们疑问较多的习题。5、提示：难度较大。6、提示：令那么原式7、 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y) 2提示：用十字相乘法，先调整一下顺序，x4(1-y) 2-2x2(1+y2)+ (1+y)28、用两种方法分解。9、此题容易看出各项系数和为0，可按此思路分组，将-9x2进行拆分。10、 a3b3c33abc11、 2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz提示：该题为竞赛题目，难度很大。根据前面的提示，难度很大时，通常都采用主元法。引用前面练习中的结果：6y3+15z3-37y2z+32yz2=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。然后再运用待定系数法: 设原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)显然m、n、p是1、1、2中的某种排列。答案是 (x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)。12、 已知？提示：可以将已知条件展开，即，由于a0，所以有。简单的做法是(b-c)2变形为(a-b+c-a)2。13、提示：14、 已知a、b、c满足a-b=8，ab+c2+16=0，则2a+b+c= （答案为4）15、