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共线向量与共面向量 a p 特别地 若p为a b中点 则 我们已经知道 平面中 如图不共线 结论 设o为平面上任一点 则a p b三点共线 或 令x 1 t y t 则a p b三点共线 那么空间又如何呢 a p b 例1已知a b p三点共线 o为直线外一点 且 求的值 平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 使 思考1 空间任意向量与两个不共线的向量共面时 它们之间存在怎样的关系呢 二 共面向量 1 共面向量 能平移到同一平面内的向量 叫做共面向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面的了 思考2 有平面abc 若p点在此面内 须满足什么条件 可证明或判断四点共面 分析 证三点共线可尝试用向量来分析 练习2 已知矩形abcd和adef所在的平面互相垂直 点m n分别在bd ae上 且分别是距b点 a点较近的三等分点 求证 mn 平面cde a b c d e f m n 练习3 已知a b m三点不共线 对于平面abm外的任一点o 确定在下列各条件下 点p是否与a b m一定共面 类比平面向量的基本定理 在空间中应有一个什么结论 然后证唯一性 证明思路 先证存在性 注 空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底 如 看书p75 推论 设点o a b c是不共面的四点 则对空间任一点p 都存在唯一的有序实数对x y z使 o a b c p 例1 解 连an 练习 b 1 对于空间任意一点o 下列命题正确的是 a 若 则p a b共线 b 若 则p是ab的中点 c 若 则p a b不共线 d 若 则p a b共线 2 已知点m在平面abc内 并且对空间任意一点o 则x的值为 1 下列说明正确的是 a 在平面内共线的向量在空间不一定共线 b 在空间共线的向量在平面内不一定共线 c 在平面内共线的向量在空间一定不共线 d 在空间共线的向量在平面内一定共线 2 下列说法正确的是 a 平面内的任意两个向量都共线 b 空间的任意三个向量都不共面 c 空间的任意两个向量都共面 d 空间的任意三个向量都共面 补充练习 已知空间四边形oabc 对角线ob ac m和n分别是oa bc的中点 点g在mn上 且使mg 2gn 试用基底表示向量 解 在 omg中 b 5 对于空间中的三个向量它们一定是 a 共面向量b 共线向量c 不共面向量d 既不共线又不共面向量 7 已知a b c三点不共线 对平面外一点o 在下列条件下 点
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