第7讲　一元二次方程

考点知识精讲 中考典例精析 第7讲一元二次方程 考点训练 举一反三 考点一一元二次方程的定义在整式方程中 只含有 个未知数 并且含未知数项的最高次数是 这样的整式方程叫一元二次方程 一元二次方程的标准形式是 考点二一元二次方程的常用解法 一 2 ax2 bx c 0 a 0 C k为任何实数 方程都有两个相等的实数根D 根据k的取值不同 方程根的情况分为没有实数根 有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 点拨 本组题考查一元二次方程的相关概念和解法 2011 南京 解方程x2 4x 1 0 点拨 本题考查一元二次方程的解法 方法总结 解一元二次方程有以下几种方法 1 直接开平方法 2 配方法 3 公式法 4 因式分解法 解一元二次方程时 要注意根据方程的特点 选择适当的方法求解 一般地 若方程左边是一个完全平方式 右边是一个非负数或完全平方式 应采用直接开平方法 若能因式分解就用因式分解法 当两种方法都行不通时 可采用公式法或配方法 2010 成都 若关于x的一元二次方程x2 4x 2k 0有两个实数根 求k的取值范围及k的非负整数值 点拨 本题考查一元二次方程的根的判别式 当b2 4ac 0时 方程有两个实数根 解答 方程x2 4x 2k 0有两个实数根 b2 4ac 42 4 1 2k 0 即16 8k 0 解得k 2 k的非负整数值为k 2 1 0 2011 桂林 某市为争创全国文明卫生城 2008年市政府对市区绿化工程投入的资金是2000万元 2010年投入的资金是2420万元 且从2008年到2010年 两年间每年投入资金的年平均增长率相同 1 求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率 2 若投入资金的年平均增长率不变 那么该市在2012年需投入多少万元 点拨 求年平均增长率问题 一般列方程a 1 x n b 其中a为原始数据 b为增长 减少 后数据 n为变化周期 x为增长 降低 率 解答 1 设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x 根据题意得 2000 1 x 2 2420 解得x1 0 1 x2 2 1 舍去 答 该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10 2 2012年需投入资金 2420 1 10 2 2928 2 万元 答 2012年需投入资金2928 2万元 方法总结 列一元二次方程解决实际问题时 一定要检验最后的结果 对不符合实际问题的未知数的值应舍去 1 一元二次方程a2 4a 7 0的解为 2 已知x 1是关于x的一元二次方程2x2 kx 1 0的一个根 则实数k的值是 3 方程x x 1 5 x 1 的解是 5 某公司4月份的利润为160万元 要使6月份的利润达到250万元 则平均每月增长的百分率是 1 x1 5 x2 1 1 25 7 用配方法解方程 6x2 x 12 0 8 前情提示 为了使同学们更好地解答本题 我们提供了一种解题思路 你可以依照这个思路按下面的要求填空 完成本题的解答 也可以选用其他的解题方案 此时不必填空 只需按照解答题的一般要求进行解答 青山村种的水稻2009年平均每公顷产8000kg 2011年平均每公顷产9680kg 求该村水稻每公顷产量的年平均增长率 解题方案 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x 1 用含x的代数式表示 2010年种的水稻平均每公顷的产量为 2011年种的水稻平均每公顷的产量为 2 根据题意 列出相应方程 3 解这个方程 得 4 检验 5 答 该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 8000 1 x 8000 1 x 2 8000 1 x 2 9680 x1 0 1x2 2 1 x1 0 1 x2 2 1都是原方程的根 但x2 2 1不符合题意 所以只能取x 0 1 10 一元二次方程训练时间 60分钟分值 100分 一 选择题 每小题3分 共30分 1 2011 安徽 一元二次方程x x 2 2 x的根是 A 1B 2C 1和2D 1和2 解析 由x x 2 2 x得 x 1 x 2 0 x1 1 x2 2 答案 D 2 2011 江西 已知x 1是方程x2 bx 2 0的一个根 则方程的另一个根是 A 1B 2C 2D 1 解析 把x 1代入方程x2 bx 2 0得1 b 2 0 b 1 解方程x2 x 2 0得x1 2 x2 1 方程的另一个根是x 2 答案 C 3 2010中考变式题 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实数根 则b2 4ac满足的条件是 A b2 4ac 0B b2 4ac 0C b2 4ac0 答案 B 4 2011 兰州 用配方法解方程x2 2x 5 0时 原方程应变形为 A x 1 2 6B x 2 2 9C x 1 2 6D x 2 2 9 解析 由x2 2x 5 0得x2 2x 5 x2 2x 1 6 x 1 2 6 故选C 答案 C 5 2010中考变式题 上海世博会的某纪念品原价168元 连续两次降价a 后售价为128元 下面所列方程中正确的是 A 168 1 a 2 128B 168 1 a 2 128C 168 1 2a 128D 168 1 a2 128 解析 第一次降价a 后 售价为168 1 a 第二次降价后为168 1 a 1 a 168 1 a 2 即168 1 a 2 128 答案 B 6 2011 福州 一元二次方程x x 2 0根的情况是 A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 只有一个实数根D 没有实数根 解析 解一元二次方程x x 2 0得x1 0 x2 2 所以方程有两个不相等的实数根 答案 A 7 2010中考变式题 一元二次方程x2 x 2 0的两根之积是 A 1B 2C 1D 2 答案 B 8 2011 成都 已知关于x的一元二次方程mx2 nx k 0 m 0 有两个实数根 则下列关于判别式n2 4mk的判断正确的是 A n2 4mk 0B n2 4mk 0C n2 4mk 0D n2 4mk 0 解析 方程有两个实数根 n2 4mk 0 答案 D 9 2010中考变式题 如果方程ax2 2x 1 0有两个不等的实根 则实数a的取值范围是 A a0 即22 4a 0 a 1 又 a 0 a 1且a 0 答案 B 10 2012中考预测题 在一幅长80cm 宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边 制成一幅矩形挂图如下图所示 如果要使整个挂图的面积是5400cm2 设金色纸边的宽为xcm 那么x满足的方程是 A x2 130 x 1400 0B x2 65x 350 0C x2 130 x 1400 0D x2 65x 350 0 解析 由题意可列方程为 80 2x 50 2x 5400 化简为x2 65x 350 0 答案 B 二 填空题 每小题3分 共24分 11 2010中考变式题 方程x2 4x 0的解是 解析 x2 4x 0 x x 4 0 x 0或x 4 0 即x1 0 x2 4 答案 x1 0 x2 4 12 2010中考变式题 两圆的圆心距d 5 它们的半径分别是一元二次方程x2 5x 4 0的两个根 这两个圆的位置关系是 解析 设半径为R r 则R r 5 d 5 R r d 故两圆位置关系是外切 答案 外切 13 2011 山西 十二五 时期 山西将建成中西部旅游强省 以旅游业为龙头的服务业将成为推动山西经济发展的主要动力 2010年全省全年旅游总收入大约1000亿美元 如果到2012年全省全年旅游总收入要达到1440亿元 那么年平均增长率应为 解析 设年平均增长率为x 根据题意列方程 得1000 1 x 2 1440 解得x1 0 2 x2 2 2 舍去 所以年平均增长率应为20 答案 20 14 2010中考变式题 方程2x2 3x 1 0的解是 答案 10 16 2010中考变式题 已知关于x的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0有实数根 则m的取值范围是 答案 7 18 2012中考预测题 已知x 1是方程x2 mx 5 0的一个根 则m 方程的另一根为 解析 把x 1代入方程 得 1 2 m 5 0 m 1 5 4 原方程为x2 4x 5 0 x 5 x 1 0 x 5 0或x 1 0 x1 5 x2 1 即另一根为x 5 答案 4x 5 三 解答题 共46分 19 15分 解方程 1 2012中考预测题 用配方法解一元二次方程 x2 5 4x 2 2011 武汉 x2 3x 1 0 3 2012中考预测题 x 1 2 9 x 1 答案 解 1 移项 得x2 4x 5配方 得x2 4x 4 5 4 即 x 2 2 9开方 得x 2 3即x 2 3或x 2 3 x1 5 x2 1 2 a 1 b 3 c 1 20 6分 2012中考预测题 如图 在宽为20m 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路 图中阴影部分 余下部分作为草坪 要使草坪的面积为540m2 求道路的宽 答案 解 设道路的宽为xm 根据题意 得 20 x 32 x 540 x2 52x 100 0 x1 2 x2 50 不合题意 舍去 答 道路的宽为2m 21 7分 2011 南充 关于x的一元二次方程x2 2x k 1 0的实数解是x1和x2 1 求k的取值范围 2 如果x1 x2 x1x2 1且k为整数 求k的值 答案 解 1 方程有实数根 22 4 k 1 0 解得k 0 k的取值范围是k 0 2 根据一元二次方程根与系数的关系 得x1 x2 2 x1x2 k 1 x1 x2 x1x2 2 k 1 由已知 得 2 k 1 1 解得k 2 又由 1 得k 0 2 k 0 k为整数 k的值为 1或0 22 8分 2011 日照 为落实国务院房地产调控政策 使 居者有其屋 某市加快了廉租房的建设力度 2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米 预计到2012年底三年共累计投资9 5亿元人民币建设廉租房 若在这两年内每年投资的增长率相同 1 求每年市政府投资的增长率 2 若这两年的建设成本不变 求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房 答案 解 1 设每年市政府投资的增长率为x 根据题意 得2 2 1 x 2 1 x 2 9 5 整理 得x2 3x 1 75 0 答 每年市政府投资的增长率为50 2 到2012年底共建廉租房面积 9 5 8 2 38 万平方米 23 10分 2012中考预测题 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展 汽车已越来越多地进入普通家庭 成为居民消费新的增长点 据某市交通部门统计 2008年年底全市汽车拥有量为180万辆 而截止到2010年年底 全市的汽车拥有量已达216万辆 1 求2008年年底至2010年年底该市汽车拥有量的年平均增长率 2 为保护城市环境 缓解汽车拥堵状况 该市交通部门拟控制汽车总量 要求到2012年底全市汽车拥有量不超过231 96万辆 另据估计 从2011年初起 该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10 假定每年新增汽车数量相同 请你计算出该市每年新增汽