高等数学作业(高升专)答案

1 高等数学作业答案高等数学作业答案 高起专 第一章函数作业 练习一 参考答案 一 填空题一 填空题 1 函数的定义域是 x x xf 5 2ln 1 解 对函数的第一项 要求且 即且 对函数的02 x0 2ln x2 x3 x 第二项 要求 即 取公共部分 得函数定义域为 05 x5 x 5 3 3 2 2 函数的定义域为 3 9 2 x x y 解 要使有意义 必须满足且 即成立 3 9 2 x x y09 2 x03 x 3 3 x x 解不等式方程组 得出 故得出函数的定义域为 3 33 x xx或 3 3 3 已知 则的定义域为 1 1 2 xef x xf 解 令 则 即 故ue x 1 ux 1ln 11ln 2 uuf 11ln 2 xxf 的定义域为 xf 1 4 函数的定义域是 1 1 4 2 x xy 解 2 2 5 若函数 则 52 1 2 xxxf xf 解 6 2 x 二 单项选择题二 单项选择题 1 若函数的定义域是 0 1 则的定义域是 xfy ln xf 2 A B C D 0 1 e 1 1 0 解 C 2 函数的值域是 xy sinln A B C D 1 1 1 0 0 0 解 D 3 设函数的定义域是全体实数 则函数是 f x xfxf A 单调减函数 B 有界函数 C 偶函数 D 周期函数 解 A B D 三个选项都不一定满足 设 则对任意有 xfxfxF x xFxfxfxfxfxfxfxF 即是偶函数 故选项 C 正确 xF 4 函数 1 0 1 1 aa a a xxf x x A 是奇函数 B 是偶函数 C 既奇函数又是偶函数 D 是非奇非偶函数 解 利用奇偶函数的定义进行验证 1 1 1 1 1 1 xf a a x aa aa x a a xxf x x xx xx x x 所以 B 正确 5 若函数 则 2 2 1 1 x x x xf xf A B C D 2 x2 2 x 2 1 x1 2 x 解 因为 所以2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x2 1 1 2 x x x xf 则 故选项 B 正确 2 2 xxf 6 设 则 1 xxf 1 xff A x B x 1 C x 2 D x 3 解 由于 得 1 xxf 1 xff1 1 xf2 xf 将代入 得 1 xxf 1 xff32 1 xx 3 正确答案 D 7 下列函数中 不是基本初等函数 A B C D x y e 1 2 ln xy x x y cos sin 35 xy 解 因为是由 复合组成的 所以它不是基本初等函数 2 ln xy uyln 2 xu 正确答案 B 8 设函数 则 0 0 0 cos x xx xf 4 f A B 4 f 4 f 2 0 ff C D 2 0 ff 4 f 2 2 解 因为 故02 1 2cos 2 f 且 所以1 0 f 2 0 ff 正确答案 C 9 若函数 则 1 e xf x xf A B C D 1e x 1 x1ln x 1ln x 解 C 10 下列函数中 是偶函数 y A B C D xf xf 2 xf xfxf 解 B 三 解答题 1 设 求 1 的定义域 2 e1ln 10 xx xx xf xf 0 f 1 f 2 f 解 1 分段函数的定义域是各区间段之和 故的定义域为 xf e 0 e 1 1 0 2 时 10 x xxf 0 0 f1 1 f 时 e1 x xxfln 2ln 2 f 4 2 设 求复合函数 0 0 1 xx xx xf 0 0 2 xx xx xg xfgxgf 解 0 1 0 1 2 xx xx xgf 0 1 1 01 1 2 2 xx xx xx xfg 3 1 xx aaxf 0 a 解 为偶函数 xfaaxf xx xx aaxf 2 x x xf 1 1 ln 解 为奇函数 xf x x x x xf 1 1 ln 1 1 ln x x xf 1 1 ln 3 1ln 2 xxxf 解 xfxx xx xxxf 2 2 2 1ln 1 1 ln1ln 为奇函数 2 1lnxxxf 4 已知 求的定义域xxfsin 2 1xxf x 解 故的定义域为 22 1arcsin 1sinxxxxxf x 22 x 第二章极限与连续作业 练习二 参考答 案 一 填空题一 填空题 1 sin lim x xx x 答案 1 正确解法 101 sin lim1lim sin 1 lim sin lim x x x x x xx xxxx 2 已知 则 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x a b 5 由所给极限存在知 得 又由024 ba42 ab 知2 3 4 1 2 lim 2 lim 2 2 2 2 a x ax xx baxx xx 8 2 ba 3 已知 则 1 lim 0 xax bex x a b 即 1 lim 0 xax be x x 0 1 1 lim 0 b a be xax x x 1 0 ba 4 函数的间断点是x 01 0 1 sin xx x x x xf 解 由是分段函数 是的分段点 考虑函数在处的连续性 xf0 x xf0 x 因为 1 0 1 1 lim0 1 sinlim 00 fx x x xx 所以函数在处是间断的 xf0 x 又在和都是连续的 故函数的间断点是 xf 0 0 xf0 x 5 极限 x x x 1 sinlim 0 解 因为当时 是无穷小量 是有界变量 0 xx x 1 sin 故当时 仍然是无穷小量 所以 0 0 x x x 1 sin x x x 1 sinlim 0 6 当 k 时 在处仅仅是左连续 0 01 2 xkx xx xf0 x 解 因为函数是左连续的 即 0 1 1 lim 0 0 fxf x 若 1 lim 0 2 0 kkxf x 即当1 时 在不仅是左连续 而且是连续的 k xf0 x 所以 只有当时 在仅仅是左连续的 1 k xf0 x 7 要使在处连续 应该补充定义 x x xf cos1 0 x of 解 2 补充定义0 1 sin lim cos1 lim 00 x x x xx 0 0 f 6 二 单项选择题二 单项选择题 1 已知 其中 是常数 则 0 1 lim 2 bax x x x ab A B 1 1 ba1 1 ba C D 1 1 ba1 1 ba 解 0 1 1 lim 1 lim 22 x bxbaxa bax x x xx 答案 C1 1 0 01 babaa 2 下列函数在指定的变化过程中 是无穷小量 A e 1 x x B sin x x x C ln 11 xx D x x x 11 0 解 无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量 所以 0 sin lim x x x 而 A C D 三个选项中的极限都不为 0 故选项 B 正确 3 下列函数中 在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是 A B 1 sin x x xy 1 nny n C D 0 ln xxy 0 1 cos 1 x xx y 解 故不选 A 取 则1 11 sinlim 1 sinlim xxx x xx 12 km 故不选 B 取 则 故不选 0 12 1 limlim 1 k n kn n 2 1 n xn0 1 cos 1 lim nn n xx D 答案 C 4 的 0 arctan 1 21 1 1 xfxx e e xf x x 是则 A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 无穷间断点 D 振荡间断点 解 00 01 01 arctan 1 21 lim 00 1 1 0 x e e f x x x 7 00 10 20 arctan 1 2 limarctan 1 21 lim 00 1 1 0 1 1 0 x e e x e e f x x x x x x 0 00 00 Axff应选为可去间断点故 5 若 为无穷间断点 为可去间断点 则 1 xx ae xf x 0 x1 x a A 1 B 0 C e D e 1 解 由于为无穷间断点 所以 故 若 则也是无0 x0 0 x x ae1 a0 a1 x 穷间断点 由为可去间断点得 故选 C 1 xea 三 计算应用题三 计算应用题 计算下列极限 1 2 3 2 3 1 lim x x x x 2 1sin lim 2 1 xx x x x x x 33sin9 lim 0 4 5 6 12 45 lim 2 2 4 xx xx x 1 1 1 3 lim 2 1 xx x x 52 6 1 2 32 lim 1 23 x xxx xx 解 解 1 1 ln 3 lim 1 2 2 1 lim 3 x x x x x x x e x 2 2 34 1 ln 1 3 3 limlim4 11 2 2 xx x x xx x xx 24 1 lim 3 x x x e x 2 2 1sin lim 2 1 xx x x 2 1 1sin lim 1 xx x x 2 1 lim 1 1sin lim 11 xx x xx 3 1 3 1 1 3 解 对分子进行有理化 即分子 分母同乘 然后利用第一重要33sin9 x 极限和四则运算法则进行计算 即 8 x x x 33sin9 lim 0 33sin9 33sin9 33sin9 lim 0 xx xx x 33sin9 1 lim 3sin lim 00 xx x xx 2 1 6 1 3 4 解 将分子 分母中的二次多项式分解因式 然后消去零因子 再四则运算法则 和连续函数定义进行计算 即 12 45 lim 2 2 4 xx xx x 3 4 1 4 lim 4 xx xx x 3 34 14 3 1 lim 4 x x x 5 解 先通分 然后消去零因子 再四则运算法则和连续函数定义进行计算 即 1 1 1 3 lim 2 1 xx x x 1 1 1 3 lim 1 xx xx x 1 1 2 lim 1 x x 6 32 1 23 21 lim 6 25 xx xxx x 3 2 1 1 21 3 2 1 lim 6 2 5 xx xxx x 2 3 2 3 2 6 5 2 设函数 0 sin 0 0 1 sin x x x xa xb x x xf 问 1 为何值时 在处有极限存在 ba xf0 x 2 为何值时 在处连续 ba xf0 x 解 1 要在处有极限存在 即要成立 xf0 x lim lim 00 xfxf xx 因为bb x xxf xx 1 sin lim lim 00 所以 当时 有成立 即时 函数在处有极限1 b lim lim 00 xfxf xx 1 b0 x 存在 又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关 所以此时可以取任意值 a 1 sin lim lim 00 x x xf xx 9 2 依函数连续的定义知 函数在某点处连续的充要条件是 lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 于是有 即时函数在处连续 afb 0 11 ba0 x 3 已知 试确定和的值8 2 lim 23 2 x baxx x ab 解 即8 2 lim 23 2 x baxx x 048lim 23 2 babaxx x ab48 8124422lim 2 84 lim 2 lim 2 2 23 2 23 2 aaxax x aaxx x baxx xxx 故 1 a4 b 4 求 x e e x x x 1 arctan 1 1 lim 1 1 0 解 x x e 1 0 lim 0lim 1 0 x x e 2 1 arctanlim 1 1 lim 1 arctan 1 1 lim 0 1 1 0 1 1 0 x e e x e e x x x x x x x 2 1 arctanlim 1 1 lim 1 arctan 1 1 lim 0 1 1 0 1 1 0 x e e x e e x x x x x x x 2 1 arctan 1 1 lim 1 1 0 x e e x x x 5 设 求的间断点 并说明间断点的所属类型 01 1ln 0 1 1 xx xe xf x xf 解 在内连续 因此 xf 1 1 0 0 1 1 1 1 lim x x e0lim 1 1 1 x x e 00 f 是的第二类无穷间断点 1 x xf limlim 1 1 1 00 eexf x xx 因此是的第一类跳跃间断点 01lnlimlim 00 xxf xx 0 x xf 6 讨论的连续性 nx nx n e exx xf 1 lim 2 10 解 因此在内连续 又 0 0 0 0 1 lim 2 2 xx x xx e exx xf nx nx n xf 0 0 在上连续 00lim 0 fxf x xf 第三章 微分学基本理论作业 练习三 参考答案 一 填空题一 填空题 1 设 则 3sin cos1 21 xxxxf x 0 f 解 因为 则0 0 f 0 3 3sin 22 xxxxx 6 3 lim2 3sin cos1 lim 0 0 lim 0 2 0 21 00 x xx x xxx x fxf f x x xx 2 0 00 lim 0 xx xxfxfx xx 解 原式 000 0 0000 lim 0 xfxfx xx xxxfxfxfx xx 3 已知 则 3 1 d f x dxx fx 解 即 x xxfxf dx d1 3 233 3 3 3 1 x xf fx 1 3x 4 设 则 nxxxxy 21 1n y 1 n 5 则 2 xxf 1 x ff 答案 或 2 12 x144 2 xx 6 函数的定义域为 1ln 4 22 2 yx yx z 解 函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集 11 10 4 0 1 4 11 01 04 22 2 22 22 2 22 22 2 yx xy yx yx xy yx yx yx 的定义域为 且 z 10 22 yxyxxy4 2 7 已知 则 22 xyyxyxyxf yxf 解 令 则 xyu xyv 22 uvuv xy f xy xyxy xy 4222 22 vu uuvuvu vuf 22 4 x f x yxy 8 设 则 22 yx x xyyxf 1 0 x f 1 0 y f 0 1 000f 2 00 0 1 0 1 1 0 1 limlim2 x xx x x fxf x f xx 00 0 1 0 1 00 0 1 limlim0 y yy fyf f yy 9 由方程确定的函数 z z x y 在点 1 0 1 处的全微分2 222 zyxxyz dz 解 222 20F x y zxyzxyz 222222 222 222 1 x z x yz xyzyz xyzxFz z xF xy xyzz xy xyz 222 222 2 y z Fxz xyzy z yF xy xyzz 2dzdxdy 10 设则 cos sin 32 tytxyxz t z d d 解 2 2 sin3cos dz xtty dt 二 选择题 12 1 下列命题正确的是 D A 00 fxf x B xfxf xx 0 lim 0 C 0 lim x f xxf x fx x D 表示曲线在点处的切线与轴平行 0 0fx yf x 00 xf xx 解 时 故不选 A xxf 11 f 01 f 时 但 0 0 0 1 sin 2 x x x x xf 0 0 0 1 cos 1 sin2 x x xx x xf 00 f 不存在 故不选 B 而 故不选 C xf x 0 lim xf x xfxxf x 0 lim 2 设 则在处 0 0 1 sin xx x x x xf xf0 x A 连续且可导B 连续但不可导 C 不连续但可导D 既不连续又不可导 解 B 0lim lim 00 xxf xx 0 1 sinlim lim 00 x xxf xx 0 0 f 因此在处连续 xf0 x 此极限不存在 xx x x x fxf f xxx 1 sinlim 0 0 1 sin lim 0 0 lim 0 000 从而不存在 故不存在 0 f 0 f 3 曲线在点 1 0 处的切线是 xxy 3 A B 22 xy22 xy C D 22 xy22 xy 解 由导数的定义和它的几何意义可知 1 3 1 x xxy2 13 1 2 x x 13 是曲线在点 1 0 处的切线斜率 故切线方程是xxy 3 即 1 20 xy22 xy 正确答案 A 4 已知 则 4 4 1 xy y A B C D 6 3 x 2 3xx6 解 直接利用导数的公式计算 34 4 1 xxy 23 3 xxy 正确答案 B 5 若 则 x x f 1 xf A B C D x 1 2 1 xx 1 2 1 x 答案 D 先求出 再求其导数 xf 6 22 lnyxz 的定义域为 A 1 22 yx B 0 22 yx C 1 22 yx D 0 22 yx 解 z 的定义域为 个 选 D 0 22 yxyx 7 下列极限存在的是 A B C D yx x y x 0 0 lim yx y x 1 lim 0 0 yx x y x 2 0 0 lim yx x y x 1 sinlim 0 0 解 A 当 P 沿时 当 P 沿直线时 故0 x0 0 lim 0 yf y 0 y1 0 lim 0 xf x 0 0 lim y x 不存在 B 不存在 C 如判断题中 1 题可知不存在 yx x yx y x 1 lim 0 0yx x y x 2 0 0 lim D 因为 所以 选 D0lim 1 sin lim 0 0 0 0 x yx x y x y x 0 1 sinlim 0 0 yx x y x 8 在 x0 y0 处 均存在是在处连续的 条件 yxf x f y f yxf 00 yx A 充分 B 必要 C 充分必要 D 既不充分也不必要 14 解 因为存在 在 处不一定连续 所以非充分条件 ff xy f x y 00 xy 例如 由偏导数的定义知道 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 同理可得 0 但不存 00 0 0 0 00 0 0 limlim0 xx fxf fx xx 0 0 fy 22 0 0 lim x y xy xy 在 所以在 0 0 不连续 若在 处连续 在 也 22 xy xy f x y 00 xy ff xy 00 xy 不一定存在 所以非必要 例如 f x y x y 它在点 0 0 点处连续 但 不存在 选 D x f y f 9 设可微 且满足则 G x y tf xy yx xyfu 22 yxuG y u y x u x A B C D yx yx 22 yx 2 yx 解 y u u y x u u x yxG 22 yxf u yxxy f y x xf u y f x y yf u x yx xyxxy xyfxf u y yx yyxxy xyfxf u x 2 2 22 2 22 2 选 B 10 肯定不是某个二元函数的全微分的为 A B C D xdyydx xdyydx ydxxdx ydxxdx 解 A xy C D 都是某个二元函数的全微方 只有 B 不是 选 2 22 yx 2 22 yx B 三 求解下列各题 15 1 求下列函数的导数 1 xxflg 解 xfelg 1 10ln 1 xx 2 1ln 2 xxy 解 1 1 1 2 2 xx xx y 1 12 1 1 1 1 2 22 x xxx 12 2 1 1 1 22 x x xx 22 2 2 1 1 1 1 1 1 xx xx xx 3 z y xu 解 1 1 z yzx y x u xyzxzyxx y u zyzy zz lnln 11 yyxyxx z u zyzy zz lnln 4 dxedssfyxF x xy y 1 0 2 解 yxyf x F yfxyxf y F 2 求曲线在点处的切线方程 xyln 0 1 解 于是 曲线在点处的切线方程为 x xf 1 1 1 1 1 x x fkxyln 0 1 即 1 0 xky1 xy 3 下列各方程中是的隐函数的导数yx 16 1 求1ee yx xy y 解 方程两边对自变量求导 视为中间变量 即xy 1 e e yx xy 0ee yyxy yx yyx xy e e 整理得 y x x y y e e 2 设 求 sin yxy dx dy 2 2 dx yd 解 1 cos yyxy cos 1 cos yx yx y yyxyyxy cos 1 sin 2 33 cos 1 cos 1 sin yx y yx yx y 3 设由方程所确定 求 yxzz yz xz e xy z 2 解 设 xzzyxF yz e 1 x F yz y F e1e yz z F 1e 1 yz x z zyyz yz y z e1 1 1e e 3 2 2 2 e1 e e1 e e1 1 zy zy zy zy zy x z xxy z 4 求下列极限 1 22 1 0 1 lim yx xy y x 解 1 01 011 lim 22 1 0 yx xy y x 17 2 22 22 0 0 cos1 lim yx yx y x 解 2 1 2 4 2 sin2 lim 2 sin2 lim cos1 lim 2 22 2 22 0 0 22 2 22 0 0 22 22 0 0 yx yx yx yx yx yx y x y x y x 3 yx x y x 0 0 lim 解 不存在 0 0 lim y xyx x 当 P 沿着直线时 0 x0lim 0 yx x y 当 P 沿着直线 k 为任意数 kxy 0 0 lim y xyx x 0 0 lim y x 0 1 1 kkxx x 所以不存在 0 0 lim y xyx x 5 设讨论 f x y 在 0 0 0 0 0 22 22 22 yx yx yx xy yxf 1 偏导数是否存在 2 是否可微 1 解 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 xx fxf fx xx 同理可得 偏导数存在 0 0 0 fy 2 若函数 f 在原点可微 则 22 0 0 0 0 0 0 0 0 yx yx yy fxx ffyxfdzz 应是较高阶的无穷小量 为此 考察极限 由前 22 0 0 0 limlim yx yxdzz yx 面所知 此极限不存在 因而函数 f 在原点不可微 6 设 z 求证 yx e 11 z y z y x z x2 22 证 所以 yx e x z 11 2 1 x yx e y z 11 2 1 y ze y z y x z x yx 22 11 22 18 第四章微分学应用作业 练习四 参考答 案 一 填空题一 填空题 1 函数的驻点是 单调增加区间是 单调减少区间是 yx 31 2 极值点是 它是极 值点 解 小 x 1 1 1x 1 2 函数在 处达到最小值 的驻点 xy xy 解 0 不存在 3 若在内满足 则在内是 f x a b fx 0f x a b 解 单调减少的 4 函数的可能极值点为 和 yxxyxyyxf 22 解 2 2 2 12 0 2 12 0 x y fyyxyyxy fxxyxxxy 1 001 3 0101 3 x xxx yyy y 2 xx fy 122fxyyx 2 yy fx xxy xyy H 2221 2212 不是 不是 01 0 0 10 H 21 0 1 10 H 不是 01 1 0 12 H 负定 极大值 2 31 31 1 1 32 33 3 H 1 3 1 3 5 设则 1 sin 22 xyxyxyxf 0 1 y f 解 因为 故 1 sinfyy 0 1 0 cos1 y y fy 二 选择题 1 设在内可导 则在内 xf 0 0 0 0 fxf xf 0 A 只有一点 使 B 至少一点 使 1 x0 1 xf 1 x0 1 xf C 没有一点 使 D 不能确定是否有 使 1 x0 1 xf 1 x0 1 xf 19 解 选 D 2 当 x 0 时 曲线 x xy 1 sin A 有且仅有水平渐近线 B 有且仅有铅直渐近线 C 既有水平渐近线也有铅直渐近线 D 既无水平渐近线也无铅直渐近线 解 选 A 3 设的某个邻域内连续 且 则在点处0 xxf在0 0 f1 2 sin2 lim 2 0 x xf x 0 x xf A 不可导 B 可导 且 C 取得极大值 D 取得极小值0 0 f 解 因为 则在的邻域内成立 所以为1 2 sin2 lim 2 0 x xf x 0 0 fxf 0 x 0 f 的极小值 故选 D xf 4 若 在内 xxfxf 0 0 0 0 则在内xfxf A B 0 0 xfxf0 0 xfxf C D 0 0 xfxf0 0 xfxf 解 Cxfxfxf故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因 5 设为奇函数 且时 则在上的最大值为 xf0 x0 x f xf 1 10 A B C D 10 f 1 f 10 f 1 f 解 B 因为是奇函数 故 两边求导 从而 xf xfxf xfxf 设 则 从而 所以在 10 1 上 xfxf 0 x0 x0 xfxf xf 单调增加 故最大值为 1 f 6 函数 22 4 yxyxzyxf A 有极大值 8 B 有极小值 8 C 无极值 D 有无极值不确定 解 42 x fx 42 y fy 02 02 x y fx fy 20 为极大值 A 20 02 H 0 20H 2 2 8f 7 函数为常数 在 0 0 处 0 22 aayxyxf A 不取极值 B 取极小值 C 取极大值 D 是否取极值与 a 有关 解 考虑函数在曲线上的取值 即 当 22 ayxZ kxy 22 1 xakZ 时 当时 因此 不存在原是的领域 使 Z 在绘领域中1 2 ak0 Z1 2 ak0 Z 有 或 0 Z0 Z 即 Z 在原点处不取极值 A 8 当时 函数 1 22 yx 22 22 yx eyxyxf A 不取极值 B 取极大值 1 e C 取极小值 D 取极大值 1 ee 解 考虑 令 得 又 0 t f ttet 1 0 t ftt e 1t 2 t ftte 故为极大值 1 1 0fe 1 1 fe 所以 当时 取极大值 B 22 1xy 22 22 xy f x yxye 1 e 9 如果点有定义且在 的某邻域内有连续二阶偏导 B2 00 yx yxf 00 yx AC A B C 则当 在 取 0 0 yxfxx 0 0 yxfxy 0 0 yxfYY yxf 00 yx 极大值 A 0 A 0 B 0 C 0 A0 A0 2 4 22 ay xaxy 解 2 2 3 a 二 选择题 1 x exd A B C D cxe x cexe xx cxe x cexe xx 解答 用分部积分法计算积分 可知要cexedxexeexd xxxxx 选 B 2 下列定积分中积分值为 0 的是 A B 1 1 2 dx ee xx 1 1 2 dx ee xx C D dxxx cos 3 dxxx sin 2 解答 记住奇函数在关于原点对称的区间上的积分等于 0 故选 A 3 下列无穷积分收敛的是 A B C D xxdsin 0 x xd e 0 x xd 1 1 x x d 1 1 2 答案 D 收敛 1 1 lim1 1 limd 1 limd 1 1 1 2 1 2 bx x x x x b b b b b 25 4 设 的值则为周期的连续函数是以 Ta a dxxfITxf A 依赖于 B 依赖于Ta xTa和 C 依赖于 不依赖于 D 依赖于 不依赖于xT aTa 解 根据周期函数定积分的性质有 0 Ddxxfdxxf TTl l 故应选 5 曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 0 sin2 3 xxyxx A B C D 3 4 3 4 2 3 2 3 2 解 所求旋转体的体积为 3 4 3 cos coscos cos1 sin 0 3 0 2 0 3 0 2 x xxdxxdxdxyV 故应选 B 6 设 2 2 4 2 cos 1 sin xdx x x M 2 2 43 cos sin dxxxN 则有 2 2 432 cossin dxxxxP A B MPN NPM C D PMN NMP 解 利用定积分的奇偶性质知 0 M 所以 故选 D 0cos2 2 0 4 xdxN0cos2 2 0 4 xdxPNMP 7 下列不定积分中 常用分部积分法的是 A B xxxdsin 2 xxxd 12sin C D x x xdln x x x d 1 答案 B 8 设 则必有 dxdyyxI yx 3 1 2 4 2 1 22 A I 0 B I0 求证 b a dxxf 2 1 abdx x f b a 证明 证 由代数不等式 Da b a b 22 2ABAB 左式 1dd d d 2 bbbb aaaa yx f xxf yy f yf x 22 2 1 d d 2 1 d d 2 12 d dd d 2 D D DD f xf y x y f yf x fxfy x y f x f y f x f y x yx yba f x f y 一一 第六章 无穷级数作业 练习六 参考答 案 29 一 填空题 1 1 22 2 12 n n n x n 解 令 则原幂级数成为不缺项的幂级数 记其各项系数为 因 2 xy 1 1 2 12 n n n y n n b 为 则 2 12 12 lim2 12 2 2 12 limlim 1 1 n n n n b b R n n n n n n n 2022 2 xy 故 22 x 当时 幂级数成为数项级数 此级数发散 故原幂级数的收敛区2 x 1 12 2 1 n n 间为 2 2 2 函数在处的幂级数为 x xf 1 1 0 0 x x 1 1 解 nn xxxx x 1 1 1 1 32 1 1 x 3 函数展开成幂级数 则展开式中的系数是 2 1 x xf 1 x 3 1 x 解 因为 0 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 n n n n x x x xf 故的系数是 3 1 x 81 1 3 1 4 3 4 若级数的前项部分和是 则 1n n un 12 2 1 2 1 n Sn n u 解 12 12 1 12 2 1 2 1 12 2 1 2 1 1 nnnn SSu nnn 5 极限 为任意常数 的值等于 lim n n p n p 解 由比值判别法 可知收敛 所以原极限 1 n p n n 0 30 二 选择题 1 下列说法正确的是 A 若级数收敛 且 则也收敛 1n n u nn vu 1n n v B 若收敛 则和都收敛 1 n n nv u 1 2 n n u 1 2 n n v C 若正项级数发散 则 1n n u n un 1 D 若和都收敛 则收敛 1 2 n n u 1 2 n n v 2 1 n n n vu 解 选 D 2 设幂级数与的收敛半经分别为 则幂级数的收敛半经 1n n nx a 1n n nx b 3 1 3 5 与 1 2 2 n n n n x b a 为 A 5 B C D 3 5 3 1 5 1 解 所以收敛半径 故 5 1 3 1 5 3 limlim 222 1 21 2 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n n b b a a a b b a 5 R 选 A 3 常数 且级数收敛 则级数 0 1 2 n n a 1 2 1 n nn n a A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与有关 解 选 C 4 设函数项级数 下列结论中正确的是 1 n n xu A 若函数列定义在区间上 则区间为此级数的收敛区间 xunII B 若为此级数的和函数 则余项 xS xSxSxr nn 0 lim xrn n C 若使收敛 则所有都使收敛Ix 0 1 0 n n xu 0 xx x 1 n n xu 31 D 若为此级数的和函数 则必收敛于 xS 1 0 n n xu 0 xS 解 选 B 5 设为常数 则级数 0 a cos1 1 1 n a n n A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性与有关a 解 因为 而收敛 因此原级数绝对收敛 故 2 2 2 22 sin2 cos1 1 n a n a n a n 1 2 2 2 n n a 选 A 6 若级数在时发散 在处收敛 则常数 1 1 n n n n ax 0 x0 x a A 1 B 1 C 2 D 2 解 由于收敛 由此知 当时 由于的 1 1 n n n n a 1 a11 a 1 1 n n n n ax 收敛半径为 1 因此该幂级数在区间内收敛 特别地 在内收敛 此 1 1 aa 1 0 a 与幂级数在时发散矛盾 因此 故选 B 0 x1 a 三 求解下列各题 1 判别下列级数的敛散性 1 n n 3 12 3 5 3 3 3 1 32 解 由达朗贝尔判别法可得原级数收敛 2 11 1 1 nn n n 解 由达朗贝尔判别法可得原级数收敛 3 1 cos1 n n 解 2 2 2 sin2cos1 22 n nnn 因为收敛 所以收敛 1 2 2 1 2 n n 1 cos1 n n 2 判别下列级数的敛散性 如果收敛 是绝对收敛还是条件收敛 1 常数 1 cos1 1 n n n a 0 a 32 解 由 而 n a n a n cos1 cos1 1 0 2 1 2 2 lim 1 2 sin2 lim 1 cos1 lim 2 2 2 2 2 2 a n n a n n a n n a nnn 由正项级数的比较判别法知 与同时敛散 1 cos1 n n a 1 2 1 n n 而收敛 故收敛 从而原级数绝对收敛 1 2 1 n n 1 cos1 n n a 2 n n n ln 1 1 2 解 记 则 1ln 1 1 1 n u n nnn v n u 1 1 显见去掉首项后所得级数仍是发散的 由比较法知发散 从而 1 1 n n 1n n v 1n n u 发散 又显见是 Leibniz 型级数 它收敛 即收 2n n u 1ln 1 1 1 1 n n n n n n ln 1 1 2 敛 从而原级数条件收敛 3 求下列幂级数在收敛区间上的和函数 xS 1 1 1 n n nn x 解 所以 1 2 1 1 limlim 1 nn nn a a n n n n 1 R 又当时 级数成为 都收敛 故级数的收敛域为 1 x 1 1 1 n n nn 1 1 设级数的和函数为 即 xS 1 1 n n nn x xS 再令 1 1 1 n n nn x xxSxf 33 逐项微分得 1 n n n x xf x xxf n n 1 1 1 1 1ln 1 1 0 0 xdx x dxxf xx 0 0 1ln 0 fxxffxf x x xx dx x x xxdxxdxxf 0 0 0 0 1 1ln 1ln xxxxxxx 1ln 1 1ln 1ln 故 又显然有 故 1ln 1 xxxxf 1 1 S 1 1 0 0 1 0 1ln 1 1 x x xx x x xS 2 1 1 4 1 n n n x n 解 所以 1 1 limlim 1 n n a a R n n n n 141 x53 x 当时 级数成为 由调和级数知发散 3 x 1 1 n n 当时 级数成为 由交错级数的 Leibniz 判别法知此级数是收敛的 所以5 x 1 1 n n n 收敛区间为 5 3 设 则 1 1 4 1 n n n x n xS 3 1 4 1 1 4 1 1 11 xx xxS n nn 所以 53 3ln xxxS 4 求在处的幂级数展开式 x xf 4 1 2 0 x 解 因为 0 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 4 1 n n x x xx xf 34 且 得 而当时 上面级数都发散 1 2 2 x 40 x40 xx或 所以 n n n xxf 2 2 1 0 1 40 x 5 将函数展开成的幂级数 并指出其收敛区间 21ln 2 xxy x 解 21ln 1ln 21 1ln 21ln 2 xxxxxxy 11 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n n n n n n x n x n x n x n 2 1 2 1 2 1 1 1 xx n n n nn 第七章 微分方程作业 练习七 参考答 案 一 填空 1 若都是方程的特解 且线性无关 则通解可 xyxy 21 xqyxpy xyxy 21 表示为或 121 yyycy yyycy 221 2 的通解为1cos xy 32 2 1 3 6 sincxcxc x xy 3 的满足初始条件的特解为 0 2 yy 4 1 1 12 1 1 yy 3 2 1 12 1 xy 4 微分方程的通解为 03 yy x eccy 3 21 5 微分方程的通解为 0136 yyy xcxcey x 2sin2cos 21 3 6 微分方程的通解为 02 4 yyy x exccxccy 4321 7 微分方程的特解形式为 x exyyy 3 196 x ebaxxy 32 8 微分方程的特解形式为 xyyysin23 xbxaysincos 9 设满足 xyy 20 20 044 yyyyy 35 则 2 0 dxxy 解 方程 得通解为 因此 044 yyy x eCxCy 21 0 ydx 0 dxy 均收敛 且 故 0 dxy0limlim yy xx 2 4 1 4 1 2 4 1 00 000 yydxydxyydx 10 方程的通解为 x eyyy 2 x ecxcx 21 2 2 1 二 选择题 1 的特解可设为 xeyyy x 2cos52 A B 2cos xAey x 2cos xAxey x C D 2sin2cos xBxAxey x 2sin2cos xBxAey x 解 C 2 微分方程的阶数是指 A 方程中未知函数的最高阶数 B 方程中未知函数导数或微分的最高阶数 C 方程中未知函数的最高次数 D 方程中函数的次数 解 B 3 下面函数 可以看作某个二阶微分方程的通解 A B 22 cyx 32 2 1 cxcxcy C D cossin 2 2 2 1 xcxcy coslnln 21 xcxcy 解 C 4 下面函数中 是微分方程满足初始条件的特解 yy 2 0 x y A B x cey 2 x ey C D x ey 2 x ey 解 B 5 微分方程的通解是 yy y A B C D cx 2 5 0 x ce x c ecy x e 36 解 用可分离变量法很容易求解 因此 正确答案 B 三 求解下列各题 1 的所有解 012 2 ydydxyx 解 原方程可化为 当 两边积分得 即xdx y ydy 2 1 2 1 2 ycxy 22 1 为通解 当时 即 显然满足原方程 所以原方程的全部cyx 22 11 2 y1 y 解为及 cyx 22 11 y 2 22 yxyyx 解 当时 原方程可化为 令 得 原方程化为0 x 2 1 x y x y yu x y xuy 解之得 2 1uux cxu lnarcsin 当时 原方程可化为 类似地可解得 0 x 2 1 x y x y ycxu lnarcsin 综合上述 有 0ln 0ln arcsin xcx xcx x y 3 2sin 2 1 cosxxyy 解 由公式得 x xdxxdx cexcdxxeey sin coscos 1sin2sin 2 1 4 ln 2 xy x y y 解 原方程的解为 C x xCdx x xx CdxexeCdxexey xx dx x dx x 2 ln1 ln lnln 2 lnln 1 1 1 5 100 yyxey x 解 由 得 即 1 Cexedxxey xxx 10 y 2 1 C 37 再积分得 由 得2 xx exey 2 22Cxexey xx 10 y 故所求特解为 1 2 C122 xexey xx 6 2 yey x 解 令得 当时 有 两边积分得 uy 2 ueu x 0 u x e u u 2 1 1 Ce u x 即 11 1 1 Ce y Ce u xx 2 11 2 1 111 ln 1 ln 1 11 C Ce e C C t Ct CCtt dt Ce dx y x x CettCe x xx 令 7 满足09 yy 30 00 yy 解 特征方程为 故通解为 由09 2 i 3 2 1 xCxCy3sin3cos 21 得 故为所求特解 30 00 yy1 0 21 CCxy3sin 8 cosxxyy 解 对应的齐次方程的通解为 xCxCYsincos 21 设非齐次方程 的特解为 xyy BAxy 1 的特解为 xyycos xDxxExysincos 2 将代入原方程可得 所以原方程的通解为 21 yyy 2 1 0 0 1 DEBA x x xxCxCysin 2 sincos 21 9 sin23xeyyy x 解 对应的齐次方程的通解为 设特解为 xx eCeCY 2 21 代入原方程得 因此 xBxAey x cossin 2 1 BA 为所求特解 xxeeCeCy xxx sincos 2 1 2 21 38 第八章第八章 行列式与矩阵作业 练习八 参考答案行列式与矩阵作业 练习八 参考答案 一 填空题 1 设 n 阶方阵 A 满足 A 3 则 AA 答案 3 1 1 n 2 0001 0020 0100 000 n n 答案 1 2 1 n n n 3 是关于 x 的一次多项式 则该多项式的一次项系数是 111 11 111 x 答案 2 4 f x 是 次多项式 其一次项的系数是 31 25 14 x x x 解 由对角线法则知 f x 为二次多项式 一次项系数为 4 5 设 A 为 n 阶矩阵 且 A 3 则 A A 1 解 A AAAA A A nnnn 1111 1 3 6 为阶矩阵 且 则 An n 2 32AAEO 1 A 答案 31 22 EA 7 设矩阵 A 913 210 063 80 19 62 B 则矩阵 A 与 B 的乘积 AB 的第 3 行第 1 列的元素的值是 解解 根据乘法法则可知 矩阵 A 与 B 的乘积 AB 的第 3 行第 1 列的元素的值是 A 的第 3