高中数学专题训练(一)——抽象函数

1 高中数学专题训练 一 高中数学专题训练 一 抽象函数抽象函数 1 已知函数 y f x x R x 0 对任意的非零实数 1 x 2 x 恒有 f 1 x 2 x f 1 x f 2 x 试判断 f x 的奇偶性 2 已知定义在 2 2 上的偶函数 f x 在区间 0 2 上单调递减 若 f 1 m 0 1 求 1 f 2 求和 1 2 3 ffff n nN 3 判断函数 f x的单调性 并证明 14 函数 f x的定义域为 R 并满足以下条件 对任意xR 有 f x 0 对任意 x yR 有 yf xyf x 1 1 3 f 1 求 0 f的值 2 求证 f x在 R 上是单调减函数 3 若0abc 且 2 bac 求证 2 f af cf b 15 已知函数 f x的定义域为 R 对任意实数 m n都有 f mnf mf n 且当0 x 时 0 1f x 1 证明 0 1 0fx 且时 f x 1 2 证明 f x在 R 上单调递减 3 设 A 22 1 x yf xf yf B 2 1 x yf axyaR 若AB 试确定a的取值范 围 16 已知函数 f x是定义在 R 上的增函数 设 F xf xf ax 5 1 用函数单调性的定义证明 F x是 R 上的增函数 2 证明 函数y F x的图象关于点 0 2 a 成中心对称图形 17 已知函数 f x是定义域为 R 的奇函数 且它的图象关于直线1x 对称 1 求 0 f的值 2 证明 函数 f x是周期函数 3 若 01 f xxx 求当xR 时 函数 f x的解析式 并画出满足条件的函数 f x至少一个周 期的图象 18 函数 f x对于 x 0 有意义 且满足条件 2 1 ff xyf xf yf x 是减函数 1 证明 1 0f 2 若 3 2f xf x 成立 求 x 的取值范围 19 设函数 f x在 上满足 2 2 fxfx 7 7 fxfx 且在闭区间 0 7 6 上 只有 1 3 0ff 1 试判断函数 yf x 的奇偶性 2 试求方程 f x 0 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 20 已知函数f x 对任意实数x y 均有f x y f x f y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 求f x 在区间 2 1 上的值域 21 已知函数f x 对任意 满足条件f x f y 2 f x y 且当x 0 时 f x 2 f 3 5 求不等式的解 参考答案 参考答案 7 1 解 令 1 x 1 2 x x 得 f x f 1 f x 为了求 f 1 的值 令 1 x 1 2 x 1 则 f 1 f 1 f 1 即 f 1 0 再令 1 x 2 x 1 得 f 1 f 1 f 1 2f 1 f 1 0 代入 式得 f x f x 可得 f x 是一个偶函数 2 分析 根据函数的定义域 m m 2 2 但是 1 m 和 m 分别在 2 0 和 0 2 的哪个区间 内呢 如果就此讨论 将十分复杂 如果注意到偶函数 则 f x 有性质 f x f x f x 就可 避免一场大规模讨论 解 f x 是偶函数 f 1 m f m 可得 1 mfmf f x 在 0 2 上是单调递减的 于是 20 210 1 m m mm 即 22 212 21 22 m m mmm 化简得 1 m0 令0 2xy 得 2 0 0 0 1fff 2 任取任取 1212 x xRxx 且 则令 1122 11 33 xp xp 故 12 pp 函数 f x的定义域为 R 并满足以下条件 对任意xR 有 f x 0 对任意 x yR 有 yf xyf x 1 1 3 f 12 1212 1111 3333 pp f xf xfpfpff 0 12 f xf x 函数 f x是 R 上的单调减函数 3 由 1 2 知 0 1f bf 1f b ac bb ac f af bf bf cbf b bb 2 a c ac b bb f af cf bf bf b 而 2 222acacbb 2 2 2 2 a cb bb f bf bf b 2 f af cf b 15 1 证明 令0 1mn 则 0 1 0 1 fff 当0 x 时 0 1f x 故 1 0f 0 1f 当0 x 时 0 1f x 当0 x 时 0 x 则 0 1 1 f fxxfxf xf x fxfx 2 证明 任取 1212 x xRxx 且 则 11 2121112111 f xf xfxxxf xf xxf xf x 211 1 f xxf x 21 0 xx 0 21 0 1f xx 故 21 1f xx 0 F x是 R 上的增函数 2 设 00 M xy为函数y F x的图象上任一点 则点 00 M xy关于点 0 2 a 的对称点为 N m n 则 00 0 222 xmyna 故 00 max ny 把 0 max 代入 F xf xf ax 得 0000 f axf aaxf axf x 0 y 函数y F x的图象关于点 0 2 a 成中心对称图形 17 1 解 f x为 R 上的奇函数 对任意 xR 都有 fxf x 令0 x 则 0 0 ff 12 0 f 0 2 证明 f x为 R 上的奇函数 对任意 xR 都有 fxf x f x的图象关于直线1x 对称 对任意 xR 都有 1 1 fxfx 用1x 代x得 2 1 1 fxfxfxf x 2 2 2 fxf xf xf x 即 4 fxf x f x是周期函数 4 是其周期 3 当 1 3x 时 11 2 13 xx f x xx 当4141kxk 时 4f xxk kZ 当4143kxk 时 24f xxk kZ 4 4141 24 4143 xkkxk f xzR xkkxk 图象如下 y 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x 18 1 证明 令1xy 则 1 1 1 1 fff 故 1 0f 2 2 1f 令2xy 则 2 2 2 2 2fff 4 2f 3 2f xf x 22 3 4 3 4 3414f x xff xxfxxx 3 2f xf x 成立的 x 的取值范围是13x 19 解 1 由 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 得函数 xfy 的对称轴为72 xx和 13 从而知函数 xfy 不是奇函数 由 14 4 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf 10 xfxf 从而知函数 xfy 的周期为10 T 又0 7 0 0 3 fff而 故函数 xfy 是非奇非偶函数 2 由 14 4 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf 10 xfxf 又0 9 7 13 11 0 0 3 ffffff 故 f x 在 0 10 和 10 0 上均有有两个解 从而可知函数 xfy 在 0 2005 上有 402 个解 在 2005 0 上有 400 个解 所以函数 xfy 在 2005 2005 上有 802 个解 20 解 设 当 即