第二章 第四节

第四节函数的图象1描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)(3)描点、连线2函数图象的变换(1)平移变换yf(x)的图象yf(xa)的图象；yf(x)的图象yf(x)b的图象(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象yf(ax)的图象；yf(x)的图象yaf(x)的图象(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同()(2)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称()(3)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()答案：(1)(2)(3)2下列图象是函数y的图象的是()答案：C3函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1Bex1Cex1 Dex1解析：选D与曲线yex关于y轴对称的图象对应的解析式为yex，将函数yex的图象向左平移1个单位长度即得yf(x)的图象，f(x)e(x1)ex1，故选D.4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)log f(x)的定义域是_解析：当f(x)0时，函数g(x)log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2,8答案：(2,85若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：由题意得a|x|x，令y|x|x其图象如图所示，故要使a|x|x只有一个解，则a0.答案：(0，)考什么怎么考作为函数关系的一种重要表示方法，函数图象的识辨是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中，得分较易.考法(一)根据函数解析式或图象识辨函数图象1函数f(x)1log2x与g(x)x在同一直角坐标系下的图象大致是()解析：选B因为函数g(x)x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A、D.因为f(x)1log2x的图象是由ylog2x的图象上移1个单位长度得到的，所以f(x)为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C，选B.2(2017全国卷)函数y的部分图象大致为()解析：选C令函数f(x)，其定义域为x|x2k，kZ，又f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；因为f(1)0，f()0，故排除A、D，选C.3已知定义在区间0,4上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为()解析：选D法一：先作出函数yf(x)的图象关于y轴的对称图象，得到yf(x)的图象；然后将yf(x)的图象向右平移2个单位，得到yf(2x)的图象；再作yf(2x)的图象关于x轴的对称图象，得到yf(2x)的图象故选D.法二：先作出函数yf(x)的图象关于原点的对称图象，得到yf(x)的图象；然后将yf(x)的图象向右平移2个单位，得到yf(2x)的图象故选D.题型技法1知式选图的2种常用方法方法特殊点法函数的性质法定义特殊点法就是根据函数解析式的特点，结合函数的性质观察函数图象必过的某个特殊点，从而识别函数图象的一种方法性质检验法就是根据函数解析式分析函数的相关性质(如定义域、值域、单调性、奇偶性等)排除干扰项，从而确定正确选项的方法适用范围适用于由一些函数图象上存在特殊点的基本初等函数经过初步变换得到的函数图象的识别问题适用于对同一个坐标系中两类不同函数图象的判断或对由两类不同类型的函数组合而成的函数图象的识别解题思路找特殊点，根据已知函数的解析式，找出函数图象所经过的定点坐标看变换，将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数对应比较定选项，顺着图象变换展开，将得到的变换图象与所给选项对照定位函数，通过已知条件确定函数解析式的类型研究性质，分析所给函数的基本性质，常见的有单调性、奇偶性等排除选项，逐一排除不符合函数的基本性质的选项2利用函数图象的变换识图找出所给函数对应的基本初等函数并作出该函数的图象，然后利用平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换规则得出函数图象考法(二)根据实际背景、图形判断函数图象4.如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：选B当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x时，ff1，f2.21，f0时f(x)的正负等2函数图象变换问题的3个注意(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量(2)注意含绝对值符号的函数的对称性，如yf(|x|)与y|f(x)|的图象是不同的(3)分清条件“f(x1)f(x1)”与“f(x1)f(1x)”的区别，前者告诉函数的周期为2，后者告诉函数的图象关于直线x1对称函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.,常见的命题角度有：(1)研究函数的性质；(2)研究不等式；(3)研究方程根(零点)个数.(本章第八节讲)题点全练角度(一)研究函数的性质1已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析：选C将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减题型技法利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性角度(二)研究不等式2设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)解析：选D因为f(x)为奇函数，所以不等式0可化为0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以xf(x)0的解集为(1,0)(0,1)3若不等式(x1)20，且a1)在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为()A(1,2 B.C(1，) D(，2)解析：选A要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可当0a1时，如图，要使x(1,2)时，y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得10时，只有a0时才能满足|f(x)|ax，可排除B、C.当x0时，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax得x22xax.当x0时，不等式为00成立；当x0时，不等式等价为x2a.x22，a2.综上可知，a2,02设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析：由已知条件得f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时，0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的部分图象如图所示：由图象知正确，不正确；当3x4时，1x40在(1,3)上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选C作出函数f(x)的图象如图所示当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x；当x(1,3)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)7已知函数yf(x1)的图象过点(3,2)，则函数yf(x)的图象一定过点_解析：因为函数yf(x1)的图象过点(3,2)，所以函数yf(x)的图象一定过点(4,2)答案：(4,2)8如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集为_解析：令ylog2(x1)，作出函数ylog2(x1)图象如图由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1答案：x|1x19.如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_解析：当1x0时，设解析式为f(x)kxb(k0)，则得当1x0时，f(x)x1.当x0时，设解析式为f(x)a(x2)21(a0)，图象过点(4,0)，0a(42)21，a.故函数f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)10设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_解析：如图，作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)答案：1，)B级中档题目练通抓牢1(2018惠州三调)函数f(x)cos x(x且x0)的图象可能为()解析：选D函数f(x)cos x(x且x0)为奇函数，排除选项A、B；当x时，f(x)cos 2时，x220，所以F(x)0，排除C，故选B.4.(2018福建厦门双十中学期中)已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是()A. B(， )C. D( ，)解析：选B原命题等价于在x0时，只需m(0)e0ln a0，解得0a；当a0时，x趋于，m(x)0，即m(x)0在(，a)上有解综上，实数a的取值范围是(，)5.如图所示，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体的表面相交于M，N两点设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()解析：选B设正方体的棱长为1，显然，当P移动到体对角线BD1的中点E时，函数yMNAC取得唯一的最大值，所以排除A、C；当P在BE上时，分别过M，N，P作底面的垂线，垂足分别为M1，N1，P1，则yMNM1N12BP12xcosD1BDx，是一次函数，所以排除D.故选B.6已知函数yf(x1)的图象过点(3,2)，则函数yf(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点_解析：因为函数yf(x1)的图象过点(3,2)，所以函数yf(x)的图象一定过点(4,2)，所以函数yf(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点(4，2)答案：(4，2)7.如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_解析：当1x0时，设解析式为f(x)kxb(k0)，则得当1x0时，f(x)x1.当x0时，设解析式为f(x)a(x2)21(a0)，图象过点(4,0)，0a(42)21，a.故函数f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)8设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_解析：如图，作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)答案：1，)9已知函数f(x)|x|(xa)，a0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x0,1时，由图象写出f(x)的最小值解：(1)f(x)其图象如图所示(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(，0)，；单调递减区间是.(3)由图象知，当1，即a2时，f(x)minf(1)1a；当01，即0a2时，f(x)minf.综上，f(x)min10已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P(x,2y)在h(x)的图象上，即2yx2，yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.g(x)在(0,2上为减函数，10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立，a14，即a3，故实数a的取值范围是3，)B级拔高题目稳做准做1.已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个 B9个C8个 D7个解析：选A由函数yf(x)的周期为2，又当x1,1时，f(x)x2，g(x)|lg x|，在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象如图所示，可知交点共有10个2已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0 Bf(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0解析：选D函数f(x)的图象如图(实线部分)所示，且f(x)f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在0，)上是增函数又0|x1|x2|，所以f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)0.3.函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式0，在上ycos x0.由f(x)的图象知在上0，因为f(x)为偶函数，ycos x也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.答案：4已知函数f(x)g(x)|xk|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，则实数k的取值范围为_解析：对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，即f(x)maxg(x)min.观察f(x)的图象可知，当x时，函数f(x)max.因为g(x)|xk|x1|xk(x1)|k1|，所以g(x)min|k1|，所以|k1|，解得k或k.故实数k的取值范围是.答案：5若关于x的不等式4ax10，且a1)对于任意的x2恒成立，求a的取值范围解：不等式4ax13x4等价于ax11时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0a0在R上恒成立，求m的取值范围解：(1)令F(x)|f(x)2|2x2|，G(x)m，画出F(x)的图象如图所示由图象可知，当m0或m2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0m0)，H(t)t2t，因为H(t)2在区间(0，)上是增函数，所以H(t)H(0)0.因此要使t2tm在区间(0，)上恒成立，应有m0，即所求m的取值范围为(，0A组1下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的是()AyexBycos xCy|x|1 Dy解析：选C显然选项A、D中的函数均是非奇非偶函数，选项B中的函数是偶函数但在(0，)上不是单调递增函数，选项C正确2已知定义域为a4,2a2的奇函数f(x)2 018x3sin xb2，则f(a)f(b)的值为()A0 B1C2 D不能确定解析：选A奇函数的定义域关于原点对称，则a42a20，a2，又f(x)为奇函数，故b20，b2，f(a)f(b)f(2)f(2)0.3函数f(x)的图象大致是()解析：选D由f(x)f(x)可得f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，而x(0,1)时，ln |x|0，f(x)2且当x2，)时，F(x)的图象与函数yex1的图象关于yx对称，e1ex1，x1，F(e1)1，F(1)F(e1)e2.5已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且当1x1，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(4)f(log4)f(2)(3a1)(2)4a1，解得a，所以实数a的取值范围是.答案：8已知函数f(x)4x1，g(x)4x.若偶函数h(x)满足h(x)mf(x)ng(x)(其中m，n为常数)，且最小值为1，则mn_.解析：由题意，h(x)mf(x)ng(x)m4xmn4x，h(x)m4xmn4x，h(x)为偶函数，h(x)h(x)，mn，h(x)m(4x4x)m.4x4x2，h(x)min3m1，m，mn.答案：9已知函数f(x).(1)设g(x)f(x2)，判断函数yg(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数解：(1)函数yg(x)为偶函数，证明如下：因为f(x)，所以g(x)f(x2).因为g(x)g(x)，又因为g(x)的定义域为x|x1且x1，所以yg(x)是偶函数(2)证明：设x1，x22,3)且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1，x22,3)且x1x2，所以x1x20，(x11)(x13)(x21)(x23)0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)1)的性质判断正确的是()A为偶函数，在(0，)上是增函数B为奇函数，在(，)上是增函数C为偶函数，在(0，)上是减函数D为奇函数，在(，)上是减函数解析：选B函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数当a1时，函数yax是增函数，yax是减函数，所以f(x)(a1)是增函数2已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x3,4时，f(x)ln x，则()AffCf(sin 1)f解析：选C由题意得f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，f(x)在3,4上是增函数，函数f(x)在1,0上是增函数，在0,1上是减函数，0cos 1sin 11，f(sin 1)f(cos 1)3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x3 Bf(x)x3Cf(x)x3 Df(x)x3解析：选A由图可知，函数图象的渐近线为x，排除C、D，又函数f(x)在，上单调递减而函数y在，上单调递减，yx3在R上单调递减，则f(x)x3在，上单调递减，故选A.4函数f(x)sin(cos x)的大致图象为()解析：选B由f(x)sincos(x)sin(cos x)sin(cos x)f(x)，可知函数f(x)为奇函数，排除A；由f(0)0，排除D；由f0；排除C，故选B.5能够把圆O：x2y216的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()Af(x)exex Bf(x)lnCf(x)tan Df(x)4x3x解析：选A因为B、C、D中的三个函数均是奇函数，所以其函数图象均关于原点对称且图象过原点，而圆O：x2y216是中心对称图形且关于原点对称，所以B、C、D中的三个函数的图象均能将圆O：x2y216的周长和面积同时分为相等的两部分，因此B、C、D中的三个函数都是“和谐函数”故选A.6已知函数f(x)满足f(x2)f(x)，且其图象关于直线x1对称，若f(x)0在0,1内有且中有一个根x，则f(x)0在区间0,2 018内根的个数为()A1 008 B1 009C2 017 D2 018解析：选D由题意，函数f(x)的周期是2，且图象关于直线x1对称，由f(x)0在0,1内有且只有一个根x，即f0，可得f0，故f(x)在一个周期内有且只有2个根，从而得到f(x)0在区间0,2 018内根的个数为2 018.7设函数f(x)x2x的定义域是n，n1，nN，那么f(x)的值域中整数的个数为_解析：因为f(x)x2x2，所以f(x)在n，n1上单调递增，即f(x)f(n)，f(n1)又f(n1)f(n)(n1)2(n1)(n2n)2n2，而区间端点的函数值都为整数，所以值域中有(2n3)个整数答案：2n38对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间a，bD和常数c，使得对任意x1a，b，都有f(x1)c，且对任意x2D，当x2a，b时，f(x2)c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数给出下列结论：“平顶型”函数在定义域内有最大值；函数f(x)x|x2|为R上的“平顶型”函数；函数f(x)sin x|sin x|为R上的“平顶型”函数；当t时，函数f(x)是区间0，)上的“平顶型”函数其中正确的是_(填上所有正确结论的序号)解析：由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1a，b，都有f(x1)c，且对任意x2D，当x2a，b时，f(x2)c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c，正确；对于函数f(x)x|x2|，当x2时，f(x)2，当x2时，f(x)2x21时，f(x)2，所以正确答案：9已知函数f(x)2x2x为偶函数(1)求f(x)的最小值；(2)若不等式f(2x)f(x)m恒成立，求实数m的最小值解：(1)法一：由题意得2x2x2x2x，1，f(x)2x2x，设0x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x1(2 x 22x 2)0，f(x1)0，2x2，当且仅当2x，即x0时，等号成立，f(x)的最小值为2.(