2005年湖南省数学竞赛试卷.doc

2005年湖南省数学竞赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、 选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1命题甲：；命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2，如果圆至少覆盖函数的一个最大点和一个最小点，则正整数的最小值为（ ） A B C D 3如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ）A B C D 4对于 函数，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ）A B C D5函数的图象为，而关于直线对称的图象为，将向左平移1个单后得到的图象为，则所对应的函数为（ ）A B C D6当是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ） A B C D 7记，若，则的值为（ ） A B C D 8某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（ ）A B C D 9若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（ ）A B C D10一套重要资料锁在一个保险柜中，现有把钥匙依次分给名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为（ ）A B C D 二、填空题：(本小题共4小题，每小题6分，共24分，把答案填在题中横线上)11设，对于函数满足条件，那么对所有的，_;12一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_;13一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为_;14集合中的元素是正整数，且有性质：若，这样的集合共有_个。三、解答题：（本大题5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15（本小题满分12分）数列满足，试求的值。16（本小题满分12分）已知是面积为1的三角形的 边上的任意一点，是边上任意一点，连结，是线段上的任意一点，设且，试求三角形的面积的最大值。17（本小题满分12分）过点作一条直线和分别相交于两点，试求的最大值。（其中为坐标原点）18（本小题满分16分）若正数满足求证19（本小题满分14分）从岳阳到郴州的快速列车包括起始和终点共有六站，将这六站分别记为A,B,C,D,E,F,有一天张兵和其他18位旅客乘同一车厢离开岳阳，这些人中有些是湖北人，其他的是湖南人，认识所有同车厢旅客的张兵观测到：除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢上的湖南人的数目与下车旅客的数目相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢。张兵又进一步观测到，当火车离开车站时，车厢内有12名旅客；当火车离开车站时，还有7名旅客在这一车厢内；当他准备在站下车时，还有5名旅客在这一车厢内。试问开始时火车的这一节车厢有多少湖北人，有多少湖南人？且在旅途中这些数目如何变化？2005年湖南省数学竞赛试卷（参考答案）一：选择题1 B 提示：从原命题的等价命题逆否命题来考虑2 B 提示：因为为奇函数，图象关于原点对称，所以圆只要覆盖的一个最值点即可，令，解得距原点最近的一个最大点，由题意得正整数的最小值为23C 提示：由，消去得，所以4. D 提示：将代替式中的，则有于是，可得，所以5B 提示：,6. B 提示：当时，而7C 提示：令，则答案为48A 提示：设第辆车装货物箱，由题意得：，实际象以4为周期的数列，答案为9B 提示：由2，3，5的最小公倍数为30，由2，3，5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个，所以由2。3。5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿国的小长方体的个数应为3的倍数，故答案为B10C 提示：当=2时，打开柜门需要的次数为，故答案为C 或已知每一位学生打开柜门的概率为，所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为，故答案为C 二、 填空题：11用换元法可得12可解得对称轴方程为，由得，所以13，提示：可把正四面体变为正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为于是球的半径为，1463个 提示：记，故满足条件的集合为个三、 解答题：15解：因为，所以所以，故16解：连结，则三角形的面积为由均值不等式，得，当且仅当即时等号成立，所以三角形的面积的最大值为。17解：过点作一圆与轴、轴分别相切于点A、B，且使点在优弧AB上，则圆的方程为，于是过点作圆的切线和轴、轴分别相交于两点，圆为的内切圆，故若过点的直线不和圆相切，则作圆的平行于的切线和轴、轴分别相交于两点，则由折线的长大于的长及切线长定理，得所以，的最大值为6。18证明：由条件，有，令；则，从而原条件可化为： 令则，解得，故19解：由条件得在B站有7人下车，即19个旅客中有7个湖南人，在E站有2人下车，即在DE途中有2位湖南人，CD中至少有2位湖南人，在D站至少有2人下车，所以C站后车厢内至少有9个人，又因为，所以BC途