高三数学一轮复习精品课件：命题及其关系、充分条件与必要条件.ppt

第2课时命题及其关系 充分条件与必要条件 1 命题用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句叫作命题 其中判断为真的语句叫作 判断为假的语句叫作 基础知识梳理 真命题 假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题若原命题为 若p 则q 则其逆命题是 否命题是 逆否命题是 基础知识梳理 若q 则p 若 p 则 q 若 q 则 p 否命题 与 命题的否定 有何不同 思考 提示 否命题 与 命题的否定 是两个不同的概念 如果原命题是 若p 则q 那么这个原命题的否定是 若p 则非q 即只否定结论 而原命题的否命题是 若 p 则 q 即既否定命题的条件 又否定命题的结论 基础知识梳理 思考 2 四种命题间的关系 基础知识梳理 3 充要条件 1 若p q且q p 则p是q的条件 q是p的条件 若p q且q p 则p是q的条件 q也是p的条件 2 若a b为两个集合 满足a b 设a x p x b x q x 则p是q的条件 q是p的条件 若a b 则p是q的条件 基础知识梳理 充分不 必要 必要不充分 充分必要 充分必要 充分不必要 必要不充分 充分必要 1 下列命题是假命题的是 a 若ac2 bc2 则a bb 5 3c 若m n 则lnm lnnd 若sin sin 则 的逆命题答案 c 三基能力强化 2 2009年高考湖南卷改编 对于非零向量a b a 2b 0 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件答案 a 三基能力强化 3 教材习题改编 命题 若a2 b2 0 a b r 则a b 0 的逆否命题是 a 若a b 0 a b r 则a2 b2 0b 若a b 0 a b r 则a2 b2 0c 若a 0且b 0 a b r 则a2 b2 0d 若a 0或b 0 a b r 则a2 b2 0答案 d 三基能力强化 4 a 1是直线y ax 1与y a 2 x 3垂直的 条件 答案 充要 三基能力强化 5 下列命题 若一个整数的末尾数字为0 则这个整数能被5整除 奇函数的图象关于原点中心对称 矩形的对角线相等 其逆否命题为真命题的序号为 答案 三基能力强化 1 判断命题的真假 可先写出命题 分清条件与结论 直接判断 2 如果不易判断 可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来判断 课堂互动讲练 课堂互动讲练 判断下列语句是否是命题 若是 判断其真假 并说明理由 1 矩形难道不是平行四边形吗 2 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗 3 一个数不是合数就是质数 4 大角所对的边大于小角所对的边 5 x y是有理数 则x y也都是有理数 6 求证 x r 方程x2 x 1 0无实数根 课堂互动讲练 思路点拨 根据命题 真命题 假命题的概念进行判定 解 1 通过反意疑问句 对矩形是平行四边形作出判断 是真命题 2 疑问句 没有对垂直于同一直线的两条直线平行作出判断 不是命题 3 是命题 是假命题 1不是合数也不是质数 4 是命题 是假命题 没有考虑到必须在同一个三角形中 5 是命题 是假命题 若x y 6 祈使句 不是命题 课堂互动讲练 名师点评 判断一个语句是否是命题 关键在于能否判断其真假 一般地 陈述句 反意疑问句是命题 而感叹句 祈使句 疑问句都不是命题 含有变量的语句叫开语句 不能判断真假的开语句也不是命题 课堂互动讲练 在判断四种命题之间的关系时 首先要分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相应地有了它的 逆命题 否命题 和 逆否命题 课堂互动讲练 课堂互动讲练 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 面积相等的两个三角形是全等三角形 2 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 3 若x2 y2 0 则实数x y全为零 4 若x y都是奇数 则x y是偶数 课堂互动讲练 思路点拨 写成 若p 则q 的形式 写出逆命题 否命题 逆否命题 判断真假 解 1 逆命题 全等三角形的面积相等 真命题 否命题 面积不相等的两个三角形不是全等三角形 真命题 逆否命题 两个不全等的三角形的面积不相等 假命题 2 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 真命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 真命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 真命题 课堂互动讲练 3 逆命题 若实数x y全为零 则x2 y2 0 真命题 否命题 若x2 y2 0 则实数x y不全为零 真命题 逆否命题 若实数x y不全为零 则x2 y2 0 真命题 课堂互动讲练 4 逆命题 若x y是偶数 则x y都是奇数 是假命题 否命题 若x y不都是奇数 则x y不是偶数 是假命题 逆否命题 若x y不是偶数 则x y不都是奇数 是真命题 课堂互动讲练 名师点评 1 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 因为 x y不都是奇数 包含 x是奇数y不是奇数 x不是奇数y是奇数 x y都不是奇数 三种情况 2 x 0或y 0 的否定是 x 0且y 0 而不是 x 0或y 0 因为 x 0或y 0 包含 x 0且y 0 x 0且y 0 x 0且y 0 三种情况 课堂互动讲练 判断一个命题是另一个命题的什么条件 关键是利用定义 如果p q 则p叫做q的充分条件 原命题 或逆否命题 成立 命题中的条件是充分的 也可称q是p的必要条件 如果q p 则p叫做q的必要条件 逆命题 或否命题 成立 命题中的 课堂互动讲练 课堂互动讲练 条件为必要的 也可称q是p的充分条件 如果既有p q 又有q p 记作p q 则p叫做q的充分必要条件 简称充要条件 原命题和逆命题 或逆否命题和否命题 都成立 命题中的条件是充要的 课堂互动讲练 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 1 p a b 2 q 直线x y 0与圆 x a 2 y b 2 2相切 2 p x x q x2 x 0 3 设l m均为直线 为平面 其中l m p l q l m 课堂互动讲练 思路点拨 1 先分清命题的条件与结论 2 分析由前者能否推出后者 由后者能否推出前者 也可利用反例来推证 解 1 若a b 2 圆心 a b 到直线x y 0的距离d r 所以直线与圆相切 反之 若直线与圆相切 则 a b 2 a b 2 故p是q的充分不必要条件 课堂互动讲练 2 若 x x 则x2 x x2 x 0成立 反之 若x2 x 0 即x x 1 0 则x 0或x 1 当x 1时 x x x 因此 p是q的充分不必要条件 3 l l m 但l m l p是q的必要不充分条件 课堂互动讲练 且 时 tan tan 反之也成立 p是q的充要条件 课堂互动讲练 名师点评 1 要分清充分性和必要性 2 注意两种说法 p是q的必要不充分条件 与 q的必要不充分条件是p 是等价的 3 从集合的角度理解 小范围可以推出大范围 大范围不能推出小范围 课堂互动讲练 解 1 若a b 2 圆心 a b 到直线x y 0的距离d r 所以直线与圆相切 若直线与圆相切 则 a b 2 a b 2 故q是p的必要不充分条件 课堂互动讲练 互动探究 例3中其他条件不变 q是p的什么条件 2 若 x x 则x2 x x2 x 0成立 若x2 x 0 即x x 1 0 则x 0或x 1 当x 1时 x x x 因此 q是p的必要不充分条件 3 l l m l m l q是p的充分不必要条件 课堂互动讲练 课堂互动讲练 证明分为两个环节 一是充分性 二是必要性 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该进行由条件到结论 由结论到条件的两次证明 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 求证方程ax2 2x 1 0有且只有一个负数根的充要条件为a 0或a 1 思路点拨 1 注意讨论a的不同取值情况 2 利用根的判别式求a的取值范围 课堂互动讲练 证明 充分性 当a 0时 方程变为2x 1 0 其根为x 方程只有一负根 2分当a 1时 方程为x2 2x 1 0 其根为x 1 方程只有一负根 4分当a 0时 4 1 a 0 方程有两个不相等的根 且 0 方程有一正一负根 6分 必要性 若方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根 当a 0时 适合条件 当a 0时 方程ax2 2x 1 0有实根 则 4 4a 0 a 1 8分当a 1时 方程有一负根x 1 课堂互动讲练 若方程有且仅有一负根 则 a 0 综上 方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根的充要条件为a 0或a 1 12分 课堂互动讲练 思维总结 1 条件已知证明结论成立是充分性 结论已知推出条件成立是必要性 2 证明时易出现必要性与充分性混淆的情形 这就要分清哪是条件 哪是结论 课堂互动讲练 本题满分10分 求证 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负实根的充要条件是m 2 证明 1 充分性 因为m 2 所以 m2 4 0 方程x2 mx 1 0有实根 设x2 mx 1 0的两个实根为x1 x2 由根与系数的关系知x1x2 1 0 所以x1 x2同号 又因为x1 x2 m 2 所以x1 x2同为负根 4分 课堂互动讲练 高考检阅 2 必要性 因为x2 mx 1 0的两个实根x1 x2均为负 且x1x2 1 所以m 2 x1 x2 2 x1 2 0 8分所以m 2 综合 1 2 知命题得证 10分 课堂互动讲练 1 四种命题间的关系在判断四种命题之间的关系时 首先要分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 并注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相应地