九年级数学下册 第2章二次函数 2.2 二次函数的图象与性质第1课时课件 湘教版

2 2二次函数的图象与性质第1课时 1 探索二次函数y ax2的图象的作法 重点 2 根据二次函数y ax2的图象理解y ax2的性质 图象的形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 开口大小等 重点 3 能应用二次函数y ax2的性质解决相关问题 难点 观察函数y x2 y x2 y 2x2 y x2 y x2和y 2x2的图象 找出它们的异同点 1 函数y ax2 a 0 的图象是一条抛物线 它关于 轴对称 它的顶点坐标是 2 由y x2 y x2 y 2x2的图象 可知 当a 0时 抛物线y ax2开口 顶点是抛物线上位置 的点 a越大 抛物线的开口越 3 类似地 由y x2 y x2和y 2x2的图象 可知 当a 0时 抛物线y ax2开口 顶点是抛物线上位置 的点 a 越大 抛物线的开口越 y 0 0 向上 最低 小 向下 最高 小 总结 1 二次函数y ax2的图象及其性质 1 图象 y ax2 a 0 的图象是一条 这条 叫做抛物线 2 对称性 抛物线y ax2关于 对称 3 开口方向 当a 0时 抛物线y ax2开口 当a 0时 抛物线y ax2开口 曲线 曲线 y轴 向上 向下 4 顶点 抛物线与 的交点 叫做抛物线的顶点 抛物线y ax2的顶点是 当a 0时 顶点是抛物线上位置 的点 当x 0时 函数值最小 当a0时 左 右 当a 0时 左 右 6 开口大小 a 越大 抛物线的开口越 对称轴 原点 最低 最高 降 升 升 降 小 2 二次函数y ax2与y ax2 a 0 的关系 1 抛物线y ax2与y ax2关于 轴对称 2 抛物线y ax2与y ax2关于 成中心对称 x 原点 1 二次函数y 2x2的图象与x轴无交点 2 二次函数y 3x2的图象是左降右升 3 二次函数y 5x2的最大值为0 4 二次函数y 2x2与y x2的图象关于x轴对称 5 二次函数y x2的图象关于y轴对称 知识点1二次函数y ax2的图象与性质 例1 函数y m 2 是关于x的二次函数 求 1 满足条件的m的值 2 m为何值时 抛物线有最低点 求出这个最低点 这时当x为何值时 y随x的增大而增大 3 m为何值时 抛物线的开口向下 这时当x为何值时 y随x的增大而减小 解题探究 1 函数是二次函数的条件是自变量的最高次数是 二次项的系数不为 由此得到关于m的方程组是解得m 或m 2 若抛物线有最低点 则抛物线的开口 所以二次项的系数 零 由此确定符合条件的m值是 在对称轴的 侧 即x 0时 y随x的增大而增大 2 0 2 3 向上 大于 2 右 3 二次项的系数满足什么条件时 抛物线的开口向下 由此确定符合条件的m值是多少 在对称轴的哪一侧 y随x的增大而减小 提示 二次项的系数小于零时 抛物线的开口向下 所以 符合条件的m的值为 3 在对称轴的右侧 即x 0时 y随x的增大而减小 总结提升 二次函数y ax2的 两关系四对等 1 a 0 开口向上 有最小值 x 0时 y随x的增大而增大 右升 x 0时 y随x的增大而减小 左降 2 a 0 开口向下 有最大值 x 0时 y随x的增大而减小 右降 x 0时 y随x的增大而增大 左升 知识点2求二次函数y ax2的解析式 例2 2013 山西中考 如图是我省某地一座抛物线形拱桥 桥拱在竖直平面内 与水平桥面相交于a b两点 桥拱最高点c到ab的距离为9m ab 36m d e为桥拱底部的两点 且de ab 点e到直线ab的距离为7m 则de的长为m 思路点拨 以c为坐标原点 取向右 向上分别为x轴 y轴正方向 建立坐标系 设出函数解析式 把点b坐标代入 确定解析式 令y 16 求出对应x值 求出de的长 自主解答 以顶点c为坐标原点 建立如图所示的坐标系 设抛物线解析式为y ax2 由题意得b 18 9 把b 18 9 代入y ax2 得a 182 9 a 所以抛物线解析式为y 当y 9 7 16时 16 x 24 de 48m 答案 48 总结提升 解二次函数y ax2的应用题的三步骤 题组一 二次函数y ax2的图象与性质1 下列函数中 当x 0时 函数值y随x的增大而增大的有 y 3x y x 3 y y x2 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选c 当x 0时 函数值y随x的增大而增大的是 函数值y随x的增大而减小的是 所以函数值y随x的增大而增大的有3个 2 关于抛物线y x2的性质错误的是 a 经过点 2 4 b 对称轴是y轴c 与抛物线y x2的开口大小一样d 与y轴不相交 解析 选d 当x 2时 y 4 抛物线经过点 2 4 a选项正确 a 1 0 抛物线的对称轴是y轴 与y轴交于点 0 0 与抛物线y x2的开口大小一样 选项b c正确 d选项错误 3 如图 四个二次函数的图象中 分别对应的关系式是 y ax2 y bx2 y cx2 y dx2 则a b c d的大小关系是 a a b c db a b d cc b a c dd b a d c 解析 选a 由图象可知a 0 b 0 cb 0 d c 0 4 2013 丽水中考 若二次函数y ax2的图象经过点p 2 4 则该图象必经过点 a 2 4 b 2 4 c 4 2 d 4 2 解析 选a 二次函数y ax2的图象的对称轴为直线x 0 即图象上的点关于y轴对称 又点p 2 4 与点 2 4 关于y轴对称 所以点 2 4 必在函数图象上 5 已知点 m y1 m 3 y2 都在抛物线y x2上 且m y2 答案 题组二 求二次函数y ax2的解析式1 已知点 a 8 在二次函数y ax2的图象上 则a的值是 a 2b 2c 2d 解析 选a 把点 a 8 代入二次函数解析式得8 a3 所以a 2 2 二次函数y ax2与y 2x2的图象 开口大小 形状都相同 开口方向相反 则a 解析 由题意得 a 2 因为二次函数y ax2的图象开口向下 所以a 2 答案 2 3 汽车刹车距离s m 与速度v km h 之间的函数关系式是s v2 在一辆车速为100km h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车 此时刹车 有危险 选填 会 或 不会 解析 把v 100代入函数关系式得s 100 80 所以此时刹车会有危险 答案 会 4 如图所示 已知抛物线的顶点为坐标原点o 矩形abcd的顶点a d在抛物线上 且ad平行于x轴 交y轴于点f ab的中点e在x轴上 b点的坐标为 2 1 点p a b 在抛物线上运动 点p异于点o 1 求此抛物线的解析式 2 过点p作cb所在直线的垂线 垂足为点r 求证 pf pr 解析 1 由题意可得 点a的坐标为 2 1 抛物线的顶点为坐标原点o 可设抛物线的解析式为 y ax2 将点a 2 1 代入可得 4a 1 解得a 抛物线的解析式为y x2 2 如图 过点p作pg y轴 垂足为g 连结pf 由题意可知 f 0 1 g 0 b r a 1 gf b 1 b 1 pg a pr 1 b 点p a b 为抛