高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 第2课时 圆的一般方程学案 苏教版必修2.doc

2.2.1 第2课时圆的一般方程1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(易错点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点、难点)基础初探教材整理圆的一般方程的定义阅读教材p109，完成下列问题1圆的一般方程的定义(1)当d2e24f0时，方程x2y2dxeyf0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当d2e24f0时，方程x2y2dxeyf0表示点.(3)当d2e24f0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点m在圆外xydx0ey0f0点m在圆上xydx0ey0f0点m在圆内xydx0ey0f0.()2圆x2y22x4y30化为标准形式为_【解析】由x2y22x4y30，得(x1)2(y2)22.故圆的标准形式为(x1)2(y2)22.【答案】(x1)2(y2)223方程x2y24x2y5m0表示圆的条件是_【解析】由题意可知，16(2)220m0，解得m1.【答案】(，1)小组合作型二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径(1)2x2y27x50；(2)x22xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y24y0；(5)ax2ay24(a1)x4y0(a0)【精彩点拨】根据二元二次方程表示圆的条件判断【自主解答】(1)ab，不能表示圆(2)xy前的系数不等于0，不能表示圆(3)d2e24f(2)2(4)24100，原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r.法二：a0，原方程可化为x2y2xy0.d2e24f0，原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r.形如x2y2dxeyf0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断d2e24f是否为正若d2e24f0，则方程表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆 再练一题1讨论方程x2y22ay10(ar)表示曲线的形状【解】当a1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，a)，半径为的圆；当a1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，a)；当1a0)此圆过a，b，c三点，解得圆的方程为x2y24x4y20.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则，得解得a2，b2.r210.圆的方程为(x2)2(y2)210.即圆的一般式方程为x2y24x4y20.法三：ab的中垂线方程为y1(x0)，bc的中垂线方程为y2(x2)，联立解得圆心坐标为(2,2)设圆的半径为r，则r2(12)2(32)210，圆的方程为(x2)2(y2)210，即圆的一般式方程为x2y24x4y20.法四：由于kab2，kac，kabkac1，abac，abc是以a为直角的直角三角形，外接圆圆心为bc的中点，即(2,2)，半径r|bc|，圆的方程为(x2)2(y2)210.即圆的一般式方程为x2y24x4y20.(2)m(1,2)，12224142210，点n(4,5)在圆外q(2,3)，22324243270，点q(2,3)在圆外本题法一、法二中采用了待定系数法用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数d，e，f.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显(2)由圆的一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显(3) 再练一题2已知圆c：x2y2dxey30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程【解】圆心c，圆心在直线xy10上，10，即de2，又r，d2e220，由可得或又圆心在第二象限，0，圆的方程为x2y22x4y30.探究共研型轨迹问题探究1若|ab|2，c为ab的中点，动点p满足|pc|2，那么p点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？【提示】以ab所在直线为x轴，以c为原点建立直角坐标系，则c(0,0)，p点的轨迹是以c为圆心，半径为2的圆的方程为x2y24.探究2已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点a(0,2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线【提示】设点m(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：2.两边平方，得x2(y2)24.因为曲线在x轴上方，y0，所以曲线方程应是x2(y2)24(y0)曲线是圆心为(0,2)，半径为2的圆在x轴上方的部分(1)点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_(2)已知点a(3,0)，b(3,0)，动点p满足pa2pb.若点p的轨迹为曲线c，则此曲线的方程为_. 【精彩点拨】(1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可(2)设出点p的坐标，利用pa2pb得点p坐标的关系，化简即可【自主解答】(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点p连线的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以x12x4，y12y2，又(x1，y1)在圆x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.(2)设点p的坐标为(x，y)，则2.化简可得(x5)2y216，此即为所求【答案】(1)(x2)2(y1)21(2)(x5)2y216求与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式如上例(2)2定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程3相关点法：若动点p(x，y)随着圆上的另一动点q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点p的轨迹方程如上例(1) 再练一题3已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点a(3，5)的直线交圆的弦pq的中点m的轨迹方程【解】设所求轨迹上任一点m(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心c(3,3)cmam，kcmkam1，即1，即x2(y1)225.所求轨迹方程为x2(y1)225(已知圆内的部分)1圆x2y24x6y0的圆心坐标是_【答案】(2，3)2经过三点a(1，1)，b(1,4)，c(4，2)的圆的方程为_【解析】设圆的一般方程为x2y2dxeyf0.将a，b，c三点代入，整理得方程组解得所求圆的方程为x2y27x3y20.【答案】x2y27x3y203方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为_. 【解析】原方程可化为：(xa)2(yb)20.所以它表示点(a，b)【答案】(a，b)4圆c：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.【解析】圆心(1,2)到直线3x4y40的距离为3.【答案】35等腰三角形的顶点是a(4,2)，底边一个端点是b(3,5)，求另一个端点c的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【解】设另一端点c的坐标为(x，y)，依题意，得acab.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点a(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为a，b，c为三角形的三个顶点，所以a，b，c三点不共线