高三数学复习中数学思想方法的渗透.ppt

高三数学复习中数学思想方法的渗透 慈溪育才中学方建成 数学思想方法 数学思想方法是指数学思维方法 主要是逻辑方法 归纳 类比 演绎 分析 综合等 非逻辑方法和创造性思维 形象思维 灵感思维 审美直觉 反思维定势的思维方法等 高三数学复习中重视对数学思维方法的渗透是培养学生数学思维能力的需要 也是适应近几年数学高考越来越重视对数学思维能力考查的需要 1963年数学教学大纲首次提出培养 三大能力 到1978年又增加了 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 2002年又将原 逻辑思维能力 改为 数学思维能力 2003年 数学新课程标准 中将 注重学生的数学思维能力 作为课程的基本理念提出来 这一次的修改 决非搞文字游戏 而是事关本质 是认识上一次次的升华 从数学教学大纲修改过程得到启示 数学教学必需重视数学思想方法的渗透 数学思维方法的培养 数学思维方法是在学习数学和运用数学解决问题的过程中 不断的经历直观感知 观察发现 归纳类比 空间想象 抽象概括 符号表示 运算求解 数据处理 演绎证明 反思建构等思维过程中逐步获得 数学思维方法是数学素养的核心 在高三数学复习过程中 题海是茫茫无涯的 但数学思想方法是有限的 以有限的具体数学思想方法去攻克题海是提高数学复习效率的捷径 一 映射的思想方法 例题1 2008浙江高考t17 若且当时 恒有 则以a b为坐标的点p a b 所形成的平面区域的面积等于 方法 1 变换思想 区域变换为区域时 恒有成立 得到则点p a b 所形成的平面区域的面积等于1 方法 2 多元化归一元思想 由得到则对恒成立即对恒成立 令则得到则点p a b 所形成的平面区域的面积等于1 方法 3 换元思想 设 则 当时 时 当时 时 则点p a b 所形成的平面区域的面积等于1 例题2 2007江苏t10 在平面直角坐标系xoy中 已知平面区域 则平面区域的面积是 a 2b 1c 1 2d 1 4 变换的思想 设 则区域a的点 0 0 1 0 0 1 在矩阵的作用分别为 0 0 1 1 1 1 则 0 0 1 1 1 1 围成的三角形面积是1 如 08高考全国t21 设椭圆中心在坐标原点 是它的两个顶点 直线与ab相交于点d 与椭圆相交于e f两点 1 若 求的值 2 求四边形面积的最大值 1 依题设得椭圆的方程为直线的方程分别为 如图 设 其中且满足方程故 由知 得 由d在ab上知 得 所以 化简得 解得或 解法一 根据点到直线的距离公式和 式知 点e f到ab的距离分别为又 所以四边形的面积为当 即当时 上式取等号 所以的最大值为 解法二 由题设 设 由 得 故四边形aebf的面积为当时 上式取等号 所以的最大值为 解法三 变换思想方法 圆 经伸缩变换得 则此圆内接四边形aebf面积最大值是 所以椭圆内接四边形面积 二 以 不变应万变 的不变量思想 在数学学习过程中 如面积 长度 体积 离心率等量不因为坐标变换而变化 既然是不变量 则坐标选择不影响这些量 例题3 已知点p在内 且求凹四边形abpc的面积与的面积之比 建立平面直角坐标系 取正交单位向量则点b 1 0 c 0 1 p t s 凹四边形abpc的面积是 的面积是 则凹四边形abpc的面积与的面积之比为 如09高考调测题 已知 点p在直线ab上 则 a b c d 选直角坐标oa ob为x y轴得到点则点 则 三 归纳类比的思想方法 数学家波利亚说过 类比是伟大的引路人 求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的问题进行类比 无限与有限 不等与相等 等比与等差 直线与平面 面积与体积 圆周与球面 加法中 0 与除法中的 1 等等 都可作为类比来探究 例题4 n条直线最多将平面分成多少个区域 将直线用平面去类比 又将得到什么样的结论呢 即n个平面最多将空间分成多少个区域 设直线将平面最多分成的区域数为 再插入第2条直线记此直线与相交 在上产生1个交点 将分成2段 每一段将原区域一分为二 新增区域2个 插入第3条直线记 此直线与直线 相交产生2个交点 将分成3段 每段将原区域一分为二 新增区域数3个 数学表达式为 归纳推理 插入第n 1条直线 此直线与的n条直线相交 产生n个交点 将分成n 1段 每一段将原区域一分为二 新增区域n 1个 得到数学表达式 累加相消得 即设平面 它们将空间最多分成区域个归纳推理 插入第n 1个平面 这个平面与原来n个平面相交产生n条直线 这n条直线将平面分成最多个区域 平面 它们将原区域 空间 一分为二 新增区域 空间 个 所以 即 左边累加相消 右边公式求和得 验证 正四面体的各个面伸展后 将空间分成区域个 如 观察下列等式 可以推测 当k 2 k n 时 如 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 写出你认为正确的两个充要条件 四 待定常数法 待定的结构是 即 1 设 2 当方程 2 有等根时 求得m代入 1 取倒数 新数列成等差数列 当方程 2 有两个不同根时 将根代入 新数列成等比数列 例题5 数列 求 例6 已知函数 求 分析 由得 当时 即方程f m 0的根为 新数列是以为首项 公比是2的等比数列 待定常数m结构如下 如下2007年广东t21题的模式是待定常数m的结构 已知函数 是方程f x 0的根 1 求 2 证明 3 记 求数列的前n项和 例7 数列 满足 求 待定常数 结构如下 则 是方程之根 数列是以 为首项 公比是的等比数列 则同理从中消去 得 如下2008年广东t21题的模式是待定常数 的结构 设 为实数 是方程的两个实根 数列满足 1 证明 2 求数列 的通项公式 3 若 求的前项和 如09高考调测 矩阵与变换和坐标与参数方程 题 极坐标系中 极点o 曲线c 1 求直线的极坐标方程 2 记直线与曲线c交于a b两点 求大小 五 指数与下标 同步法 在数列问题求解中 指数与下标 同步法能提高解题的有效性 例8 已知正项数列 1 求 2 求并确定最小正整数n 使得为整数 分析结构 1 两边累加相消得 2 分析 由要使 指数与下标 同步 只要上式两边同除以得 累加相消求 另法 由待定常数m结构是 得m 1 则新数列是以为首项公比是2的等比数列 例9 已知数列 1 求 2 设数列 的前n项和为 求证 当然 为了减少难度可在 1 前插入一个小题 求证数列是等比数列