阿波罗尼斯圆问题.doc

阿波罗尼斯圆问题 一【问题背景】苏教版数学必修2P.112第12题：已知点与两个定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点所构成的曲线二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则又设，则由得， 两边平方并化简整理得， 当时，轨迹为线段的垂直平分线；当时，轨迹为以点为圆心，长为半径的圆 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理三、【范例】例1 满足条件的三角形的面积的最大值是 解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，由得，平方化简整理得，则，的最大值是变式 在中，边的中点为，若，则的面积的最大值是 解：以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，由知，的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为，设，的中点为得，所以点的轨迹方程为，即，故的最大值是例2 在平面直角坐标系中，设点，若存在点，使得，则实数的取值范围是 解：设，则 ，整理得，即动点在以为圆心，为半径的圆上运动另一方面，由知动点在线段的垂直平分线上运动，因而问题就转化为直线与圆有交点，所以，故实数的取值范围是例3 在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为 ，圆心在上.若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.解： 设，则圆方程为又设， ， 即这说明既在圆上，又在圆上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切， ，解得，即的取值范围是例4 已知和点.（1）过点向引切线，求直线的方程；（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的的方程；（3）设为（2）中上任一点，过点向引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线方程为 ，易得，解得， 切线方程为 （2）圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则 的方程为 （3）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，根据题意可得，即 （*），又点在圆上，即，代入（*）式得： 若系数对应相等，则等式恒成立，解得，可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；点的坐标为时，比值为 四、【练习】1如图，在等腰中，已知，边的中点为，点的轨迹所包围的图形的面积等于 解：，所以点的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为， 设，由边的中点为知，所以的轨迹方程为，即，面积为2如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，且，在平面上有一个动点，使得，求的面积的最大值 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点所满足的几何条件 ,在中, ，同理， ，这样就转化为题3的题型在平面上,以线段的中点为原点,所在的直线为轴,建立平面直角坐标系，则，设则有化简得:，的面积为，当且仅当等号取得，则的面积的最大值是3圆与圆的半径都是，过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.解：以，的中点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，PMNO1O2Oyx则，由已知得， 因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y），则， 即，此即P的轨迹方程.4已知定点，点是圆上任意一点，请问是否存在不同于的定点使