2012年中考压轴题强化训练4 图形的旋转、折叠(含答案)

0512 88601066 88601068 1 20122012 压轴题最后冲刺分类强化训练压轴题最后冲刺分类强化训练 4 4 图形变换之旋转 折叠图形变换之旋转 折叠 1 直角三角板 ABC 中 A 30 BC 1 将其绕直角顶点 C 逆时针旋转一个角 且 得到 Rt 0120 90 A B C 1 如图 当边经过点 B 时 求旋转角的度数 A B 2 在三角板旋转的过程中 边与 AB 所在直线交于点 D 过点 D 作 DE A C A B 交边于点 E 联结 BE CB 当时 设 AD BE 求与之间的函数解析式及自变090 xyyx 量 的取值范围 x 当时 求 AD 的长 1 3 BDEABC SS 解 1 在 Rt 中 A 30 ABC60ABC 由旋转可知 BCBC 60BABC BCB 为等边三角形 B BC BCB 60 2 当时 点 D 在 AB 边上 如图 090 DE A B CDCE CACB 由旋转性质可知 CA CB ACD BCE CA CB CDCE CACB CDCA CECB CAD CBE A 30 BEBC ADAC y x 3 3 BC AC 0 2 3 3 yx x 当时 点 D 在 AB 边上090 C B A 备用图 C B A 备用图 E D B A C B A 0512 88601066 88601068 2 AD x DBE 90 2BDABADx 此时 2 11332 3 2 2236 BDE xxx SSBDBEx A 当 S 时 整理 得 1 3 ABC S 2 32 33 66 xx 2 210 xx 解得 即 AD 1 12 1xx 当时 点 D 在 AB 的延长线上 如图 90120 仍设 AD x 则 DBE 90 2BDx 2 11332 3 2 2236 BDE xxx SSBDBEx A 当 S 时 1 3 ABC S 2 32 33 66 xx 整理 得 2 210 xx 解得 负值 舍去 1 12x 2 12x 即 1 2AD 综上所述 AD 1 或 1 2AD 2 1 动手操作 如图 将矩形纸片 ABCD 折叠 使点 D 与点 B 重合 点 C 落在点处 折痕为 EF 若 ABE 20 那么的度数为 CEF 2 观察发现 小明将三角形纸片 ABC AB AC 沿过点 A 的直线折叠 使得 AC 落在 AB 边上 折痕为 AD 展开纸片 如图 再次折叠该三角形纸片 使点 A 和点 D 重合 折痕为 EF 展平纸片后得到 AEF 如图 小明认为 AEF 是等腰三角形 你同意吗 请说明理由 3 实践与运用 将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作 将纸片对折得折痕 EF 折痕与 AD 边交于点 E 与 BC 边交于点 F 将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠 使点 A 点 D 都与点 F 重合 展开纸片 此时恰好有 MP MN PQ 如图 求 MNF 的 大小 E D B A C B A F E D BC A C DB A 图 0512 88601066 88601068 3 1解 1 125 2 同意 点 A 与点 D 是沿 EF 折叠的且重合 折痕为 EF A D 关于 EF 对称 EF AD AE ED AF DF 又 沿过点 A 的直线折叠时 使得 AC 落在 AB 边上 折痕为 AD DAE DAF 可得 AE AF AEF 是等腰三角形 3 由题意易得 NMF AMN MNF MF NF 由对称可知 MF PF NF PF 而由题意得 MP MN 又 MF MF 三角形 MNF 和三角形 MPF 全等 PMF NMF 而 PMF NMF MNF 180 度 即 3 MNF 180 度 MNF 60度 3 如图 在平面直角坐标系中 点 A 0 6 点 B 是 x 轴上的一个动点 连结 AB 取 AB 的中点 M 将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o 得到线段 BC 过点 B 作 x 轴 的垂线交直线 AC 于点 D 设点 B 坐标是 t 0 1 当 t 4 时 求直线 AB 的解析式 2 当 t 0 时 用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及 ABC 的面积 3 是否存在点 B 使 ABD 为等腰三角形 若存在 请求出所有符合条件的点 B 的坐标 若不存在 请说明理由 3 解 1 当 t 4 时 B 4 0 设直线 AB 的解析式为 y kx b 把 A 0 6 B 4 0 代入得 解得 b 6 4k b 0 直线 AB 的解析式为 y x 6 3 2 2 过点 C 作 CE x 轴于点 E M y O C A B x D 0512 88601066 88601068 4 由 AOB CEB 90 ABO BCE 得 AOB BEC 1 2 BECEBC AOBOAB BE AO 3 CE OB 1 2 1 2 t 2 点 C 的坐标为 t 3 t 2 方法一 S梯形AOEC OE AO EC t 3 6 t2 t 9 1 2 1 2 t 2 1 4 15 4 S AOB AO OB 6 t 3t 1 2 1 2 S BEC BE CE 3 t 1 2 1 2 t 2 3 4 S ABC S梯形AOEC S AOB S BEC t2 t 9 3t t t2 9 1 4 15 4 3 4 1 4 方法二 AB BC AB 2BC S ABC AB BC BC2 1 2 在 Rt ABC 中 BC2 CE2 BE2 t2 9 1 4 即 S ABC t2 9 1 4 3 存在 理由如下 当 t 0 时 若 AD BD 又 BD y 轴 OAB ABD BAD ABD OAB BAD 又 AOB ABC ABO ACB 1 2 OBBC AOAB t 6 1 2 t 3 即 B 3 0 若 AB AD 延长 AB 与 CE 交于点 G 又 BD CG AG AC 过点 A 画 AH CG 于 H y O C A Bx D E y O C A Bx D E y O C A B D E H G x 0512 88601066 88601068 5 CH HG CG 1 2 由 AOB GEB 得 GE BE AO OB GE 18 t 又 HE AO CE t 2 18 t 1 2 t 2 18 t t2 24t 36 0 解得 t 12 6 因为 t 0 5 所以 t 12 6 即 B 12 6 0 55 由已知条件可知 当 0 t 12 时 ADB 为钝角 故 BD AB 当 t 12 时 BD CE BC AB 当 t 0 时 不存在 BD AB 的情况 当 3 t 0 时 如图 DAB 是钝角 设 AD AB 过点 C 分别作 CE x 轴 CF y 轴于点 E 点 F 可求得点 C 的坐标为 t 3 t 2 CF OE t 3 AF 6 t 2 由 BD y 轴 AB AD 得 BAO ABD FAC BDA ABD ADB BAO FAC 又 AOB AFC 90 AOB AFC BOAO CFAF t2 24t 36 0 6 3 6 2 t t t 解得 t 12 6 因为 3 t 0 5 所以 t 12 6 即 B 12 6 0 55 当 t 3 时 如图 ABD 是钝角 设 AB BD 过点 C 分别作 CE x 轴 CF y 轴于点 E 点 F 可求得点 C 的坐标为 t 3 t 2 CF t 3 AF 6 t 2 AB BD y O C A B x D E F A Ox y C B D E F 0512 88601066 88601068 6 D BAD 又 BD y 轴 D CAF BAC CAF 又 ABC AFC 90 AC AC ABC AFC AF AB CF BC AF 2CF 即 6 2 t 3 t 2 解得 t 8 即 B 8 0 综上所述 存在点 B 使 ABD 为等腰三角形 此时点 B 坐标为 B1 3 0 B2 12 6 0 B3 12 6 0 B4 8 0 55 4 如图 11 1 已知矩形 ABCD 中 O 是矩形 ABCD 的中心 过点 O 作BCAB 3 4 OE AB 于 E 作 OF BC 于 F 得矩形 BEOF 1 线段 AE 与 CF 的数量关系是 直线 AE 与 CF 的位置关系是 2 分 2 固定矩形 ABCD 将矩形 BEOF 绕点 B 顺时针旋转到如图 11 2 的位置 连接 AE CF 那么 1 中的结论是否依然成立 请说明理由 3 分 3 若 AB 8 当矩形 BEOF 旋转至点 O 在 CF 上时 如图 11 3 设 OE 与 BC 交于点 P 求 PC 的长 3 分 解 1 3 4 3 4 CF AE CFAE或或互相垂直CFAE 2 1 中的结论仍然成立 延长 AE 交 BC 于 H 交 CF 于 G 由已知得 ABBE 2 1 BCBF 2 1 2 1 BC BF AB BE ABC EBF 90 ABE CBF ABE CBF BAE BCF 3 4 BC AB CF AE BAE AHB 90 AHB CHG BCF CHG 90 CGH 180 BCF CHG 90 AB CD O E F 图 1图 2 AB CD O E F A 图 3 B DC E O F P 图 2 A B CD O E F G H 0512 88601066 88601068 7 AE CF 且 AE CF 3 4 3 解 AB AB 8 BC 6BC 3 4 BE OF 4 BF OE 3 点 O 在 CF 上 CFB 90 CF 3336 2222 BFBC OC CF OF 433 CPO BPE PEB POC 90 BPE CPO BE OC BP CP 设 CP x 则 BP 6 x 解得 4 433 6 x x 3 3818 x 3 3818 PC 5 已知 如图 1 OAB 是边长为 2 的等边三角形 0A 在 x 轴上 点 B 在第一象限内 OCA 是一个等腰三角形 OC AC 顶点 C 在第四象限 C 120 现有两动点 P Q 分别从 A O 两点同时出发 点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动 点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A O B 运动 当其中一个点到达终点时 另一个点也 随即停止 1 求在运动过程中形成的 OPQ 的面积 S 与运动的时间 t 之间的函数关系 并写出自 变量 t 的取值范围 2 在 OA 上 点 O A 除外 存在点 D 使得 OCD 为等腰三角形 请直接写出所有 符合条件的点 D 的坐标 3 如图 2 现有 MCN 60 其两边分别与 OB AB 交于点 M N 连接 MN 将 MCN 绕着 C 点旋转 0 旋转角 60 使得 M N 始终在边 OB 和边 AB 上 试判断在这一过程中 BMN 的周长是否发生变化 若没有变化 请求出 其周长 若发生变化 请说明理由 A 图 3 B DC E O F P 0512 88601066 88601068 8 解 1 过点C作CDOA 于点D 如图 OCAC 120ACO 30AOCOAC OCAC CDOA 1ODDA 在 RtODC 中 12 3 coscos303 OD OC AOC 1 当 2 0 3 t 时 OQt 3APt 23OPOAAPt 过点Q作QEOA 于点E 如图 在 RtOEQ 中 30AOC 1 22 t QEOQ 2 1131 23 22242 OPQ t SOP EQttt 即 2 31 42 Stt 图 2 当 22 3 33 t 时 如图 OQt 32OPt 60BOA 30AOC 90POQ 2 113 32 222 OPQ SOQ OPtttt 即 2 3 2 Stt 故当 2 0 3 t 时 2 31 42 Stt 当 22 3 33 t 时 2 3 2 Stt 2 2 3 0 3 或 2 0 3 3 BMN 的周长不发生变化 延长BA至点F 使AFOM 连结CF 如图 90 MOCFACOCAC MOC FAC MCCF MCOFCA FCNFCANCAMCONCA 60OCAMCN F N M A B C O x y 24 题答图题答图 题答图题答图 P Q y x O C B A 0512 88601066 88601068 9 FCNMCN 又 MCCF CNCN MCN FCN MNNF BMMNBNBMNFBN AFBAOMBO BABO 4 BMN 的周长不变 其周长为 4 6 如图 已知正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 AB BC 的中点 点 M 在线段 BF 上 不 与点 B 重合 连接 EM 将线段 EM 绕点 M 顺时针旋转 90 得 MN 连接 FN 1 特别地 特别地 当点 M 为线段 BF 的中点时 通过观察 测量 推理等 猜想 猜想 NFC BM NF 2 一般地 一般地 当 M 为线段 BF 上任一点 不与点 B 重合 时 1 中的猜想是否仍然成立 请说明理由 3 进一步探究 进一步探究 延长 FN 交 CD 于点 G 求的值 FM NG 解 1 45 每空 2 分 4 分2 2 答 仍然成立 5 分 理由一 过点 N 作 NP BC 于 P B MPN 90 BME BEM 90 BME NMP 90 BEM NMP 又 EM MN EBM MPN 7 分 BM PN EB MP 又 BF EB BF MP BM FP PN FP 8 分 NFP 45 9 分 NF FP BM 即 1022 2 BM NF 分 理由二 在 EB 上取一点 P 使得 BP BM 连接 PM BME BEM 90 BME NMF 90 BEM NMF 又 EM MN EP MF EPM MFN 7 分 MFN EPM BP BM BPM 45 8 分 NFC BPM 45 9 分 NF PM BM 即 10 分2 2 BM NF 第6题图 A BC D E MF N G 理由一 A BC D E MF N G P A BC D E MF N G P 理由二 0512 88601066 88601068 10 3 由 2 得 NFC 45 FCG 是等腰直角三角形 FC GC FG FC BF 12 分22 又由 2 得 NF BM 2 NG FG NF BF BM MF 即 14 分222 2 FM NG 7 如图 10 E 是正方形 ABCD 中 CD 边上的一点 AB 把 ADE 绕点 A 旋转后得 3 ABF EAF 的平分线交 BC 于点 G 连接 GE 1 求证 EG FG 2 若 DAE 15 求 GE 的长 3 当点 E 位于何处时 ADE 与 CGE 相似 并说明理由 解 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 DAB ABC D C 90 AB BC AD CD 3 ADE 绕点 A 旋转后得 ABF ADE ABF EAF DAB 90 AE AF ABF D 90 BAF DAE FBG ABF ABC 180 即点 F B G 在同一直线上 AE AF FAG EAG AG AG AEG AFG EG FG 2 FAG EAG EAF 2 45 BAF DAE 15 BAG FAG BAF 30 1 3 3 3tan BAGABBG 13 BGBCCG AEG AFG AGE AGB 90 BAG 60 EGC 180 AGE AGB 60 232 2 1 13 cos EGC GC GE 3 D C 90 当 AED GEC 或 AED EGC 时 ADE 与 CGE 相似 ADE ABF AEG AFG AED AFG AEG 当 AED EGC 时 EGC AEG 则 AE GC 此时 D 与 E 重合 ADE 不存在 当 AED GEC 时 AED GEC AEG 60 0512 88601066 88601068 11 2 1 60coscos AED AD DE CD DE 当点 E 为 CD 边中点时 ADE 与 CGE 相似 8 已知 ABC 和 ADE 是两个不全等的等腰直角三角形 其中 BA BC DA DE 联结 EC 取 EC 的中点 M 联结 BM 和 DM 1 如图 1 如果点 D E 分别在边 AC AB 上 那么 BM DM 的数量关系与位置关系 是 2 将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时 判断 1 中的结论是否仍然成立 并说明理由 解 1 BM DM 且 BM DM 2 成立 理由如下 延长 DM 至点 F 使 MF MD 联结 CF BF BD 易证 EMD CMF ED CF DEM 1 AB BC AD DE 且 ADE ABC 90 2 3 45 4 5 45 BAD 2 4 6 90 6 8 360 5 7 1 7 180 6 9 8 360 45 180 6 9 3 9 360 45 180 6 9 45 9 90 6 8 BAD 又 AD CF ABD CBF BD BF ABD CBF DBF ABC 90 MF MD BM DM 且 BM DM 9 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 8 0 直线 BC 经过点 B 8 6 C 0 6 将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形 OA B C 此时直线 OA 直线 B C 分别与直线 BC 相交于 P Q 1 四边形 OABC 的形状是 当 90 时 的值是 BQ BP DC B A E M M E A B C D 0512 88601066 88601068 12 2 如图 1 当四边形 OA B C 的顶点 B 落在 y 轴正半轴上时 求 PQ 的长 如图 2 当四边形 OA B C 的顶点 B 落在直线 BC 上时 求 PQ 的长 3 小明在旋转中发现 当点 P 位于点 B 的右侧时 总有 PQ 与线段 相等 同时 存在着特殊情况 BP BQ 此时点 P 的坐标是 2 1 解 1 矩形 长方形 7 4 2 POCB OA PCOOA B 90 COPA OB 即 CPOC A BOA 6 68 CP 9 2 CP 同理 B CQB C O 即 CB CB CO CQ 106 68 CQ 3CQ PQ CP CQ 2 15 在和中 OCP B A P 90 OPCB PA OCPA OCB A AAS OCPB A P 即 OP PQOPB P 设 PQ X 在中 RtOCP 222 8 6xx xO B y B A C A C P Q 图 1 xO B y B Q A C A C P 图 2 xO B y A 备用图 C 0512 88601066 88601068 13 解得 25 4 x PQ 4 25 3 OP 6 4 7 10 如图 四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片 点 A 在 x 轴上 点 C 在 y 轴上 将边 BC 折叠 使点 B 落在边 OA 的点 D 处 已知折痕 CE 55 且 3 tan 4 EDA 判断 OCD 与 ADE 是否相似 请说明理由 求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标 是否存在过点 D 的直线 l 使直线 l 直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l 直 线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似 如果存在 请直接写出其解析式并画出相应的 直线 如果不存在 请说明理由 解 OCD 与ADE 相似 理由如下 由折叠知 90CDEB 1290 139023 又90CODDAE OCDADE 3 tan 4 AE EDA AD 设3AEt 则4ADt 由勾股定理得 5DEt 358OCABAEEBAEDEttt y xD E B A C O 0512 88601066 88601068 14 由 1 OCDADE 得 OCCD ADDE 8 45 tCD tt 10CDt 在DCE 中 222 CDDECE 222 10 5 5 5 tt 解得1t 83OCAE 点C的坐标为 0 8 点E的坐标为 10 3 设直线CE的解析式为ykxb 103 8 kb b 解得 1 2 8 k b 1 8 2 yx 则点P的坐标为 16 0 满足条件的直线l有 2 条 212yx 212yx 下图中的直线 DB 与直线 DM 即为所求 2 1l l y x M N G F D E B A C PO 注 第 题如何严密思考 靠碰运气找到两条直线 显然不具有一般性 也不能从严格意 义上说明是否还存在其他符合要求的直线 下面的思考方法是非常精彩的 首先说明一个简单事实 三条直线两两相交 不经过同一点 则三条直线能够围成三 角形 当平行移动其中一条直线时 移动后的直线不经过另两条直线的交点 不改 变围成三角形的形状 即始终相似 O x y C B E D 3 12 A 0512 88601066 88601068 15 y x Q D E B A C PO 基于上述事实 将 y 轴平移至点 D 交直线 CE 于点 Q 直线 CE 即直线 PQ 则原问 题转化为 如下图 DQP 中 D 90 经过点 D 的直线 l 斜边所在的直线 与两直角边分 别构成的两个三角形相似 这样的直线 l 有几条 D PQ l2 1l MN D PQ 显然 当直线 l 经过 DQP 内部时 只有一条 当直线在 DQP 外部时 也只有一 条 11 一位同学拿了两块 450三角尺 MNK ACB 做了一个探究活动 将 MNK 的 直角顶点 M 放在 ABC 的斜边 AB 的中点处 设 AC BC 4 1 如图 11 1 两三角尺的重叠部分为 ACM 则重叠部分的面积为 2 将图 11 1 中的 MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 450 得到图 11 2 此时重叠部分 的面积为 3 如果将 MNK 绕 M 旋转到不同于图 11 1 和图 11 2 的图形 如图 11 3 请你 猜想此时重叠部分的面积为 请证明你的结论 解 1 4 2 4 3 4 证明 过点 M 作 ME BC 于点 E MF AC 于点 F 在 Rt DFM 和 Rt GEM 中 可得 DMF GME MF ME 图 2 A C B K N M A C B M N K 图 1 图 3 A C B M N K D G 图 11 3 A C B M N K D E F G 0512 88601066 88601068 16 Rt DFM Rt GEM S DFM S GEM S四边形 DCGM S四边形 CEMF 4 12 如图1所示 一张三角形纸片ABC ACB 90 AC 8 BC 6 沿斜边AB的中线CD 把这张纸片剪成 AC1D1和 BC2D2两个三角形 如图2所示 将纸片 AC1D1沿直线 D2B AB 方向平移 点A D1 D2 B始终在同一直线上 当点D1与点B重合时 停止平 移 在平移的过程中 C1D1与BC2交于点E AC1与C2D2 BC2分别交于点F P 1 当 AC1D1平移到如图3所示位置时 猜想D1E与D2F的数量关系 并说明理由 2 设平移距离D2D1为x AC1D1和 BC2D2重复部分面积为y 请写出y与x的函数关系式 以及自变量的取值范围 3 对于 2 中的结论是否存在这样的x 使得重复部分面积等于原 ABC纸片面积的4 1 若存在 请求出x的值 若不存在 请说明理由 图1 图2 图3 解 1 12 D ED F 1122 C DC D 12 CAFD C2 BED1 又 ACB 90 CD是斜边上的中线 DC DA DB 即 112221 C DC DBDAD 1 CA C2 B 2 AFDA BED1 B 22 ADD F 11 BDD E 又 12 ADBD 21 ADBD 12 D ED F 2 在Rt ABC中 AC 8 BC 6 所以由勾股定理 得AB 10 即 121122 5ADBDC DC D 又 21 D Dx 1122 5D EBDD FADx 2