湖北监利第一中学高三数学一轮复习7.函数的奇偶性与周期性学案

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 7.函数的奇偶性与周期性学案【学习目标】1了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题 预 习 案1奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性2证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于 对称；(2)判定f(x)f(x)(或f(x)f(x)，从而证得函数是奇(偶)函数3奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称；(2)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0) ；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 (4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，反之也成立4一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)axax为 函数，函数f(x)axax为 函数；(2)函数f(x)(a0且a1)为 函数；(3)函数f(x)loga为 函数；(4)函数f(x)loga(x)为 函数5周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数6函数的对称性 若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于 对称【预习自测】 1(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_f(x)2x43x2； f(x)x32x； f(x)； f(x)x31.2下列函数为偶函数的是()AysinxByx3 Cyex Dyln3 若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.4若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yf(x)图像上的 （ ）A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a)5(2013衡水调研卷)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，则f(99)_ 探 究 案 题型一 判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由(1)f(x)x2|x|1x1,4； (2)f(x)(x1)x(1,1)；(3)f(x)(a0，a1)探究1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)ln； (2)g(x)x2|xa|； (3)f(x)题型二 奇偶性的应用例2.(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x0时，f(x)x1，f(x)的解析式为 (2)f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且x0,1时f(x)为增函数，则不等式f(x)f(x)0的解集为 (3)函数f(x1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为 探究2.(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，满足f()f(a)的实数a的取值范围是_(2)函数yf(x2)为奇函数，则函数yf(x)的图像的对称中心为_题型三 函数的周期性例3.设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 005,2 005上的根的个数，并证明你的结论探究3.(1)f(x)的定义域为R的奇函数，且图像关于直线x1对称，试判断f(x)的周期性(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意xR均满足f(x)，试判断函数f(x)的周期性例4.已知f(x)为偶函数，且f(1x)f(1x)，当x0,1时，f(x)x1，求x5,7时，f(x)的解析式探究4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2(1)求证：f(x)是