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第二节函数的值域与最值 求函数值域与最值的方法1 基本函数法 直接根据函数求最值 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解 2 配方法 二次函数法 对形如f x a f2 x bf x c a 0 类的函数的值域问题 可用配方法求解 3 反函数法 7 单调性法确定函数在定义域 或某个定义域的子集 上的单调性 求出函数的值域 8 数形结合法当一个函数图象可作时 通过图象可求其值域和最值 或利用函数所表示的几何意义 借助于几何方法求出函数的值域 答案 d 答案 c 答案 b 解 1 依题意 当x r时 mx2 6mx m 8 0恒成立 当m 0时 x r 解法2 x 2且x 1 所给的函数式可以转化为yx2 yx 2y 1 0 必有实数满足这个方程 并对任意实数x 都有y 0 于是 y 2 4y 1 2y 0 拓展提升 求函数值域时一定要先考虑其定义域 如利用函数的单调性 必须要有定义域 用重要不等式求值域时 若忽视定义域 则可能会导致等号成立的条件出错 用导数求函数值域时要注意把极值与定义域区间端点的函数值作比较 用换元法求值域要注意换元前后范围保持一致 答案 c 若函数y lg 1 2x a 4x 当x 2 时有意义 求实数a的范围 分析 对 1 先设辅助未知数 再确定函数关系 对 2 先利用导数求出最优解 拓展提升 本题主要考查应用导数解决实际问题 考题的命制 将导数应用于工程的最优化问题的解决之中 可以说是一个很好的设计 不仅考查了考生对函数 导数等相关知识的掌握程度 还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力 围建一个面积为360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口 如图1所示 已知旧墙的维修费用为45元 m 新墙的造价为180元 m 设利用的旧墙长度为x 单位 m 修建此矩形场地围墙的总费用为y 单位 元 将y表示为x的函数 试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 图1 图2 3 当前对函数最值的考查多以导数的方法解决 当前 了解一些其他解法对快速解题是有好处的 特别
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