高考数学二轮复习 7.3 概率与离散型随机变量的分布列、期望与方差课件 理.ppt

第3讲概率与离散型随机变量的分布列 期望与方差重点知识回顾古典概型的概率计算公式 p a 2 互斥事件有一个发生的概率 如果事件a1 a2 an彼此互斥 那么事件a1 a2 an发生 即a1 a2 an中有一个发生 的概率等于这n个事件分别发生的概率的和 即p a1 a2 an p a1 p a2 p an 对立事件的概率的和等于1 即p a p 1 3 相互独立事件同时发生的概率 如果事件a1 a2 an相互独立 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 即p a1 a2 an p a1 p a2 p an 如果在一次试验中某事件发生的概率是p 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为pn k pk 1 p n k 4 离散型随机变量的分布列的两个性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 1 5 若离散型随机变量 的概率分布列为则数学期望为e x1p1 x2p2 xnpn 方差d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xn e 2 pn 标准差 6 数学期望的性质 1 e a b ae b 2 若 b n p 则e np 3 若随机变量 服从几何分布 且p k g k p 则e 7 方差的性质 1 d e 2 e 2 2 d a b a2d 3 若 b n p 则d np 1 p 4 若随机变量 服从几何分布 且p k g k p 则d 主要考点剖析考点一等可能事件 互斥事件的概率命题规律命题规律 常与排列组合知识联系在一起考查 题型可能为小题目 更多的是与离散型随机变量的分布列交汇出现在解答题中 例1盒中装着标有数字1 2 3 4的卡片各2张 从盒中任意取3张 每张卡片被抽出的可能性都相等 求 1 抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率 2 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率 3 抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率 分析 从8张卡片中任意取出3张共有种等可能的不同取法 最大的数字是4有两类 一类是恰有1张是4 第二类是有两张是4 取出的3张卡片上的数字互不相同 可以先取数字再分情况 即有 23种 解析 1 抽出的3张卡片上最大的数字是4 的事件记为a 由题意得p a 2 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3 的事件记为b 则p b 3 抽出的3张卡片上的数字互不相同 的事件记为c p c 点评 该题通过排列 组合知识完成了古典概型的计算问题 同时要做到所有的基本事件必须是互斥的 要做到不重不漏 互动变式1有4个红球 3个黄球 3个白球装在袋中 小球的形状 大小相同 1 从中任取两个小球 求两个同色球的概率 2 从中任取三个小球 求至少有两个球颜色相同的概率 分析 从8张卡片中任意取出3张共有c种等可能的不同取法 最大的数字是4有两类 一类是恰有1张是4 第二类是有两张是4 取出的3张卡片上的数字互不相同 可以先取数字再分情况 即有c 23种 解析 1 抽出的3张卡片上最大的数字是4 的事件记为a 由题意得p a 2 抽出的3张中有2张卡片上的数字是3 的事件记为b 则p b 3 抽出的3张卡片上的数字互不相同 的事件记为c p c 点评 该题通过排列 组合知识完成了古典概型的计算问题 同时要做到所有的基本事件必须是互斥的 要做到不重不漏 互动变式1有4个红球 3个黄球 3个白球装在袋中 小球的形状 大小相同 1 从中任取两个小球 求两个同色球的概率 2 从中任取三个小球 求至少有两个球颜色相同的概率 解析 1 从10个小球中取出两个小球的不同取法数为 从中取出两个红球 的不同取法数为 其概率为 从中取出两个黄球 的不同取法数为 其概率为 从中取出两个白球 的不同取法数为 其概率为 所以取出两个同色球的概率为 2 任取三个小球至少有两个球颜色相同 的对立事件为 取出三个球 颜色全不相同 而取出三个球 颜色全不相同的所有不同取法数为4 3 3 36 种 其概率为 所以 取出三个球 至少两个同颜色 的概率为1 考点二相互独立事件的概率与离散型随机变量的分布列命题规律高考对相互独立事件同时发生的概率的考查通常在选择 填空题中独立出现或在解答题中予以体现 例2我国准备选派a b c三地分别独立地参加世界自然遗产申报 根据综合分析 a地能通过测试的概率是 a b c三地都能通过测试的概率是 a b c三地都不能通过测试的概率是 且b地通过测试的概率比c地要大 1 求b c两地各自通过测试的概率 2 求测试结束后 申报通过的数目x的数学期望ex 分析 可以根据a b c三地申报世界自然遗产的独立性 求出b c两地各自通过测试的概率 解析 1 设b c两地各自通过测试的概率分别是x y x y 依题意得即 舍去 所以b c两地各自通过测试的概率分别是 2 因为p x 0 p x 3 p x 1 p x 2 1 所以ex 0 点评 本题考查了相互独立事件的概率 互斥事件有一个发生的概率以及随机变量的分布列 数学期望的有关知识 随机变量分布列的考查 一般要伴随着概率的求取 数学期望的求取等 相互独立事件的概率 互斥事件有一个发生的概率更是重点涉及的内容 此外 离散型随机变量的数学期望 方差的计算公式要熟记 互动变式2 2011年唐山三模 某射手有5发子弹 射击一次命中的概率为0 9 1 如果命中了就停止射击 否则一直射击到子弹用完 求耗用子弹数 的分布列 2 如果命中2次就停止射击 否则一直射击到子弹用完 求耗用子弹数 的分布列 解析 1 的所有取值为 1 2 3 4 5 1表示第一次就射中 它的概率为 p 1 0 9 2表示第一次没射中 第二次射中 p 2 0 1 0 9 同理p 3 0 12 0 9 p 4 0 13 0 9 p 5 0 14 所以分布列为 2 的分布列为 考点三独立重复试验 二项分布与离散型随机变量的分布列命题规律离散型随机变量的分布列与常与概率中的独立事件的概率 二项分布等放在一起作为解答题考查 多为中档题 例3某地高中会考成绩分a b c d四个等级 其中等级d为会考不合格 某学校高三学生甲参加语文 数学 英语三科会考 三科会考合格的概率均为 每科得a b c d四个等级的概率分别为x y 1 求x y的值 2 若有一科不合格 则不能拿到高中毕业证 求学生甲不能拿到高中毕业证的概率 3 若至少有两科得a 一科得b 就能被评为三好学生 则学生甲被评为三好学生的概率 4 设 为学生甲会考不合格科目数 求 的分布列及 的数学期望e 分析 由互斥事件和独立重复试验求出x y的值及其概率 再确定 的值可得解 解析 1 x y 2 三科会考不合格的概率均为 学生甲不能拿到高中毕业证的概率p 1 1 3 每科得a b的概率分别为 学生甲被评为三好学生的概率为p 3 p 0 p 1 p 2 p 3 的分布列如下表 的数学期望e 0 或e 点评 本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望以及独立重复试验 解决这类问题的关键是要弄清题意 特别是要弄清互斥事件 相互独立事件的概念 对于二项分布可直接利用公式求出期望 互动变式3一次英语单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项是正确答案 每题选择正确答案得5分 不作出选择或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个 求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望与方差 解析 设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 则 b 20 0 9 b 20 0 25 e 20 0 9 18 d 20 0 9 0 1 1 8 e 20 0 25 5 d 20 0 25 0 75 3 75 由于答对每题得5分 学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5 和5 所以 他们在测验中的成绩的期望与方差分别是 e 5 5e 5 18 90 d 5 25d 25 1 8 45 e 5 5e 5 5 25 d 5 25d 25 3 75 93 75 考点四实际应用问题中的期望与方差命题规律高考对该考点的考查通常体现在离散型随机变量的分布列中 还应用于二项分布 例4最近 李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财 提出了三种方案 第一种方案 将10万块钱全部用来买股票 据分析预测 投资股市一年可能获利40 也可能亏损20 只有这两种可能 且获利和亏损的概率均为 第二种方案 将10万块钱全部用来买基金 据分析预测 投资基金一年可能获利20 也可能损失10 也可能不赔不赚 且三种情况发生的概率分别为 第三种方案 将10万块钱全部存入银行一年 现在存款利率为4 存款利息税率为5 针对以上三种投资方案 请你为李师傅家选择一种合理的理财方法 并说明理由 分析 选择哪种方案合算 即是选择哪种方案收益最大 从题给条件 第1 2种方案有一定的风险 但可以计算其期望或方差 第3种方案比较稳当 但收益不大 因此 在这场投资的博弈中 就要充分运用概率的知识来计算 解析 若按方案一执行 设收益为 万元 其分布列为 e 4 2 1万元 若按方案二执行 设收益为 万元 则其分布列为 e 2 1 0 1万元 若按方案三执行 收益y 10 4 1 5 0 38万元 又e e y d e 2 e 2 16 4 12 9 d e 2 e 2 4 1 12 由以上可知d d 说明虽然方案一 二收益相等 但方案二更稳妥 建议李师傅家选择方案二投资较为合理 点评 生活中时常会遇到投资理财的问题 哪种理财方式最好 现在你只需要计算一下便知道了 由此可见期望与方差在生活中的应用的广泛性 互动变式4随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 解析 1 的