高中数学 2.4.1抛物线精品课件同步导学 新人教A版选修21.ppt

2 4抛物线 2 4 1抛物线及其标准方程 1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 会求简单的抛物线的方程 1 抛物线的定义及其标准方程是重点和难点 也是考查的热点 2 抛物线的定义的应用常与图形 方程 不等式等结合命题 而且出题形式多样化 选择 填空 解答题都可能出现 2 如图 我们在黑板上画一条直线ef 然后取一个三角板 将一条拉链ab固定在三角板的一条直角边上 并将拉链下边一半的一端固定在c点 将三角板的另一条直角边贴在直线ef上 在拉锁d处放置一支粉笔 上下拖动三角板 粉笔会画出一条曲线 这条曲线就是抛物线 那么抛物线的定义是什么 1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条直线l l不经过点f 的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 距离相等 焦点 准线 2 抛物线的标准方程 1 抛物线y2 8x的焦点坐标是 a 2 0 b 2 0 c 4 0 d 4 0 答案 b 2 若点p到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线解析 由题意 点p到直线x 2的距离等于它到点 2 0 的距离 符合抛物线的定义 故选d 答案 d 3 若动点p到点f 2 0 的距离与它到直线x 2 0的距离相等 则点p的轨迹方程为 答案 y2 8x 4 已知抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的点m 3 m 到焦点的距离是5 1 求抛物线方程和m的值 2 求抛物线的焦点坐标和准线方程 2 由 1 知抛物线的焦点为 2 0 准线方程为x 2 求抛物线方程要先确定其类型 并设出标准方程 再根据已知求出系数p 若类型不能确定 应分类讨论 题后感悟 1 求抛物线标准方程的方法特别注意在设标准方程时 若焦点位置不确定 要分类讨论 2 由抛物线的标准方程求其焦点和准线方程时 一定要考虑抛物线的开口方向和参数p的几何意义 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程 并写出它们的准线方程 焦点坐标 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 2 令x 0 由方程x 2y 4 0得y 2 抛物线的焦点为f 0 2 设抛物线方程为x2 2py p 0 则由 2得2p 8 所求抛物线方程为x2 8y 令y 0 由方程x 2y 4 0 得x 4 抛物线的焦点为f 4 0 设抛物线方程为y2 2px p 0 已知抛物线y2 4x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 对于定点a 4 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时p点坐标 2 已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 求点p到点 0 2 的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值 求与圆 x 3 2 y2 9外切 且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程 当x0 或y 0 x 0 题后感悟 本题在列出等量关系后 注意到它们都与距离有关 故用定义求解 降低了运算量 定义法求轨迹是求轨迹方法中重要的一种 一般地 都是利用圆锥曲线的定义进行解题 当问题出现轴上两个对称的定点f1 f2时或当出现一个点f 一条过f关于原点对称且垂直于坐标轴的直线时 我们都有理由猜测是不是该用上圆锥曲线的定义了 3 动圆m经过点a 3 0 且与直线l x 3相切 则动圆圆心m的轨迹方程是 解析 因为动圆m经过点a 3 0 且与直线l x 3相切 点m到定点a的距离与它到直线x 3的距离相等 点m的轨迹为抛物线 焦点为a 3 0 准线为x 3 p 6 抛物线方程为y2 12x 答案 y2 12x 一辆卡车高3m 宽1 6m 欲通过断面为抛物线型的隧道 已知拱口宽恰好是拱高的4倍 若拱口宽为am 求使卡车通过的a的最小整数值 本题主要考查抛物线知识的实际应用 解答本题首先建系 转化成抛物线的问题 再利用解抛物线的方法解决 规范作答 以隧道顶点为原点 拱高所在直线为y轴建立直角坐标系 题后感悟 1 本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题 利用数学模型 通过数学语言 文字 符号 图形 字母等 表达 分析 解决问题 2 在建立抛物线的标准方程时 以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 4 如图 花坛水池中央有一喷泉 水管o p 1m 水从喷头p喷出后呈抛物线状 先向上至最高点后落下 若最高点距水面2m p距抛物线的对称轴1m 则水池的直径至少应设计为多少米 精确到个位 1 如何理解抛物线的定义 1 抛物线定义的实质可归结为 一动三定 一个动点 设为m 一个定点f即抛物线的焦点 一条定直线l即抛物线的准线 一个定值即点m与点f的距离和它到直线l的距离之比等于1 2 在抛物线的定义中 定点f不能在直线l上 否则 动点m的轨迹就不是抛物线 而是过点f垂直于直线l的一条直线 如到点f 1 0 与到直线l x y 1 0的距离相等的点的轨迹方程为x y 1 0 轨迹为过点f且与直线l垂直的一条直线 提醒 在解决与抛物线定义有关的问题时 一定不能忽略 点f不在直线l上 这一条件 2 如何确定抛物线的焦点位置和开口方向 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 四种位置的抛物线标准方程的对比 1 共同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 2 不同点 焦点在x轴上时 方程的右端为 2px 左端为y2 焦点在y轴上时 方程的右端为 2py 左端为x2 开口方向与x轴 或y轴 的正半轴相同 焦点在x轴 或y轴 正半轴上 方程右端取正号 开口方向与x轴 或y轴 的负半轴相同 焦点在x轴 或y轴 负半轴上 方程右端取负号 已知抛物线的顶点在原点 焦点在坐标轴上 且焦点到准线的距离为