北航CFD讲义第19课.doc

第五讲 高分辨率格式初步一目的为什么那么重视高分辨率格式？是为了提高捕获激波和间断面的质量。对于光滑流动，无论是中心差分格式，还是矢通量分裂格式，其结果都是令人满意的，彼此之间无优劣之分。对于含激波这样强间断的流动，格式的优劣就显现出来了。中心差分是频散格式，求解过程中，激波前后会产生强烈的数值振荡。加入人工粘性，能够抑制数值振荡但是过大的耗散使激波变得很宽（5个网格点左右），从而降低了激波的分辩率。矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的数值振荡，但由于精度较低（一阶）、耗散较大使得激波的梯度被抹平，激波宽度仍然较大（3个网格点左右）。与中心差分格式不同，矢通量分裂格式属于迎风格式，与后面要讲的高分辩率格式属同类，它为什么分辩率不高呢？解释如下：迁移方程 （11-1）令 （11-2）式中， ， （11-3）结合式（11-2），（11-3），式（11-1）成为： （11-4）迎风格式（与矢通量格式相当）为 （11-5）经过整理，可将迎风格式写成如下形式， （11-6）从上式可见，当时，二阶耗散消失了，这时差分格式会得到非物理解。实际上的点在实际流动中就是音速点。一维Euler方程扰动传播速度为和（这里表示音速）而音速点恰恰是激波区不可避免的！二预备知识（一）激波管（黎曼问题）状态L初始状态（）膈膜状态R初始条件为：膈膜左侧：，当膈膜右侧：，当假定：，而膈膜破裂之后，将会发生什么？膈膜的初始位置膨胀波接触间断激波流动状态（）5接触间断：，压力（Pa）熵/Rgas速度 （m/s）流量 （Kg/m2s）马赫数M密度 （Kg/m3）激波管内流场情况（膈膜破裂之后6.1msec）初始条件为：，1区：设，根据Rankine-Hugoniot条件（简称R-H条件）有：2区根据间断面的定义，可得而满足下列关系式：可用牛顿迭代法从上式中求出，于是区和区的气流状态完全确定。3膨胀波扫过的区域设膈膜位置为，膈膜破裂时间点为。则根据Riemann不变量的规律。沿特征线（），有常数沿特征线（），有常数沿特征线（），等熵，有常数可得：可见，当膈膜破裂之后，激波管内气流参数完全由膈膜两侧的状态参数所决定，当然考察的位置和时间也是决定因素。（二）Riemann问题的理论分析1对于一维问题，非线性守恒方程系统： （11-7a） （11-7b）古典解：如果方程（11-7a）的解U连续且U的一阶偏导数分段连续，则称U为古典解。弱解：对于方程（11-7a），如果它的解U为间断的不连续函数，则称其为弱解（也可称为广义解）。弱解满足下列条件：1）解U在所有连续点满足初始条件（11-7b）；2）在解U的光滑处，方程（11-7a）局部成立；3）在解U的间断处满足Rankine-Hugoniot条件 （11-8）式中，C为间断面的移动速度；下标“R”表示间断面右侧变量，“L”表示左侧变量。也可写成：式中，表示函数f在间断左右的跳跃。2Riemann（黎曼）问题：对于Euler方程： （11-9）式中 如果初始条件为：当之后，由初始间断的左右状态确定波态、波的强度和波之间的流动特性的问题称为Riemann问题。3间断面的分类：1）弱间断：参数连续，而参数的导数不连续，例如膨胀波（稀疏波）；2）强间断：参数不连续（产生间断），例如激波和接触间断。激波：满足R-H条件的间断；接触间断：流体不穿过波面，即满足：， 即，间断前后压力和速度不变，只有密度发生跳跃可以证明，Riemann问题的解是由一个向左移动的波，一个处于中间的接触间断和一个向右移动的波构成，向左向右移动的波或为激波、或为膨胀波（稀疏波）。三个波之间的参数呈定常状态。显然，之后，Riemann问题的解只由初始间断的左右状态、所确定，所以Riemann解可写成：上标表示Riemann解。三Godunov格式Godunov格式的基本原理：在离散点的界面上求解Riemann问题。右图表示以单元为单位分片平均的几何意义。由图可见，单元的平均值就是。Godunov认为从时间层的已知解求得下一时间层的未知解可以分成三步走：第1步：将已知解在单元内进行平均 （11-10）并得到相邻单元的平均值， ；第2步：根据激波管原理，在相邻单元界面上，求得Riemann解： 和 （11-11）界面界面第3步：下一时间层的未知解由Riemann解（11-11）在单元内积分获得： （11-12）由于界面和界面上的Riemann解是不同的，需要分段积分，于是（11-12）式可写为 （11-13）在以上三步中，第1和第3步均为在单元内的积分，与方程的物理本质无关，而第2步则利用了激波管的物理特性，Godunov求解控制方程的独特