高考数学一轮总复习名师精讲 第46讲多面体与球课件.ppt

第四十六讲 第四十七讲 文 多面体与球 回归课本1 多面体和正多面体 1 多面体 若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 2 凸多面体 把多面体的任何一个面伸展为平面 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 这样的多面体叫做凸多面体 3 正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 叫做正多面体 正多面体只有五种 即正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 2 球 1 球面和球的概念半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做球体 简称球 球也可以看作与定点 球心 的距离等于或小于定长 半径 的所有点的集合 轨迹 2 球的截面的性质 用一个平面去截球 截面是圆面 球心到截面圆心的连线垂直于截面 点评 1 在球的有关计算中 由球的半径r 截面圆的半径及球心到截面距离o o构成的直角三角形 是常用的关键图形 2 球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长 其计算思路 如图所示 解 o ab得ab的长 解 oab得 aob的弧度数 利用l r得球面上a b两点间的球面距离 答案 c 答案 b 3 设m n是球o半径op上的两点 且np mn om 分别过n m o作垂直于op的平面 截球面得三个圆 则这三个圆的面积之比为 a 3 5 6b 3 6 8c 5 7 9d 5 8 9 解析 作出球的轴截面图如下图 答案 d 4 2011 名校模拟 如图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1内有一个内切球o 过正方体中两条互为异面直线的棱a1a bc的中点p q作直线 该直线被球面截在球内的线段的长为 解析 答案 d点评 本题着重考查空间想象能力和运算能力 添加适当的辅助线并结合平面几何知识可圆满解决 答案 b 典例1 已知a bcd是棱长为a的正四面体 1 求证 ab cd 2 求二面角a bc d的余弦值 3 求正四面体的体积 解析 1 证明 过a作ao 平面bcd于o 连结bo do并延长 分别交dc bc于e f 由题知四面体a bcd为正四面体 故o为 bcd的中心 e f分别为cd bc的中点 be cd 而be是ab在平面bcd上的射影 ab cd 2 df bc af bc afd为二面角a bc d的平面角 探究1 已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等 把它们拼起来 使一个表面重合 所得的多面体有多少个面 点评 本题若不经过计算 凭想象 很可能会得到拼成的多面体为十面体 这是错误的 类型二球面距离解题准备 求球面距离的方法 设球面上两点间的球心角为 弧度 球半径为r 则球面上两点间的距离为 r 所以计算球面距离的关键是确定球心角 1 两点在同一经线圈上 可直接计算两点间的劣弧长度 2 两点在同一纬线圈上 先求弦长 由余弦定理求球心角 化为弧度 再用l r来求 典例2 如图 地球半径为r 地面上三点a b c的经纬度分别是 a点是东经20 北纬60 b点是东经140 北纬60 c点是东经140 北纬30 试求a b与b c两点的球面距离 点评 1 为求a b两点间的球面距离 要组织到 aob中去分析 关键是求得球心角 aob的度数 结合弧长公式 注意余弦定理的应用 2 纬度相当于球半径与赤道平面所成的角 经度相当于二面角的平面角 误区指津 通过已知条件求得 ao b 90 是关键 但易忽视点b的位置有两种可能情况 点评 在解决球的问题时 经常遇到与地球的经线 纬线 经度 纬度有关的问题 纬线 是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆 纬线除赤道是大圆外 其余都是小圆 经线 是地球表面上从北极到南极的半个大圆 经线圈是过地轴的截面截地球表面所得到的圆 它们都是大圆 纬度 某地点的纬度 就是经过这点的球的半径与赤道所在平面所成角的度数 纬度角是一个线面角 经度 某地点的经度 就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与0 经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数 经度角是一个二面角 0 经线也叫做本初子午线 东经180 经线和西经180 经线是同一条经线 即180 经线 0 经线和180 经线合成一个通过南北两极的大圆 解析 如图所示 sac的外接圆是外接球的一个大圆 所以只要求出这个外接圆的半径即可 而内切球的球心o到棱锥的各个面的距离相等 可由正四棱锥的体积求出其半径 点评 本题为我们提供了一个寻求正棱锥外接球半径和内切球半径的思路 读者可考虑如何求一个棱长为a的正四面体的外接球半径 类型四球的组合体问题解题准备 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数量关系 并作出合适的截面图 如球内切于正方体 切点为正方体各个面的中心 正方体的棱长等于球的直径 球外接于正方体 正方体的顶点均在球面上 正方体的体对角线长等于球的直径 球与旋转体的组合 通常作它们的轴截面解题 球与多面体的组合 通过多面体的一条侧棱和球心 或 切点 接点 作出截面图 典例4 在三棱锥s abc中 sa 底面abc 侧面sba和侧面sbc成直二面角 1 求证 侧面sbc为直角三角形 2 若 bsc 45 sb a 求三棱锥s abc的外接球的体积 分析 1 欲证侧面是直角三角形即证明bc sb即可 2 求外接球的体积关键是找到球心的位置 求出半径 然后利用体积公式求解 解析 1 证明 过a作ad sb于点d 平面sba 平面sbc ad 平面sbc bc 平面sbc bc ad sa 底面abc bc 底面abc sa bc bc 平面sab bc sb 侧面sbc为直角三角形 2 取sc的中点为o 连结ao bo 在rt sac与rt sbc中 oa so oc ob 即o到三棱锥s abc的四个顶点的距离相等 o为球心 点评 1 关于与球组合的组合体题型 关键是寻找球与其