湖北公安博雅中学高三数学二轮复习第26课时《化归与转化》学生用书

湖北省公安县博雅中学高三数学二轮复习 第26课时化归与转化学生用书高考趋势解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。一基础再现1.（2007云南昆明市质检题）若|xy3|=0，则点M(x,y)的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D.抛物线2.某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是 3.若关于x的方程cos2x4asinxa2=0在区间0,上有两个不同的解，则实数a的取值范围是 .二感悟解答1.答案：由原式可以变形为，即可以看作是动点（x,y)到点（3,1）的距离与到定直线xy3=0的距离的比为，故点M(x,y)的轨迹是双曲线.评析：本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的几何意义就凸现出来了，解题时要有一定的转化能力与数形结合的能力.2.答案：每月的利润组成一个等差数列an，且公差d0，每月的投资额组成一个等比数列bn，且公比q1。，且，比较与的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出aibi 则，即mN。 评析：把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的.在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新.2.答案： cos2x4asinxa212sin2x4asinxa2 =2sin2x4asinxa1令t=sinx，t0,1，则原题转化为方程2t24ata10在0,1上有两个根.令f(x)=2t24ata1，由二次函数图象可知：，解得：评析：本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题三范例剖析例1.正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两成400角，侧棱长为6，D 、 E为PB、PC 上的点，则ADE的周长的最小值是 变式：（06江西卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_ACBC1B1A1P例2已知奇函数的定义域为全体实数，且当时，问是否存在这样的实数，使得对所有的均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数；若不存在，试说明理由辨析：若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。例3.设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由辨析：已知二次函数f（x）=ax22x2a1，其中x=2sin（0）. 若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围.四巩固训练1.已知正方体 的棱长为4，则其内切球的体积为_，若点E是BB上的动点，则 AE + EC 的最小值是_.2. （07山东卷）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 3. 若存在a1，3，使得不等式ax2+(a2)x20成立，则实数x的取值范围是 4.已知，若恒成立，则的最大值为 。5.（07山东卷）