【优化方案】2012高考数学总复习 第9章§9.4空间向量及其运算(B)精品课件 大纲人教版

9 4空间向量及其运算 B 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 9 4空间向量及其运算 B 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 基础梳理 1 共线向量 共面向量 空间向量三定理辨析 1 共线向量基本定理对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是 存在实数 使a b p xa yb p xa yb zc a b c a b cos a b a b 3 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底 i j k 以O为原点 分别以i j k的方向为正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 它们都叫做坐标轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系O xyz 点O叫做原点 向量i j k叫做 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 坐标向量 3 空间向量的坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 R a1b1 a2b2 a3b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 提示 不是 向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面 或在平面 内两种情况 因此 在用共面向量定理证明线面平行时 必须说明向量所在的直线不在平面内 思考感悟 2 在空间直角坐标系中 P x y z 关于x轴 y轴 z轴的对称点如何 P x y z 关于原点的对称点如何 P x y z 关于xOy平面 yOz平面 zOx平面的对称点如何 记忆方法如何 提示 1 P x y z 关于x轴的对称点为P1 x y z 关于y轴的对称点为P2 x y z 关于z轴的对称点为P3 x y z 2 P x y z 关于原点的对称点为P4 x y z 3 P x y z 关于xOy平面的对称点为P5 x y z 关于xOz平面的对称点为P6 x y z 关于yOz平面的对称点为P7 x y z 上述结论的记忆方法为 关于谁对称谁就不变 其余符号相反 例如 关于x轴的对称点横坐标不变 而纵坐标 竖坐标分别变为原来的相反数 课前热身 答案 B 2 已知a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 则下列结论正确的是 A a c b cB a b a cC a c a bD a b b c答案 C 答案 B 4 在空间直角坐标系中 正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A 3 1 2 其中心M 0 1 2 则该正方体的棱长为 5 已知2a b 0 5 10 c 1 2 2 a c 4 b 12 则 b c 答案 120 考点探究 挑战高考 考点突破 空间向量的线性运算可类比平面向量的线性运算 其依据是空间向量基本定理 平行四边形法则 三角形法则 参考教材例1 思路分析 尽可能使第二个向量的起点与第一个向量的终点相结合 再使第三个向量的起点与第二个向量的终点相结合 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算 解决此类问题的关键是熟练应用公式 准确计算 参考教材例2 思路分析 根据坐标的概念 首先寻找各点坐标 再求对应向量坐标 思维总结 在空间直角坐标系中 无论是点还是向量 其坐标是三个实数组成的一组数 它们的运算也应是三个坐标的结果 互动探究在本例的正方体中 若a垂直平面D1AC 则称a为平面D1AC的法向量 求平面D1AC的单位法向量的坐标 利用向量证明平行 转化为向量共线 证明垂直转化为数量积为0 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2AD 2 点E F分别为C1D1 A1B的中点 1 求证 EF 面BB1C1C 2 求证 DF 面A1BE 证明 根据题意 以D为原点 棱DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A1 1 0 2 B1 1 2 2 C1 0 2 2 D1 0 0 2 A 1 0 0 B 1 2 0 C 0 2 0 思维总结 解题的关键是建立空间直角坐标系 利用向量法 把证明直线与平面平行的问题转化为计算向量的问题 把求线面垂直转化为数量积的计算 方法技巧1 空间向量的加法 减法 数乘运算以及两个空间向量的数量积的定义 运算律与性质均与平面向量完全一样 2 选定空间不共面的三个向量作基向量 并用它们表示出指定的向量 解题时应结合已知和所求观察图形 联想相关的运算法则和公式等 表示出所需向量 再对照目标 将不符合目标要求的向量作新的调整 如此反复 直到所有向量都符合目标要求 如例1 方法感悟 4 利用空间向量证明线面平行 只要在平面 内找到一条直线的方向向量为b 已知直线的方向向量为a 证明a b即可 如例3 5 利用空间向量证明两条异面直线垂直 在两条异面直线上各取一个向量a b 只要证明a b 即a b 0即可 6 证明线面垂直 直线l 平面 要证l 只要在l上取一个非零向量p 在 内取两个不共线的向量a b 问题转化为证明p a且p b 也就是a p 0且b p 0 如例3 1 用已知向量表示未知向量 一定要结合图形 以图形为指导是解题的关键 如例1 2 共线向量不具备传递性 除去零向量时共线向量才具备传递性 3 要用共线向量定理证明向量a b所在的直线平行 除证明a b外 还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外 失误防范 考向瞭望 把脉高考 考情分析 从近两年的高考试题来看 常以解答题的形式考查有关平行 垂直的证明及夹角和距离的求法 由于空间向量仅作为解决问题的一种工具 因此考查的难度一般都不大 考查的热点在于利用空间向量的坐标运算将复杂的立体几何问题 代数化 从而使问题化难为易 2010年的高考中 只有广东理第10题单纯地考查空间向量的坐标运算 其余各省市考题都是在解答题中以空间几何体为载体 恰当地建空间直角坐标系 灵活运用向量夹角公式求线线角 线面角 二面角 利用数量积解决线面 面面的垂直问题 预测2012年高考仍将以解答题的形式考查空间向量及其运算 难度一般都不大 尤其要重视恰当的空间坐标系的建立和准确的计算 垂直关系 线面角 二面角的考查仍会是重点 本题满分13分 2010年高考安徽卷 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EF FB AB 2EF BFC 90 BF FC H为BC的中点 1 求证 FH 平面EDB 2 求证 AC 平面EDB 3 求二面角B DE C的大小 规范解答 名师点评 本题重点考查了线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明以及二面角的求法 本题的向量解法 计算量并不大 推理易于理解 但空间坐标系的建立并不轻松 有的考生并没有证明出FH 面ABC 就直接以H为原点建立了坐标系 这是不完备的 另外个别考生把其中一个平面的法向量找错得出 n1 n2 120 时 没有根