平面向量的坐标运算

1 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 两个向量的夹角两个向量的夹角 1 定义 已知两个 向量 a 和 b 作 OA a OB b 则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角 2 范围 向量夹角 的范围是 a 与 b 同向时 夹角 a 与 b 反向时 夹角 3 向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 则 a 与 b 垂直 记作 2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理 定理 如果 e1 e2是同一平面内两个 的向量 那么对于这一平面内的任 一向量 a 一对实数 1 2 使 a 其中 不共线的向量 e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 2 平面向量的正交分解 一个平面向量用一组基底 e1 e2表示成 a 1e1 2 e2的形式 我们称它为向量 a 的分解 当 e1 e2所在直线 时 就称为向量 a 的正交分解 注 注 1 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础 他保证了以原点为始点 的向量与坐标是一一对应的 在应用时 构成两个基底向量是不共线向量 2 用向量证明几何问题的一般思路 先选择一组基底 并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式 再通过向 量的运算来证明 注意 1 零向量不能作为基底 2 两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底 题型一题型一 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 例例 1 如图 P 是 ABC 内一点 且满足条件 2 3 设 Q 为 CP 的延长线与 AB 的 0 交点 令 试用 表示 跟踪练习跟踪练习 1 设两个非零向量 e1和 e2不共线 如果 AB e1 e2 BC 3e1 2e2 CD 8e1 2e2 求证 A C D 三点共线 2 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量 i j 作为基底 对于 平面上的向量 a 有且只有一对有序实数 x y 使 a xi yj 把有序数对 称为向量 a 的 直角 坐标 记作 a 其中 叫 a 在 x 轴上的坐标 叫 a 在 y 轴上 的坐标 设 OA xi yj 则向量 OA 的坐标 x y 就是终点 A 的坐标 即若 OA 则 A 点 坐标为 反之亦成立 O 是坐标原点 3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 1 加法 减法 数乘运算 设 则 1 1 2 2 2 向量坐标的求法 已知 A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标 3 平面向量共线的坐标表示 设 x1 y1 x2 y2 其中 0 则 与 共线 题型二题型二 向量的坐标运算向量的坐标运算 例例 2 已知平面向量 x 1 x x2 则向量 平行于 跟踪练习跟踪练习 2 1 已知 3 2 1 0 向量 与 2 垂直 则实数 的值为 2 已知平面向量 1 1 1 1 则向量 例例 3 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 A 3 1 B 1 3 若点 C 满足 其中且 则点 C 的轨迹方程为 OC 1 题型三题型三 平行 共线 向量的坐标运算平行 共线 向量的坐标运算 例例 4 已知向量 1 2 x 1 2 2 且 求实数 x 的值 跟踪练习跟踪练习 4 平面内给定三个向量 3 2 1 2 4 1 回答下列问题 2 1 3 2 3 1 若 k 2 求实数 k 2 设 x y 满足 且 1 求 2 已知向量 a 2 3 b 1 2 若 ma nb 与 a 2b 共线 则 3 已知向量 a b x 1 其中 x 0 若 a 2b 2a b 则 x 的值为 题型四题型四 向量与其他知识的综合向量与其他知识的综合 例例 5 已知点 A 1 0 B 0 2 C 1 2 求以 A B C 为顶点的平行四边形的第 四个顶点 D 的坐标 跟踪练习跟踪练习 5 已知点 A 1 2 B 2 8 以及 求点 C D 的坐 标和向量的坐标 例例 6 已知向量与向量的对应关系用表示 2 1 设 求向量与的坐标 1 1 1 0 2 求使的向量 的坐标 为常数 3 证明 对任意的向量 及常数 m n 恒有成立 基础自测基础自测 1 若向量 1 1 1 1 2 1 则 用 表示 3 1 3 1 m n 2 1 8 x 4 2 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 1 3 则 3 设 且 则锐角 x 为 3 4 1 3 1 2 4 若向量 1 1 1 1 4 2 则 用 表示 5 在平面直角坐标系 xOy 中 四边形 ABCD 的边 AB DC AD BC 已知 A 2 0 B 6 8 C 8 6 则 D 点的坐标为 6 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 且 3 2 求点 M N 及的坐标 7 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 且 3 2 1 求 3 3 2 求满足 m n 的实数 m n 附录附录 向量的正交分解与直角坐标运算考点解析向量的正交分解与直角坐标运算考点解析 一 平面向量基本定理的考查 例 1 设 M N P 是三边上的点 它们满足 若 BM 1 3 CN 1 3 AP 1 3 AB 试用将 表示出来 MNNPPM 5 二 平面向量坐标运算的考查 例 2 若 A B C 三点的坐标分别为 2 4 0 6 8 10 则 2 ABBCBC 的坐标分别为 1 2 三 向量共线条件的考查 例三 已知 1 2 3 2 当实