高三数学：导数的概念 新课标人教版导数的概念(一） .ppt

导数的概念 一 问题1 当x x0时函数f x 的极限的定义 一般地 当自变量x无限趋近于常数x0 但x不等于x0 时 如果函数f x 无限趋近于一个常数a 就说当x趋近于x0时函数f x 的极限是a 记作 也叫函数f x 在点x x0处的极限 问题2 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线 直线与曲线有唯一公共点时 直线叫曲线过该点的切线 如果能 请说明理由 如果不能 请举出反例 不能 问题3 为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线 一 曲线的切线 当自变量从x0变化到x1时 相应的函数值从f x0 变化到f x1 y f x1 f x0 函数值的增量 x x1 x0 自变量的增量 m x y y0 f x0 y1 f x1 q x0 x y0 y y f x0 x f x0 设曲线c是函数y f x 的图象 在曲线c上取一点p x0 y0 及邻近一 点q x0 x y0 y 过p q两点作割 线 当点q沿着曲线无限接近于点p 点p处的切线 即 x 0时 如果割线pq有一个极 限位置pt 那么直线pt叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 t x y o p q m 问题3 为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线 设割线pq的倾斜角为 切线pt的倾斜角为 当 x 0时 割线pq的斜率的极限 就是曲线在点p处的切线的斜率 即 tan m x y 曲线在某一点处的切线的斜率公式 x o y y f x q tan 例1 求曲线y x2 1在点p 1 2 处的切线的方程 k 解 y f 1 x f 1 1 x 2 1 1 1 2 x x 2 曲线在点p 1 2 处的切线的斜率为 因此 切线方程为y 2 2 x 1 即y 2x k 注 求曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线的斜率的方法 1 求 y f x0 x f x0 练习 1 已知曲线y 2x2上一点a 1 2 求 1 点a处的切线的斜率 2 点a处的切线方程 2 求曲线y x2 1在点p 2 5 处的切线的方程 小球作直线运动 设其运动方程为s s t s 注 t为时间增量 s为位移增量 平均速度 二 瞬时速度 例 物体自由落体的运动方程是s s t 其中位移单位是m 时间单位是s g 9 8m s 怎样求t 3这一时刻的速度 分析 在t 3临近取一小段时间 3 3 t 在这段时间 t内 物体的位移增量 平均速度 当 t 1时 3 05g 3 005g 3 0005g 3 00005g 3g 29 4 m s 即为物体在t 3这一时刻的速度 也叫瞬时速度 一般地 如果物体的运动规律是s s t 那么 物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时的平均速度的极限 即 例2 一球沿斜面自由滚下 其运动方程是s t t2 位移单位 m 时间单位 s 求小球在t 5时的瞬时速度 解 s s 5 t s 5 5 t 2 52 10 t t 2 即小球在t 5时的瞬时速度为10m s 注 求非匀速直线运动物体s s t 在时刻t0的瞬时速度的方法 1 求位移增量 s s t0 t s t0 练习 1 质点m按规律s 2t2 3作直线运动 求质点m在t 2时的瞬时速度 位移单位 m 时间单位 s 2 质点m的运动方程为s t3 求质点m在t 3时的瞬时速度 位移单位m 时间单位 s 小结1 曲线在某一点处的切线及斜率2 运动物体在某一时刻的瞬时速度 k 作业 1 求曲线y x3 2在x 2处的切线方程 2 求曲线y x 1 1在x 0处的切线方程质点m按规律s 2t2 2t作直线运动 求 该质点在t 3时的瞬时速度 位移单位 m 时间单位 s 思考题 2 如果函数y f x 在x0处有增量 x