八年级（下）数学第2课时矩形的判定

第2课时矩形的判定1.四边形ABCD的对角线交于点O,能说明四边形ABCD是矩形的条件是(B)(A)OA=OC,OB=OD(B)OA=OB=OC=OD(C)AB=BC,OA=OC(D)OA=OC,OB=OD,ACBD2.(原创题)如图所示,在ABCD中,AC=BD=6 cm,CD=4 cm,则BC的长为(D)(A)3 cm(B)4 cm(C)3 cm(D)2 cm3.如图,四边形ABCD中,AB=CD,且ABBC,CDBC,延长边BC至点E,使CE=BD,连接AE,如果ADB=30,则E的度数为(A)(A)15(B)20(C)25(D)304.如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形时,原四边形ABCD必须满足的条件是(C)(A)ADCD(B)AD=CD(C)ACBD(D)AC=BD5.已知:线段AB,BC,ABC=90.求作:矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:甲:(1)以点C为圆心,AB长为半径画弧;(2)以点A为圆心,BC长为半径画弧;(3)两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求,如图.乙:(1)连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;(2)连接BM并延长,在延长线上取一点D,使MD=MB,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求,如图.对于两人的作业,下列说法正确的是(A)(A)两人都对 (B)两人都不对(C)甲对,乙不对(D)甲不对,乙对6.如图所示,直角AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为12.7.如图,在ABC中,AB=AC,将ABC绕点C旋转180得到FEC,连接AE,BF.当ACB为60度时,四边形ABFE为矩形.8.如图,四边形ABCD中,对角线ACBD,E,F,G,H分别是各边的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是12.9.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AOD是等边三角形,AD=4,则CD的长为43.10.(2016翔安区模拟)如图,在ABC中,BAC=90,AB=8,BC=10,O为BC的中点,OE平分AOB,与AB相交于点E,OD平分AOC,与AC相交于点D.求证:四边形ADOE为矩形,并求四边形ADOE的周长.解:因为BAC=90,O为BC的中点,所以OA=12BC=OB=OC,因为OE平分AOB,OD平分AOC,所以OEAB,AE=BE,ODAC,AD=CD,所以AEO=ADO=BAC=90,所以四边形ADOE为矩形,所以AE=OD,AD=OE,因为AB=8,BC=10,所以AC=BC2-AB2=6,所以AE=12AB=4,AD=12AC=3,所以四边形ADOE的周长=2(AD+AE)=2(3+4)=14.11.(2016黄冈二模)在ABC中,D是BC边的中点,E,F分别在AD及其延长线上,CEBF,连接BE,CF.(1)求证:BDFCDE;(2)若DE=12BC,试判断四边形BFCE是怎样的四边形,并证明你的结论.(1)证明:因为CEBF,所以CED=BFD,因为D是BC边的中点,所以BD=DC,在BDF和CDE中,BFD=CED,BDF=CDE,BD=CD.所以BDFCDE(AAS).(2)解:四边形BFCE是矩形,证明:因为BDFCDE,所以DE=DF,因为BD=DC,所以四边形BFCE是平行四边形,因为DE=12EF,DE=12BC,所以EF=BC,所以四边形BFCE是矩形.12.如图所示,在ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由.(2)当ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.解:(1)BD=CD.理由如下:因为AFBC,所以AFE=DCE,因为E是AD的中点,所以AE=DE,在AEF和DEC中,AFE=DCE,AEF=DEC,AE=DE,所以AEFDEC(AAS),所以AF=CD,因为AF=BD,所以BD=CD.(2)当ABC满足:AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由如下:因为AFBD,AF=BD,所以四边形AFBD是平行四边形,因为AB=AC,BD=CD,所以ADB=90,所以四边形AFBD是矩形.13.(拓展探究题)如图,在ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B,C重合),PEAB于E,PFAC于F,则EF的最小值为(B)(A)4(B)4.8(C)5.2(D)614.(2016谷城县期末)如图,将平行四边形ABCD的边AB延长至点E,使BE=AB,连接BD,DE,EC,DE交BC于点O.(1)求证:ABDBEC;(2)若BOD=2A,求证:四边形BECD是矩形.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,ABCD,则BECD.又因为AB=BE,所以BE=DC,所以四边形BECD为平行四边形,所以BD=EC.所以在ABD与BEC中,AB=BE,BD=EC,AD=BC.所以ABDBEC(SSS).(2)由(1)知,四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.因为四边形ABCD为平行四边形,所以A=OCD,又因为BOD=2A,所以BOD=2OCD因为BOD=OCD+ODC,所以OCD=ODC,所以OC=OD,所以OC+OB=OD+OE,即BC=ED,所以四边形BECD为矩形.15.(动点问题)如图所示,在ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的平分线于点E,交ABC的外角ACD的平分线于点F,连接AE,AF.(1)求证:EO=FO;(2)当O点运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.(1)证明:因为MNBC,所以OEC=BCE.又由题意知OCE=BCE,所以OEC=OCE,所以EO=CO.同理可证FO=CO,所以EO=FO.(2)解:当O点运动到线段AC的中点