高考数学（文科）压轴大题突破练（直线与圆锥曲线【2】）（含答案）

压轴大题突破练直线与圆锥曲线(二)1如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由(3)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值(1)解由题意，可得e，1，a2b2c2，解得a2，b，c，所以椭圆C的方程1.(2)解设直线BD的方程为yxm，D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x22mxm240，所以8m26402m|F1F2|2，根据椭圆的定义，知动点M的轨迹是以F1(0，)，F2(0，)为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的标准方程为1(ab0)，则a2，c，a24，c23，b2a2c21，曲线C的方程为x21.设l的方程为ykx，由，消去y得，(k24)x22kx10，(2k)24(k24)0，且x1x2，x1x2.mn，mn0，4x1x2y1y24x1x2(kx1)(kx2)(4k2)x1x2k(x1x2)3(k24)k30，解得k.即直线l的斜率k的值为.(2)当直线AB的斜率不存在时，有x1x2，y1y2.由mn0，得4xy0，即y4x.又A(x1，y1)在椭圆上，x1，|x1|，|y1|.SOAB|x1|y1y2|x1|y1|1(定值)当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxt.由消去y得，(k24)x22ktxt240，4k2t24(k24)(t24)0，且x1x2，x1x2.mn0，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，(k24)x1x2kt(x1x2)t20，(k24)ktt20，整理得2t2k24.SOAB|AB|t|1(定值)综上，AOB的面积为定值3.如图，已知抛物线C：y22px和M：(x4)2y21，圆心M到抛物线C的准线的距离为.过抛物线C上一点H(x0，y0)(y01)作两条直线分别与M相切于A、B两点，与抛物线C交于E、F两点(1)求抛物线C的方程；(2)当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；(3)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值解(1)由题意知M的圆心M的坐标为(4,0)，半径为1，抛物线C的准线方程为x，圆心M到抛物线C的准线的距离为，4，解得p，从而抛物线C的方程为y2x.(2)AHB的角平分线垂直x轴，点H(4,2)，AHB60，可得kHA，kHB，直线HA的方程为yx42，联立方程得y2y420，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，则yE2，yE，xE，同理可得yF，xF，kEF.(3)方法一由题意可设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则kMA，kMB，HA、HB是M的切线，HAMA、HBMB，因此kHA，kHB，所以直线HA、HB的方程分别为(4x1)xy1y4x1150，(4x2)xy2y4x2150，又点H在抛物线上，有yx0，点H的坐标为(y，y0)(y01)，分别代入直线HA、HB的方程得(4x1)yy1y04x1150，(4x2)yy2y04x2150，可整理为(4y)x1y0y14y150，(4y)x2y0y24y150，从而可求得直线AB的方程为(4y)xy0y4y150，令x0，得直线AB在y轴上的截距为t4y0(y01)，考虑到函数f(x)4x(x1)为单调递增函数，tmin4111.方法二由(1)知，设点H(y，y0)(y01)，则HM2y7y16，HA2y7y15.以H为圆心，HA为半径的圆的方程为(xy)2(yy0)2y7y15，又M的方程为(x4)2y21.得：直线AB的方程为(2xy4)(4y)(2yy0)y0y7y14.当x0时，直线AB在y轴上的截距t4y0(y01)，t关于y的函数在1，)上单调递增，tmin11.4如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切A、B是椭圆的左、右顶点，直线l过B点且与x轴垂直(1)求椭圆C的标准方程；(2)设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GHx轴于点H，延长HG到点Q使得HGGQ，连接AQ并延长交直线l于点M，N为线段MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论解(1)由题意可得e.以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切，b，解得b1.由a2b2c2，可得a2.椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)可知A(2,0)，B(2,0)，直线l的方程为x2.设G(x0，y0)(y00)，于是H(x0,0)，Q(x0,2y0)，且有y1，即4y4x.连接BQ，设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ，kBQ，kAQkBQ1，即AQBQ，点Q在以AB为直径的圆上直线AQ的方程为y(x2)由解得即M(2，)，N(2，)直线QN的斜率为kQN，kOQkQN1，于是直线OQ与直线QN垂直，直线QN与以AB为直径的圆O相切中档大题规范练数列1已知公差大于零的等差数列an的前n项和Sn，且满足：a2a464，a1a518.(1)若1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值(2)设bn，是否存在一个最小的常数m使得b1b2bn0，所以a2a4，所以a25，a413.所以所以a11，d4.所以an4n3.由1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1a21a，即181(4i3)2，解得i3.(2)由(1)知，Snn142n2n，所以bn()，所以b1b2bn(1)，因为，所以存在m使b1b2bnm对于任意的正整数n均成立2设Sn为数列an的前n项和，已知a10,2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和解(1)令n1，得2a1a1a，即a1a.因为a10，所以a11.令n2，得2a21S21a2，解得a22.当n2时，由2an1Sn,2an11Sn1，两式相减得2an2an1an，即an2an1.于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列因此，an2n1.所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1.2Bn12222323n2n.，得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.即数列nan的前n项和为1(n1)2n.3设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a11，设数列bn满足bnan2n.(1)求证数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列cn，Tn是数列cn的前n项和，证明：Tn3.(1)解当n2时，由2anan1an2nan13an2n，从而bn1an12n13(an2n)3bn，故bn是以3为首项，3为公比的等比数列，bnan2n33n13n，an3n2n(n2)，因为a11也满足，于是an3n2n.(2)证明cn，则Tn，Tn，得Tn122，故Tn33.4已知单调递增数列an的前n项和为Sn，满足Sn(an)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.解(1)n1时，a1(a1)，得a11，由Sn(an)，则当n2时，Sn1(an1)，得anSnSn1(aa1)，化简得(an1)2a0，anan11或anan11(n2)，又an是单调递增数列，故anan11，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.(2)cn当n为偶数时，Tn(c1c3cn1)(c2c4cn)()3(21232n1)3()2(41)2n1.当n为奇数时，Tn(c1c3cn)(c2c4cn1)3(21232n2)()2(41)2n.所以Tn5已知函数f(x)，数列an满足a11，an1f()，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn