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第二讲参数方程 1 参数方程的概念 1 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即并且对于t的每一个允许值 由上述方程组所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数叫做参变数 简称参数 参数方程的参数可以是有物理 几何意义的变数 也可以是没有明显意义的变数 2 相对于参数方程来说 前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 叫做曲线的普通方程 3 参数方程与普通方程的互化 注 1 参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横 纵坐标之间的关系 而是分别体现了点的横 纵坐标与参数之间的关系 2 参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时 通过参数建立间接的联系 已知曲线c的参数方程是 1 判断点 0 1 5 4 是否在 上 已知点 a 在曲线 上 求a 圆的参数方程 并且对于的每一个允许值 由方程组 所确定的点p x y 都在圆o上 5 o 思考1 圆心为原点 半径为r的圆的参数方程是什么呢 观察2 a b r 又 所以 例1 已知圆方程x2 y2 2x 6y 9 0 将它化为参数方程 解 x2 y2 2x 6y 9 0化为标准方程 x 1 2 y 3 2 1 参数方程为 为参数 练习 1 填空 已知圆o的参数方程是 0 2 如果圆上点p所对应的参数 则点p的坐标是 a 的圆 化为标准方程为 解 设m的坐标为 x y 可设点p坐标为 4cos 4sin 点m的轨迹是以 6 0 为圆心 2为半径的圆 2 例2 如图 已知点p是圆x2 y2 16上的一个动点 点a是x轴上的定点 坐标为 12 0 当点p在圆上运动时 线段pa中点m的轨迹是什么 例题 1 解 设m的坐标为 x y 点m的轨迹是以 6 0 为圆心 2为半径的圆 由中点坐标公式得 点p的坐标为 2x 12 2y 2x 12 2 2y 2 16 即m的轨迹方程为 x 6 2 y2 4 点p在圆x2 y2 16上 例2 如图 已知点p是圆x2 y2 16上的一个动点 点a是x轴上的定点 坐标为 12 0 当点p在圆上运动时 线段pa中点m的轨迹是什么 例题 例3 已知点p x y 是圆x2 y2 6x 4y 12 0上动点 求 1 x2 y2的最值 2 x y的最值 3 p到直线x y 1 0的距离d的最值 解 圆x2 y2 6x 4y 12 0即 x 3 2 y 2 2 1 用参数方程表示为 由于点p在圆上 所以可设p 3 cos 2 sin x2 y2的最大值为14 2 最小值为14 2 2 x y 3 cos 2 sin 5 sin x y的最大值为5 最小值为5 3 显然当sin 1时 d取最大值 最小值 分别为 小结 1 圆的参数方程2 参数方程与普通方程的概念3 圆的参数方程与普通方程的互化4 求轨迹方程的三种方法 相关点点问题 代入法 参数法 定义法5 求最值 例4 将下列参数方程化为普通方程
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