高中数学核心概念的教学研究.ppt

高中数学核心概念的教学研究 目录 一 数学概念教学的重要性二 数学概念教学 教什么 三 数学概念教学典型案例分析 一 数学概念教学的重要性 知名华人数学家 哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州 去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面 结果却让他颇为失望 大多数学生对数学根本没有清晰的概念 对定理不甚了了 只是做习题的机器 这样的教育体系 难以培养出什么数学人才 李邦河院士 数学根本上是玩概念的 不是玩技巧 技巧不足道也 概念教学常常采用 一个定义 几项注意 的方式 以解题教学代替概念教学的做法 严重偏离了数学的正轨 必须纠正 否则 学生在数学上耗费大量时间 精力 结果可能是对数学的内容 方法和意义知之甚少 数学育人 终将落空 数学是用概念思维的 在概念学习中养成的思维方式 其迁移能力也最强 数学概念教学的意义 不仅在于使学生掌握 书本知识 更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程 领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛 学会用概念思维 进而发展智力和培养能力 二 数学概念教学 教什么 1 教数学概念的本质概念 反映事物本质属性的思维产物 数学 空间形式和数量关系 数学概念 反映数学对象的本质属性的思维产物 本质属性 共有性 特有性 整体性 相对性 在一定范围内保持不变的性质是 本质属性 而可变的性质则是 非本质属性 1 概念教学的关键是揭示本质属性示例1 集合概念的教学幼儿园孩子学习集合 应如何学习集合 示例2 数列概念的教学数列的本质是什么 应如何学习数列 示例3 函数概念的本质设a b是非空数集 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合a中的任意一个数x 在集合b中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b的一个函数 记作y f x x a 其中x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x a 叫做函数的值域 显然 值域是集合b的子集 进一步思考 函数的本质究竟是什么 a 非空数集 是函数的本质属性之一吗 b 单值对应 是函数的本质属性之一吗 c 对应法则 是函数的本质属性之一吗 d a同f同 但b不同的两个函数 是否为同一个函数 e 函数本质上是一种人为约定的特殊 对应 2 凸显概念本质的基本策略是 变式教学 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性 变式是变更对象的非本质属性或本质属性特征的表现形式 变更观察事物的角度或方法 以突出对象的本质特征 突出那些隐蔽的本质要素 概念变式和非概念变式 统称为概念性变式 示例4 复数的本质二元的复数不仅有数量意义 而且还有方向意义 数量加方向 是复数的本质属性 用几何形式表示 它的意义是一个向量 其本质特征是向量的长度和方向 用三角形式表示 在z r cos isin 中 r表示复数向量的长度 表示复数向量的方向 用代数形式表示 在z a bi中 复数向量的长度是 就表示了复数向量的方向 示例5 向量的数量积 代数表征 说明两个向量的数量积是3个实数的乘积 几何意义 叫做在的方向上的投影 故数量积在图形上表征为两条线段 长度 的乘积 变式理解 3 背会数学定义不等于掌握了数学概念示例6 一般地 在大量重复试验中 如果事件a发生的频率会稳定在某个常数p附近 那么事件发生的概率p a p 频率稳定于概率 是不是说频率的极限是概率 频率稳定于p 能不能写成 只有大量试验的频率才能作为概率的估计 频率总可以作为概率的估计 试验次数的多少只是影响估计的精度 试验次数随实际问题而定 把 用频率估计概率 错误地理解为用频率的稳定值估计概率或频率的稳定值是概率的估计等 频率的稳定值就是概率 但仅从试验中我们无法知道频率的稳定值具体是多少 试验次数少频率不准确 随着试验次数的增加频率越来越接近概率 频率随试验结果而改变 没有准确与不准确的问题 试验结果确定了 频率就定了 试验次数的增加 不能绝对保证频率越来越接近概率 只是当实验次数很大时 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小 4 概念教学应 淡化形式 注重实质 陈省身 当然不能考定义 定理 只能考具体问题 看你能不能把定义落实到例子上 示例7 对称轴 角 导数 定积分思考 是指数函数吗 是对数函数吗 给出一个函数 怎么知道它能否变成一个指数函数或对数函数呢 2 教数学概念的过程示例8 直线的方向向量与平面的法向量 为什么要提出方向向量与法向量的概念 如何来刻画直线与平面的方向 为什么要用向量平行来刻画直线的方向 为什么要用向量的垂直来刻画平面的方向 李祎 基于探究学习的数学教学策略研究 数学通报 2009年第2期 示例9 函数的单调性 形式化过程 单调性教学设计大体从三个层次展开 首先 观察图像 描述变化规律 如上升 下降 从几何直观角度加以认识 其次 结合图 表 用自然语言描述 即因变量随自变量的增大而增大 或减小 最后 用数学符号语言描述变化规律 逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律 教学的困惑 从图像上不难获得图像 上升 或 下降 的直观特征 但为什么还要进一步来研究它呢 解释和说明 上升 下降 是一种日常语言 用日常语言描述 单调增 单调减 这样的数学性质是不够准确的 能否用数学语言来描述函数的这种特点呢 如果可以的话 又该如何来描述呢 这时结合图像的特点 即它是 函数 的图像 从而根据函数的意义 自然过渡到第二个层次 教学的难点 如何用符号化的数学语言来描述递增的特征 这其中有两个难点 3 教数学概念的方法数学概念是基于问题解决的需要而建立的 但有的数学概念本身就蕴含着解决问题的方法 这时教师在教学中需要着重思考 概念解决的是什么类型的问题 解决问题的思路与方法是什么 不能将数学概念教学简单化 以为学生会利用概念进行推理和运算就是理解了概念 示例10 古典概型与几何概型解决问题 随机试验中某一事件发生的概率 适用条件 两者均是等可能概型 古典概型适用于试验结果有限个的情形 几何概型适用于试验结果无限多的情形 解决方法 辨别 计算 概率模型的类型 是相对而言的 一个靶子如图所示 飞镖手随机地掷一个飞镖扎在靶子上 假设飞镖既不会落在靶心 也不会落在两个区域之间 求飞镖落在4号区域的概率 示例11 导数与定积分解决问题 导数求解的是瞬时变化率问题 定积分求解的是总量问题 解决思路 导数是辩证转化与否定之否定思想的成功运用 定积分是 化整为零 积零为整 的辩证思想的成功应用 导数概念的引入 百米跑老师 小王的100米成绩是12秒 很快的速度 这里讲的是他跑这100米的平均速度 在他撞线时肯定有速度 我们能否知道他撞线时的速度 学生议论 不知道加速度呀 也不一定是匀加速呀 老师明确说明 百米赛跑刚起跑加速度大 中间几乎是匀速 冲刺时又可能加速 整个过程不可能是匀加速运动 学生的讨论陷入了僵局 这时老师就处于不能自己讲又不能一味等的两难境地 合理的问题引导才是让学生思维突破的上策 老师引导 速度是路程与时间的比值 我们能不能找一种近似的方法来描述撞线的速度呢 受到启发后 随即有同学举手回答 用最后1秒里跑的路程除以时间 或者是找出最后一段时间里的路程除以时间 很多同学认可 老师继续引导 假设第12秒里小王跑了10米 那么第12秒里的平均速度就是10米 秒 我们可以用10米 秒来近似地描述他撞线的速度 如果他在最后的0 5秒里跑了5 5米 那么他在最后半秒里的速度是11米 秒 我们也可以用这个速度近似描述他撞线的速度 请同学思考 这种用一段较短时间里的平均速度近似描述撞线速度的办法 怎样描述才会更精确一些呢 学生抢着回答 时间取得越短越精确 另一学生又站起来说 时间越来越小渐渐趋向于0时 平均速度就越来越接近于瞬时速度 同学们喜形于色 议论纷纷 老师继续引导 那平均速度与瞬时速度是不是一回事呀 同学齐答 不是 4 教数学概念的联系在讲某个概念时 首先要在宏观上认识这个概念在数学知识体系中的地位与作用 不要一开始就把焦点放在概念的定义 内涵等具体内容上 首先思考 为什么要引入这个概念 这个概念与相邻概念之间有何联系与区别 等问题 这样就能在头脑中建立由基本概念构成的概念系统 教师在教学中把这种观念传递给学生 学生就会围绕这个概念逐步构建起一个概念网络 网络的结点越多 通道越丰富 概念理解就越深刻 面临复杂问题时 就容易产生思维指向 实现转化 迁移 这正是形成数学能力的基本要素 示例12 函数的零点定义 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 示例13 单调性 斜率 正切 导数a 单调性b 斜率直线是线性的 它描述的是均匀变化 是最简单的变化 即直线在某个区间上的平均变化率 与直线上任意一点x0的瞬时变化率 导数 是相同的 都等于这条直线的斜率k c 正切d 导数导数是平均变化率的极限 即表示瞬时变化率 其几何意义是切线的斜率 递增 递减 三 数学概念教学典型案例分析 数学中的概念大多有其发生 发展和完善的经历 教师在讲概念之前一定要研究清楚概念的来龙去脉 对概念本身要有深入的理解 对概念的 前世今生 理解不透彻 就不能揭示概念产生的合理性和必然性 还有可能误导学生 所以 概念课前教师必须深入研究概念 正确理解概念 做到知其然 知其所以然 人教版教材 数学概念 数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的 如果有人感到某个概念不自然 是强加于人的 那么只要想一下它的背景 它的形成过程 它的应用 以及它与其他概念的联系 你就会发现它实际上是水到渠成 浑然天成的产物 不仅合情合理 甚至很有人情味 在教学前需要对概念进行学术解构和教学解构 学术解构是指从数学学科理论角度对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析 包括概念的内涵和外延 概念所反映的思想方法 概念的历史背景和发展 概念的联系 地位作用和意义等 教学解构是在学术解构的基础上 对概念的教育形态和教学表达进行分析 重点放在概念的发生发展过程的解析上 包括对概念抽象概括过程的 再造 辨析过程 内涵与外延的变式 正例和反例的举证 和概念的运用 变式应用 等 案例1 函数的奇偶性 1 学习背景分析小学数学 二年级 美丽的对称图形 认识并画出 画一画 五年级 图形的变换 轴对称 方格纸上研究轴对称 量一量 数一数 初中数学 初二 轴对称 坐标系中研究轴对称的特征和性质 高中数学 函数的对称性 奇偶性 方程曲线的对称性 2 学习价值分析认识论的价值 经历从特殊 具体函数 到一般 抽象函数 从具体 运算 到抽象 概括 的思维过程 经由直观分析到演绎证明 从自然语言到符号表示 使学生认识到数学研究是一条从感性走向理性 从粗糙走向精细的发展之路 方法论的价值 奇偶性概念蕴涵的数学思想是 转化思想 即对于一个确定的奇函数或偶函数 如果已知该函数图像在y轴一侧的特征 便可推知该函数图像y轴另一侧的特征 3 直观特征为何要量化 为什么需要将图像的对称特征用形式化的符号表示出来 并以此作为函数奇偶性的定义 符号表示是一种数量关系的表示 目的是准确地表达图像上点与点之间位置关系的规律 从数量角度研究空间形式是数学上的要求 图像特征本质上是函数性质的直观表现 用函数符号来反映图像的对称性是一种回归 函数的奇偶性是函数自身的一种性质 因而需要用对应关系体现的性质来下定义 等 4 需要严格证明吗 结合具体函数图像观察和运算检验 不难得出 y f x 的图像关于y轴对称 等价于f x f x 是否要求学生对该结论进行证明呢 数学是讲 道理 的科学 看上去 显然成立 的结论往往需证明 这是理性精神的体现 培养理性精神 发展理性思维能力是高中数学的教学目标 引导学生对上述结论进行严格证明 不仅可以发展学生的逻辑思维能力 对于学生形成言必有据的科学态度也颇有裨益 在函数y f x 的图像上任取一点p x f x 写出点p关于y轴的对称点 x f x 根据图像对称性的定义 x f x 也在函数y f x 的图像上 由此得到f x f x 由于以上步骤可逆 因而从 对于定义域内的任意x 都有 f x f x 出发 也可获得 y f x 的图像关于y轴对称 的结论 5 能培养哪些能力 一是直观基础上的分析和概括能力 从整体到局部 即 函数图像的特征 向 点与点之间的位置关系 的转化 分析能力 从 形 到 数 即 点与点之间的位置关系 向 点的坐标之间的关系 的转化 分析能力 从特殊到一般 即借助具体的x的值和对应的f x 的值 归纳得到 图像上横坐标互为相反数的两个点 其纵坐标相等 概括能力 形式化表示 即 若x1 x2 则f x1 f x2 简记为 f x f x 符号表达能力 函数y f x 的图像关于y轴对称 存在点与点之间位置关系的规律性 因为点的横坐标 纵坐标分别表示自变量的值和其对应的函数值 所以自变量的值之间具有某种特殊关系时 对应的函数值之间也会呈现特定的关系 列出函数值对应表 观察和归纳得到 若x1 x2 则f x1 f x2 f x f x 二是推理论证能力 引导学生利用对称性的定义证明非逻辑手段获得的以下命题 发展学生的演绎证明能力 命题 若函数y f x 的图像关于关于y轴对称 则f x f x 反之 也成立 6 迁移价值分析发挥思维的迁移作用 获得超越课本的数学知识 一般地 对于函数y f x 若其图像关于直线x m对称 如何用对应关系f来表示这一图像特征呢 若其图像关于点q a b 对称 又如何用对应关系f来表示这一图像特征呢 函数图象的对称性 方程曲线的对称性 案例2 斜率不同版本的教材 其处理方式不同 大体有两类 1 用倾斜角的正切值定义斜率人教a版 鄂教版 湘教版 比如人教a版 确定直线位置的几何要素 倾斜程度 倾斜角 斜率 过任意两点的斜率公式 倾斜角代数化的理由斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性 解析思想 列方程之需 斜率在研究直线平行与垂直上的作用 一次函数y kx b中k的几何意义 斜率使用正切的理由首先与 坡度 概念一致 坡面的铅直高度和水平长度的比 垂直变化率 其次 不管是锐角变化 还是钝角变化 反映的都是倾斜角越大 斜率越大 第三 正切值就是直线的变化率 这样 采用正切值与导数保持了一致性 用倾斜角的正切值定义斜率的弊端为什么有了角已能确定直线的前提下 还一定要将其代数化 采用坡度的例子只能说明倾斜角为锐角的情形 倾斜角为钝角时是解释不清楚的 把代数形式的表示缩小到了 正切 为何要用正切 学生可能知其然 不知其所以然 2 直接用变化率定义斜率根据 两点确定一条直线 可知 两点就可刻画直线的倾斜程度 率 是指两个相关数的比值 x变化单位长时 看y变化了多少 实质是对x和y变化的快慢程度的刻画 角越大 倾斜程度越大 该特定比值越大 比如北师大版 倾斜角0 a0 我们称k为这条直线的斜率 通常我们把tana也叫做直线的斜率 倾斜角90 a0 我们称 k为这条直线的斜率 解析几何的本质是用 数 刻画 形 因而用数刻画直线的倾斜程度 符合解析几何的思想 倾斜角本身包含了形 用它来刻画直线的倾斜程度 就像 倾斜角相等 两直线平行 一样 看似直观 却不能体现解析几何的思想 教学思路新构想 两点确定一条直线 一点呢 一点无法确定直线的方向 两点可以确定直线的方向 直线定 倾斜程度定 用两点刻画直线的倾斜程度 联想坡度引出斜率概念 已知两点与任一动点 直线的两点式 一点加一倾斜角也可确定直线 任一动点和已知点 与倾斜角存在怎样的联系 动点运动所形成的直线的倾斜程度 用斜率刻画 发现它就是倾斜角的正切值 直线的点斜式 案例3 三角函数 1 三角函数的认知基础三角函数是函数的下位概念 同时又是锐角三角函数的上位概念 教学要以函数思想为指导 以锐角三角函数概念为认知起点 突破用直角三角形定义三角函数的思维局限 以坐标系和单位圆为定义工具 促进任意角三角函数定义的有效生成 2 三角函数的本质特征根据相似性说明比值的不变性特征 角的边上的任一点到另一边的距离 在另一边的投影 以及该点到角的顶点的距离 三者中任两者的比保持不变 揭示这一本质 既可在直角三角形中 也可在坐标系中 后者可体现三角函数的周期性特点 核心是对应关系 引入锐角三角函数 目的是为了研究三角形中的边角关系 定义侧重几何的角度 引入任意角三角函数 目的是为了研究周期变化现象 定义侧重代数的角度 3 三角函数的认知难点三角函数对应关系的 与众不同 主要表现在不以 代数运算 为媒介 以前遇到的y kx b y ax2 bx c y ax等 都有 运算 的背景 而三角函数是 直接对应 无须计算 三角函数是以角为自变量的函数 由角与比值的对应 再实现数到坐标的对应