湖北省武汉市届高三数学4月调研测试试题文（含解析）

湖北省武汉市2019届高三数学4月调研测试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合， ，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数性质求得集合，再利用交集定义求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.若复数，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据复数除法和模长的运算法则整理出.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数的除法运算和模长运算，属于基础题.3.若角满足，则( )A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式整理已知条件得，再将所求式子利用二倍角公式化简可求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等式，通过二倍角公式化简可得结果，属于基础题.4.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，求得本次抽查的学生中类人数是（ ）A. 30B. 40C. 42D. 48【答案】A【解析】【分析】根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数【详解】解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为120人，故选择A方式的人数为12042301830人故选：A【点睛】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力5.如图，在棱长为的正方体中，为中点，则四面体的体积( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由体积桥可知，求解出和高，代入三棱锥体积公式求得结果.【详解】为中点 又平面本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是能够利用体积桥将所求三棱锥更换顶点，从而更容易求得几何体的高和底面积，属于基础题.6.已知实数、满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，将问题转化为在轴截距的最小值问题，通过平移得到结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由得：则的最小值即为在轴截距的最小值由平移可知，当与重合时，截距最小此时截距为本题正确选项：【点睛】本题考查现行规划中求解型的最值问题，关键是能够将问题转化为截距的最值问题，属于常规题型.7.已知且，函数，在上单调递增，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可【详解】解：a0且a1，函数在R上单调递增，可得：，解得a（1，2故选：D【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查8.在中，角，的对边分别为，且， ，则角( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式可化简已知角的关系式，从而根据正弦定理得到：；根据余弦定理可求得；再根据边的关系可推导出，从而得到三角形为等边三角形，进而求得.【详解】即：由正弦定理得：又 为等边三角形本题正确选项：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，关键是能够通过定理对边角关系式进行处理，对公式应用能力要求较高.9.过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为，利用韦达定理可表示出的值，根据P点坐标求得8进而求得k，则直线AB的方程可得；利用弦长公式求得|AB|【详解】解：易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y2k（x4）代入双曲线C：，整理得（12k2）x2+8k（2k1）x32k2+32k100设此方程两实根为，则 又P（4，2）为AB的中点，所以8，解得k1当k1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0，所求直线AB的方程为y2x4化成一般式为xy208，10|AB|4故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等考查了学生综合分析和推理的能力10.某大学党支部中有名女教师和名男教师，现从中任选名教师去参加精准扶贫工作，至少有名女教师要参加这项工作的选择方法种数为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先确定没有女教师参加这项工作的选法种数，再利用选法的总数减掉没有女教师参加的情况，从而得到结果.【详解】没有女教师参加这项工作的选法有：种至少名女教师参加这项工作的选法有：种本题正确选项：【点睛】本题考查简单的组合问题，处理此问题时可采用加法原理，通过分类讨论得到结果；也可以采用间接法来进行求解.11.已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.【详解】在上投影为，即 又 本题正确选项：【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.12.设曲线，在曲线上一点处的切线记为，则切线与曲线的公共点个数为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过导数的几何意义求得切线方程；再将切线方程与曲线方程联立，求解出根的个数，从而得到公共点个数.【详解】 斜率方程为：，即由得：即：，曲线与的公共点个数为：个本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、高次方程的求解问题，解高次方程的关键是能够对其进行因式分解，从而得到结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】本题考查对数型的复合函数值域问题，关键是能够求解出真数所处的范围，再结合对数函数求得值域.【详解】且 值域为：本题正确结果：【点睛】本题考查对数型的复合函数的值域问题，属于基础题.14.已知函数的图象关于直线对称，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求解出函数对称轴方程后，代入，得到的取值集合；再根据的范围求得结果.【详解】 的对称轴为：又为对称轴 ，即又 ，即本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数图象特点求解解析式问题，具体考查的是根据对称轴方程求解初相，属于基础题.15.将一个表面积为的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为_.【答案】【解析】【分析】根据球心到底面距离、圆柱底面半径、球的半径之间的关系，构造出关于圆柱体积的函数关系式，通过导数求得取得最大值时球心到底面的距离，从而得到圆柱的高.【详解】由得： 设球心到圆柱底面距离为，圆柱底面半径为则圆柱体积令，则当时，圆柱体积最大则圆柱的高为：本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱的外接球问题，关键是能够构造出圆柱体与球的半径、球心到底面距离之间的函数关系式，再利用函数知识求解最值.16.已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点，若，则点坐标为_.【答案】【解析】【分析】假设直线方程和两点坐标；利用构造关于点坐标的方程，从而求得；联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系可求得点纵坐标，代入抛物线方程求得点横坐标，从而得到结果.详解】由抛物线方程得：设直线方程为：，设，联立得： 又， 又 又 本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线几何性质的应用，涉及到利用向量垂直关系构造出方程来进行求解的问题，考查学生转化的思想以及计算能力，属于常规题型.三、解答题：共70分o解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知正项等比数列的前项和满足， (1)求数列公比； (2)令，求的值【答案】（1）；（2）963【解析】【分析】（1）首先可验证出，之后利用等比数列求和公式用基本量表示出，解方程可求解得到；（2）由（1）可得和的前项和；通过的符号可知：，利用和的关系可将整理为：，代入中求出结果即可.【详解】（1）是正项等比数列 若时，则，不合题意，从而由得：，又，即，又（2）由（1）知，则前项和当时，；时，【点睛】本题考查等比数列基本量的求解、含绝对值的数列求和问题，解决含绝对值的数列求和问题的关键是能够根据通项公式判断出各项的符号，从而将绝对值符号去除，转变为正常的求和问题.18.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，面面， (1)证明：；(2)求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形和角度，可求得，从而根据勾股定理证得，可知为的中点，证得，根据线面垂直的判定定理得：面；再根据线面垂直的性质定理证得结论；（2）将点到面的距离转化为到面的距离；根据面面垂直的性质，可知若，则即为所求距离；再利用面积桥的方式求得即可.【详解】（1）证明：取中点，连接、是边长为的菱形，由得：，由 为的中点，为的中点 ，而面，又面 而 （2）由面知点与点到面距离相等由（1）知面，面，而面 面面过点作于又面面 面知即为点到面的距离 由面面，面面，面，面而面 又，【点睛】本题考查线线垂直的证明、点到面的距离问题的求解.立体几何中证明线线垂直的主要方法是根据线面垂直的性质定理证得结论；解决本题中点到面距离的关键是能够根据线面平行的关系将问题转化为点到面的距离，通过垂直关系作出垂线，利用面积桥的方式求解.19.年，在庆祝中华人民共和国成立周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为宗旨的第七届世界军人运动会据悉，这次军运会将于年月日至日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自全世界多个国家和地区的近万名军人运动员参赛相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生为此，武汉某高校为了在学生中更广泛的推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛，为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了名男生和名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：（注：问卷满分为分，成绩的试卷为“优秀”等级） (1)从现有名男生和名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(2)求列联表中，的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？男女总计优秀非优秀总计(3)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较附：，其中，.【答案】（1）男生0.58，女生0.53；（2）能在不超过的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”；（3）男生的成绩较好且稳定.【解析】分析】（1）根据频率分布直方图，分别求解出男女生横坐标大于等于的矩形的面积之和，既得概率；（2）分别计算出男女生优秀和非优秀的人数，补全列联表，从而求得；利用公式求得，再对比临界值表得到结论；（3）根据频率分布直方图估计平均数（或中位数），可知男生的平均数（或中位数）更大；再通过观察频率分布直方图可知男生的成绩分布比女生更集中，可知男生的成绩较好且稳定.【详解】（1）男生答卷成绩优秀概率女生答卷成绩优秀概率（2）由题意可得列联表如下：男女总计优秀非优秀总计，由得：能在在犯错的概率不超过的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”（3）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在到之间，女生成绩的平均分（中位数）在到分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算概率、独立性检验问题、根据频率分布直方图判断总体的特点的问题，属于常规题型.20.已知椭圆 左顶点，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过的直线交椭圆于、两点，当取得最大值时，求面积。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据定点坐标和离心率构造出的方程，求解得到结果，进而得到椭圆方程；（2）当直线与轴重合时，可求得；当与轴不重合时，假设直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理得根与系数关系；代入，可整理为：；可知，此时，可求解出坐标，进而求得和，从而求得所求面积.【详解】（1）由已知，得，即 椭圆方程为（2）当直线与轴重合时，点与点重合，此时当直线与轴不重合时设直线的方程为，设，由得显然，最大值为此时，直线方程为：综上所述可知：可解得：，又【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中三角形面积的求解问题，关键是能够通过直线与椭圆联立，利用韦达定理整理出向量数量积的最值，从而可求得结果.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。21.在直角坐标系中，以坐标原点务极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线， (1)求曲线，的直角坐标方程；(2)曲线和的交点为，求以为直径的圆与轴的交点坐标【答案】(1) ： ;: (2) 点坐标为或【解析】【分析】（）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；（）先求出MN的中点坐标，|MN|的长，可求得圆的方程，再令x=0，即可求解详解】（）由sin（+）=，得（sincos+cossin）=，将代入上得x+y=1，即C1的直角坐标方程为x+y+1=0，同理由2=，可得3x2-y2=1，C2的直角坐标方程为3x2-y2=1.（）PMPN，先求以MN为直径的圆，设Mx1，y1），N（x2，y2），由得3x2-（1-x）2=1，即x2+x-1=0，则MN的中点坐标为（-，），由弦长公式，可得|MN|=|x1-x2|=以MN为直径的圆：（x+）2+（y-）2=（）2，令x=0，得+（y-）2=，即（y-）2=，y=0或y=3，所求P点的坐标为（