广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题

广东省2014届高三上学期第一次六校联考理科数学 试题 命题学校：深圳实验学校第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2. 已知，其中i为虚数单位，则（ ）A.1 B1 C2 D33. 若，则下列结论正确的是（ ）A BC D4.下列四个命题中，正确的是（ ）A已知服从正态分布，且，则B已知命题;命题则命题“”是假命题 C设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位D已知直线,，则的充要条件是 =-3 5. 已知单位向量满足，则夹角为（ ）A B C D6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（ ）A. B. C. D.7. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 记集合, M=,将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分）二、填空题 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9 在展开式中的系数为,则实数的值为 . 10计算定积分 . 11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程是_.12在中，内角、的对边分别为、，已知，则 .将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项 ;第项 .图1（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线（）截圆所得弦长是 . 15（几何证明选讲选做题）如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于_.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为.求=6的概率；求的分布列和期望.17（本小题满分12分）已知函数（为常数）（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值.18(本小题满分14分)设函数 （）若在时有极值，求实数的值和的单调区间; （）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围19（本小题满分14分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.20（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点.（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.21.（本小题满分14分）设，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求的值及的通项；（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明.2014届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 题号12345678答案BDDBCCAA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9. ; 10. ; 11. ; 12; 13.,; 14.; 15. .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分） 甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。最终，商定以抛硬币的方式决定结果。规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为. 求=6的概率； 求的分布列和期望.16.解(1) 4分(2)分布列为4567 10分 12分17（本小题满分12分）已知函数（为常数）（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）若函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像关于轴对称，求实数的最小值.17. 解：（1） 4分的最小正周期为 5分当，即时，函数单调递增，故所求单调增区间为 8分（2）函数的图像向左平移个单位后得，9分要使的图像关于轴对称，只需 11分即，所以的最小值为 12分18(本小题满分14分)设函数 （）若在时有极值，求实数的值和的单调区间; （）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围18. 解：（）在时有极值，有， 2分又，有， 4分有， 由有， 6分又关系有下表00递增递减递增的递增区间为 和 ， 递减区间为 9分（）若在定义域上是增函数,则在时恒成立，10分，需时恒成立，化为恒成立，. 14分19（本小题满分14分）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由.19. 解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，即该几何体的体积V为-3分（2）解法1过点B作BF/ED交EC于F，连结AF，则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角-5分在BAF中，AB=，BF=AF=即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 7分解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）， 异面直线DE与AB所成的角的余弦值为（3）解法1在DE上存在点Q，使得AQBQ. 8分取BC中点O，过点O作OQDE于点Q，则点Q满足题设. 连结EO、OD，在RtECO和RtOBD中 11分,以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切切点为Q面,面 面 -13分面ACQ 14分解法2 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，AQBQ - 点Q在ED上，存在使得-代入得，解得满足题设的点Q存在，其坐标为20（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点、右焦点分别为，直线的方程为，为上一点，且在轴的上方，与椭圆交于点.（1）若是的中点，求证：.（2）过三点的圆与轴交于两点，求的范围.20（1）证由题意得， 又点在椭圆上，且在轴上方，得 3分6分（2）解（方法一）设，其中圆过三点，圆心在线段的中垂线上设圆心为，半径为，有， 10分，当且仅当即时取“=”.的取值范围是 14分（方法二）解：设，其中，圆过三点，设该圆的方程为，有 解得 圆心为半径， 10分，当且仅当即时取“=”，的取值范围是. 14分21.（本小题满分14分） 设，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.（1）试比较M、P、Q的大小; （2）求的值及的