期末总复习03一元一次方程（加强版）

专题复习 一元一次方程【知识点1】方程基本概念 等式用等号连接的两个代数式叫做等式。方程含有未知数的等式叫做方程；一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。（此处“元”即指未知数）方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。典型题 一、判断所给式子是否是一元一次方程： 要点： 必须要是等式，即一定要有等号； 必须要有未知数；注意，字母不等于就是未知数，如或说明了是常数的字母都不是未知数； 未知数只能有一个（一种），且所有未知数的次数都是1； 未知数不能在分母中（那是我们以后将要学到的分式方程）； 做一下简单的化简，如果未知数被消掉了或变成了高次方就不是； 常见易错型： =1 其中不是，是。练习：下列各式： a=5 中，是方程的有 ； 是一元一次方程的有 ；二、根据一元一次方程的概念，解决附加条件得到一元一次方程： 例：当a=_时，x3a-5-4=0是关于x的一元一次方程。 分析：只有当x的次数为1时才是一元一次方程，所以可得3a-51，a2要点： 在令未知数指数为1时，要注意不要使得此未知数的系数也成了0； 如果有些项的未知数的次数大于1，则要将其系数得0，消去此项； 在消去高次项的同时，要注意不要连同一次项也全消了； 练习：当a=_时，是关于x的一元一次方程。当a=_时，是关于x的一元一次方程。三、利用未知数的值是一元一次方程的解来解题： 要点： 要检验一个未知数的值是否是一元一次方程的解，只要将这个值代入方程，若能使方程左右两边相等就可； 只要题目中提到某个值是方程的解，我们一般就要将其代入方程，这样可得出方程中其它未知数的值；练习：如果方程2x+1=3与方程2-=0同解，则a的值是 已知关于m的方程的解比关于m的方程的解大2，则a =_ .【知识点2】等式的性质（恒等变形）等式性质1等式两边都加上（或减去）同一个数（或式），结果仍是等式；等式性质2等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数（或式），结果仍是等式； 用数学语言描述为： 若a=b，则ac=bc，ac=bc, a/c=b/c(c0)；典型题 一、判断等式的变形是否正确、写出变形的依据：要点： 仔细观察变形后的等式，先看左边变成了什么样，是怎样变得的，再看右边是否也在做同样的变形；如a32b+5，变形成a=2b8，左边由a3变成了a，那么左边是在+3，右边应该也要+3，那么应该是2b+8，所以变形不对； 有些变形不是一步变得的，那就要想清楚做了哪几步；如：变形为，左边分母没有了，应该是两边4，但这时左边是，要变成还要再5，所以右边也要先4再5即20，正确练习：判断下列变形是否正确，并说明理由： 若，则 若，则二、利用等式的性质进行变形求值：要点： 仔细观察要求值的式子，看它与已知等式的左边有什么关系，需要做什么样的变形； 如果不能一步变成，还要考虑添括号、利用交换律重新组合各项等方法，或将一个较复杂的式子分成几部分来做。 例：已知，求的值。 分析：原式较为复杂，我们可以分成两部分来看：一部分是，一部分是；对比已知条件可得：只要将的左边2即可得2；而等于（）（2），所以1（2）2.最终得到原式220练习：若，则 【知识点3】一元一次方程的解法例：解方程 解： 去分母得： （依据：等式性质2） 去括号得： （依据：去括号法则或乘法分配律） 移项得： （依据：等式性质1） 合并同类项得： （依据：合并同类项法则） 系数化为1得： （依据：等式性质2）要点： 去分母时要注意：每一项都要乘以“最简公分母”，去掉分母后分子要加上括号； 去括号后也可以先在两边各自合并同类项后再移项，这样会稍简单； 最后一步系数化为1时要清楚两边除以的是哪个数，不要将答案写成了倒数。 最后的答案只能是xN，不能写成xN或Nx之类别的答案。练习： 【知识点4】一元一次方程的应用题【行程问题】要点： 行程问题的基本公式是，它的变形为及，做任何行程问题应用题都要紧扣这个公式； 要学会画简单的示意图，这样可以辅助我们找到等量关系； 找等量关系的小诀窍：S、v、t三种数据中，已知数据肯定不能用来作等量关系，另两种数据如果一种用来设未知数了，那么就只能用最后一种数据来作等量关系。 求平均速度时，要用“总路程/总时间”，不能是两个速度的平均数，如下例：例：某路有上坡和下坡两段，上坡路程为，下坡路程为。某人上坡速度为，下坡速度为，则其走完全程的平均速度是 。分析：由题意知此人上坡时间为/，下坡时间为/，所以共用时间为（/+/）；平均速度=总路程总时间，所以其走完全程的平均速度是（+）/（/+/）。练习：小华家离学校Sm，早上他从家走到学校用了a分钟，下午放学回家用了b分钟，则他的平均速度是 相遇问题 要点： 相遇问题的基本等量关系是两者的路程之和等于总路程； 通过画简单的示意图，可以了解不同情况下的等量关系；练习：1、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？2、甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？3、甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米。求甲乙两地相距多少千米？追及问题要点： 同地同向但不同时出发的追及问题的基本等量关系是后行者的路程等于前行者的路程（如图1所示）； 同时同向但不同地出发的追及问题的基本等量关系是在后行者的路程等于在前行者的路程加上出发时两者的距离（如图2所示）； 通过画简单的示意图，可以了解不同情况下的等量关系； 前行者到此处时后行者开始出发在前者前行者后行者追上时两人行程相等在后者在后者图2图1练习：1、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？2、2008年初我国南方发生雪灾,某地电线被雪压断,供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修,维修工骑摩托车先走,15分钟后,抢修车装载所需材料出发,结果两车同时到达抢修点,已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍, 求两车速度3、在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？4、在一条公路干线上有相距18千米的A、B两个村庄，A地一辆汽车的速度是54千米/小时，B地一辆汽车的速度是36千米/小时，如果两车同时同向而行，求经过几个小时后两车相距45千米？顺逆流问题要点： 顺水（风）航行时的速度船（机）速+水（风）速；逆水（风）航行时的速度船（机）速水（风）速； 往来航行时一般都是用路程相等作等量关系；练习：1、一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9h，当逆风飞行时需3.1h，已知风速为20km/h，求无风时飞机的速度及两地之间的距离。2、一船航行于A、B两个码头之间，顺水航行需要6小时，逆水航行的时间是顺水航行时间的1.5倍，船在静水中的速度是20千米/小时，求水流速度及两码头之间的距离。 3、轮船在静水中的速度为20Km/h，水流速度为4Km/h，从A码头到B码头共用5h（不计停留时间），求两码头间的距离。会车问题要点： 会车是指两车相对开过或一车从后追过前车； 会车问题的基础是过桥问题：一车从车头上桥到车尾离开桥，所用的时间是桥长与车长之和除以车速； 两车相对开过时，可以假设一车不动，另一车以两车速度之和的速度开过两车长度之和的距离； 一车从后追过前车时，也可以假设一车不动，另一车以两车速度之差的速度开过两车长度之和的距离；练习：1、一辆长度为120m的列车穿过一个长为600m的隧道用了12s，则列车的速度为 m/s。2、已知A列车速度为20m/s，B列车速度为24m/s，若A列车全长180m，B列车全长160m，B列车从后面追上并完全超过A列车要多少时间？环形跑道问题要点： 两人在环形跑道上同地同时反向而行相遇时与普通相遇问题一样，路程和等于一圈跑道长； 两人在环形跑道上同地同时同向而行，第一次相遇时，跑得快的路程比跑得慢的多跑一圈跑道长； 两人在环形跑道上同时同向而行，如果跑得快的在跑得慢的前面，第一次相遇时，跑得快的路程比跑得慢的多跑一圈跑道长度减去起跑时两人距离；跑得快的在后面那就和普通的追及问题一样；练习：1、甲乙两人在400m环形跑道上赛跑，甲速为5m/s，乙速为10m/s；两人同时同地同向出发，多少秒两人第一次相遇？两人同时同地背向出发，多少秒两人第一次相遇？两人同时同向出发，出发时甲在乙前面100m，多少秒两人第一次相遇？综合行程问题要点： 当行程问题中综合了以上类型时，画示意图就变得特别重要；再强调一次找等量关系的小诀窍：S、v、t三种数据中，已知数据肯定不能用来作等量关系，另两种数据如果一种用来设未知数了，那么就只能用最后一种数据来作等量关系。练习：1、姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？2、A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二此相遇。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米?3、两车相向而行，6小时相遇；后经4小时,客车到达，货车还有188KM。问两地相距多少KM？4、两辆汽车同时从A地出发，沿一条公路开往B地。甲车比乙车每小时多行8千米，甲车比乙车早40分钟到达途中的C地，当乙车到达C地时，甲车正好到达B地。已知C至B地的路程是40千米。求乙车每小时行多少千米？【工作问题】工程问题要点： 当工程总量未知时，常用1表示； 本类问题的基本公式是：工作总量=工作时间工作效率练习：一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成；开始三队合作，后甲队离开，由乙丙两队继续将工程完成。整个过程用了6小时，问甲队实际做了几小时？工作问题练习：一批零件每天加工50个要比原计划晚8天，每天加工60个则提前5天完成。求零件数及计划天数。【销售问题】要点： 常用公式：总价=单价数量；利润=售价进价；利润率 =利润进价=（售价进价）进价；售价进价（1+利润率） 设打X折时，原价要乘以0.1X 练习：某商品的进价为200元，销售价为260元，后又折价销售，所得利润率为4%，此商品是按原售价的几折销售的？ 【储蓄问题】要点：储蓄问题其实就是增长率问题，若表示原量，增长后的量， 为增长率，则有： 若是减少，则为；若保持此增长率，则下一周期；周期后则利率即利息率，存入银行的钱（本金）为P，年利率为,则一年后：利息=P；本息和 = P（1+）= P+ P；2年后：利息=2P；本息和 = P+ 2P；若要交利息税，税率为，则： 本息和 = 本金 + 本金利率存款周期（1-）：练习：张先生到银行存了一笔钱，存期为2年，已知年利率为2.25，两年后扣除20的利息税之后所得的本息和为2072元，则他存入多少钱？【几何问题】图形问题要点：设某一边为X，然后将其它部分用X表示出来，找出等量关系列方程；练习：1、如图所示的长方形正好被分成6个正方形，且最小的正方形A面积是1，求正方形E的边长。2、如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，若重叠外的其它部分面积为224cm2，求重叠部分的面积。等积变换问题 如图，将大杯中的水倒入小杯，请根据图上 数据求出大杯中的水高度。余补角问题（略，参几何复习部分）【数字问题】数位问题要点：若一个两位数十位数字是，个位是，则此两位数可表示为； 若一个三位数百位数字是，十位是，个位是，则此三位数可表示为；依此类推。练习：一个两位数的两个数字之和为6，如果将这个数的十位数字与个位数字对调再加上18，仍得原数，求这个两位数。年龄问题要点：如图，A为年龄大者现在年龄，B为小者现在年龄， X为年龄差，则有N+3XM练习：甲对乙说：“我在你这么大时你才1岁，你到我这么大时，我已经37岁了。”求甲乙两人现在的年龄各是多少？盈不足问题练习：几个人去买东西，如果每人出8元则多了3元，每人出7元又少了4元，问人数、物价各是多少？配套问题练习：某种螺丝要配两个螺母，现有28名工人，每人每天能生产24个螺丝或36个螺母，要怎样分配生产任务才能使生产的产品正好配套？鸡兔同笼问题练习：鸡兔共100只，鸡腿比兔腿多80条，鸡兔各几只？【经济问题】话费问题某市电信局为了鼓励市民多打电话,制定如下收费制度:固定电话每月交月租费15元,通话采用累计时费,如果每月通话时间累计不超过100分钟,则每分钟收0.22元,如果每月通话时间累计超过100分钟,则超过部分每分钟收0.10元,某固定电话用户2月份通话时间累计x分钟,求该用户2月份应交电话费多少元?用度问题练习：为了鼓励居民节约用电，电力公司规定：每月用电如果不超过50千瓦时（包括50千瓦时），按每千瓦时0.53元收费，超过50千瓦时的部分按每千瓦时0.65元收费。（1）春春家10月份电单上写着：上月读数1357千瓦时，本月读数1435千瓦时，春春家10月份应付电费 元；(2) 玉玉家10月份缴电费31.7元，他家10月份用电多少千瓦时？调配问题练习：甲仓库有物质1000Kg，乙仓库有物质870Kg，现要从两个仓库中调出700 Kg物质，调出后甲仓库剩余的物质是乙仓库剩余的物质的。问要从这两个仓库中各调出多少物